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流体力学习题解析
第六章粘性流体绕物体的流动
6—1已知粘性流体的速度场为u5x2yi3xyzj8xz2k(m⑸。
流体的动力粘度
0.144Pas;在点(2,4,—6)处悄=—100N/m2,试求该点处其它的法向应力和切向应力。
已知:
:
Ux5x2y,Uy3xyz,Uz8xz2,尸0.144Pas,期=—100N/m2。
解析:
:
在点(2,4,
—6)处,有
Ux
10xy
x
Ux5x220,
ux0,.
Uy
3yz
y
z
x
0;divu
uxUy
Uz
80
y
xy
z
80,
Uy
3xz
36,
Uz
16xz
192;
y
z
72,
uy
3xy
24,
Uz
8z2
288,
z
x
36
192
236s1
uy2
由yyP2y—diV,可得
y3
uy
div
yy
2°.144(36)2°.144236100
66.976Pa,则
xx
土-divu
x3
2
66.97620.14480—0.14423666.592Pa
3
zz
uz2
p2-divu
z3
66.97620.144192
-0.144236
3
34.336Pa
dx
xyyx
(-
uy
x
Ux)
y
0.144(7220)7.488Pa
uz
Uy
yzzy
(-
^)
0.144
(0
24)3.456Pa
y
z
zxxz
(-
Ux
Uz)
0.144
(0
288)41.472Pa
z
x
6—2两种流体在压力梯度为业
k的情形下在两固定的平行平板间作稳定层流流动,试
导出其速度分布式。
已知:
dpk。
dx
解析:
:
建立坐标系,将坐标原点放置在两种液体的分界面上,
x轴与流动方向相同,y轴垂直于平行平板。
根据题意,两流体在
y轴和z轴方向的速度分量都为零,即Uy=Uz=0。
由连续性方程
知=0,即速度分量Ux与x坐标无关。
另外,由式(6—6)可以看出,在质量力忽略不计时,
x
有p
0,p
0,因此,
压力
P
只是x的函数,于是式(6—6)可简化为
y
z
dux
1P
(-
2
Ux
2
2
d
x
y
z
22
由于流体是在两无限大平行平板间作稳定层流流动,因此上式中一^与一项相比可以
zy
忽略不计,同时,由于
也=0,那么
dUx
d
0,于是上式可进一步简化为
d2ux
1dp
dx
对于第一种流体有
对于第二种流体有
d2Ux1
1dp
k
dy2
1dx
1
d2Ux2
1dp
k
dy2
2dx
2
dUxi
dy
C1
Ux1
Gy
C2;
Ux2
鬥2GyC2
积分以上两式,得
dUx2
dy
再次积分以上两式得
根据边界条件确定四个积分常数:
①当y=0时,Ux1Ux2,得C2
C2;
②当y=0时,12,即1d^
dy
dUx2
2dy
④当y=b时,u
x1
C2
kb2
2-
-Gb。
2
将以上所得各式联立,
解得
C1
kb2
C1
kb21;C2C2
1
kb2
于是得到两种流体的速度分布式分别为
Ux1
kb2
2;
kb
kb2
Ux2
6—3密度为试证明:
p、
动力粘度为
卩的薄液层在重力的作用下沿倾斜平面向下作等速层流流动,
(1)流速分布为
(2)单位宽度流量为
gsinH3
3
p,
已知:
p,H,h,0O
解析:
:
(1)建立坐标系如图所示,液层厚度方向h为自变量,由于液层的流动为不可压缩一
维稳定层流流动,则N-S方程可简化为
gsin
将上式整理后,两次积分得
u厘h2sin
2
C1hC2
由边界条件:
当h=0时,
0,得C10;
当h=H时,
u=0,得
C2
所以流速分布为u
gsin(h2
2
h2)
(2)单位宽度流量为
H
q0udh
Hgsin(h2
h2)dh
gsinH3
3
6—4一平行于固定底面0—0的平板,面积为A=0.1m2,以衡速U=0.4m/s被拖曳移动,平
板与底面间有上下两层油液,上层油液的深度为m=0.8mm,粘度0.142Ns/m2,下层油液
的深度为h2=1.2mm,粘度遊=0.235Ns/m2,求所需要的拖曳力T。
已知:
:
A=0.1m2,u=0.4m/s,m=0.8mm,h2=1.2mm,r=0.142Ns/m2,血=0.235Ns/m2。
解析一:
建立坐标系如图所示,由于两层油液均作不可压缩一维稳定层流流动,则N-S方
将上式两次积分后,得
程可简化为
-J
旳0
—
Zi
1M
Plc
/)
▼尹hF声蔘h蔘蔘買声厂蓼厂声旷声寥旷#
对两层油液的速度分布可分别写为
U1
U2
C1zG
C2zC2
由边界条件:
当z=0时,u20,得
C2
当z=h2时,U1=U2,得
当z=h1+h2时,
U1=u,
C1(h1h2)
C1
当z=h2时,1
2,即
U1
1
z
U2
2,
z
1C12C2。
将以上四式联立,可解得
C1
u(1
h12
2)h2.
;
1
h2
C2
h1
U1.
2h21
C20
代入上述速度分布式,得
U1
U2
z
h12h21
u(1
2川2
h12h21
U2
u1z
h12h21
那么,拖曳平板所需要的力为
T1A»|zh1h2
z
■12Au
h12h21
0.142
0.235
0.10.4
3.724N
线性分布,且在垂直于板面方向的粘性切应力为一常数,即0。
因此有
所以
uu*
u*0
hi
h2
u1h2
u*
hi2h2i
0.40.1421.210
0.19m/s
(0.80.2351.20.142)10
那么,拖曳平板所需要的力为
T2A土0.2350.10.1933.724N
h21.210
6—5粘度0.05Pas・的油在正圆环缝中流动,已知环缝内外半径分别为n=10mm,r2=
20mm,若外壁的切应力为40N/m2,试求
(1)每米长环缝的压力降;⑵每秒流量;⑶流体作用在10m长内壁上的轴向力。
已知:
:
门=10mm,r2=20mm,卩=0.05Pas;w2=40N/m2。
解析:
:
建立坐标系,由于urue0,由连续性方程可知,一匹0;忽略质量力,N—S
x
方程可简化为
2
dpR山dUxd,dux、1dp,
dxdrrdrdrdrdx
对上式进行两次积分上式,得
ux丄些r2C1lnrC?
4dx
£###*止*董#上出止止止#選*盖#養止止累#
根据边界条件确定积分常数:
①当
当r=「1时,ux
0,得
C2
1dp2
r1
C1Inr1;
4dx
②当
当r=々时,ux
0,得
C2
dp2
r2
C1Inr2。
4dx
联立以上两式,得
G—
dp
(『r22);
1dp(r2Inr1rjInd)
;
C2
4
dx
In®
4dxIn®
1
1
代入上述速度分布式,得
Ux
丄空[r2
4dx
22
ln(3r
A
22
JAln(t)]ln(3r
A
流量计算式为
ri
ux2rdr
dpr2dxr1
[r2
22
空3|n(空)]2
")r
r1
rdr
式中:
Rm
4ri
2\2
In
(二)
A
2\2
U]
ln
(二)
r1
詈,为单位体积流体在单位管长内流动时所造成的机械能损失,亦即单位管长
上的压力损失或压力降,称为压力坡度或称比摩阻。
摩擦切应力分布式为
dux
dr
1dp(『D2)
1dp
r
2dx4dxln®
A
如[r
2dx
(r;r;)'
2ln(乜)r
「1
当r=r2时,w2
=40N/m2,代入上式得到每米长环缝的压力降为
dp
dx
[0.02
每秒钟的流量为
Rm「4
QL2
22
2/[r2」丄]
2ln(空)r2
r1
240
(0.0120.022)/2ln(0.02/0.01)0.02]
8714.8Pa/m
4ri
/22、2
(r2r1)]
r2
ln
(二)
r1
3.148714.8
80.05
[0.0240.014
(0.0220.012)2]In(0.02/0.01)]
1.38103m3/s
流体作用在10m长内壁上的轴向力为
(『r;)
2ln&)r1
22
0.010.02
w1A1
1]2r丄
r1
8714.8
2
[0.01
]23.140.011031.85N
已知:
:
的关系式,并求平板一面上的阻力。
平板长为
L,B,uuy(22⑷o
L,宽为B。
流动为不可压缩稳定流动。
解析:
:
根据题意,对于层流附面层,由牛顿内摩擦定律得出平板板面上粘性摩擦应力为
y]y0
(丄)y0
y
附面层的动量损失厚度3为
20^1u
u)dy
3y(2y)y(2丿2][1-
)]dy15
将以上两式代入动量积分方程(6-30)式,得到
22du-
15dx
上式整理后为
15——dx
u
15——xCu
由边界条件:
x=0,3=0,得C=0o
由此得到附面层的厚度3为
5.48x5.48x5.48xRex'
■.uRex
把②式代入①式,
得到壁面上的粘性切应力为
5.48
—0.365u\0.365
xux
u2Rex
对于长度为
Ff
L,宽度为B的平板一侧面上的总摩擦阻力为
1
x"dx0.73B、,u3L0.73BL
LwBdx0.365B;u3
u2
6-7设平板层流附面层的速度分布为
u
sin—('),试用动量积分方程式推导附面层厚
2
度&壁面切应力
T和摩阻系数Cf的表达式。
解析:
:
对于层流附面层,根据牛顿内摩擦定律得到平板板面上粘性摩擦应力为
(且)y0
y
JCOS『')]y
附面层的动量损失厚度3
将以上两式代入动量积分方程
)dy
°sin?
Cy)[1
Si/)]dy
0.137
(6—30)式,得到
2d
u—
dx
上式整理后为
dx
4u
对上式积分得
2
x
4u
x=0,8=0,得
由此得到附面层的厚度8为
由边界条件:
C=0。
把②式代入①式,
对于长度为
4.79
4.79x
、Rex
1
4.79xRex2
得到壁面上的粘性切应力为
—uu0.328
24.79[x
u2ux
1
0.328u2Rex'
l
0wBdx
平板的总摩擦阻力系数为
Ff
L,宽度为B的平板一侧面上的总摩擦阻力为l丄
x2dx
0.328B.
u3
0.656B
u3L0.656BL
1
2ReL:
Cf
Ff
-u2BL
2
2
0.656BLu
1
ReL°
1u2bL
1
1.312ReL2
6—8一长为2m、宽为
0.4m的平板,以u«=5m/s的速度在
20C的水(=10—6m2/s,P=
丄
998.2kg/m3)中运动,若边界层内的速度分布为Uxu以戶,边界层厚度8与沿板长方向坐标x
16
的关系为0.216(——)7x7,试求平板上的总阻力。
u
已知:
:
L=2m,B=0.4m,u«=5m/s,v=106m2/s,p=998.2kg/m3。
解析:
(1)根据冯•卡门动量积分方程,对于平板有
u2
dx
2du——dx
1
-,并将uxu(丄)订代入上式,得
所以
7
0u
ux-)dyu
1
(Sdy
11
156
16
0.216(—)7x7
u
代入上式,
1
20.0152(—)7xu
d2
dx
1
0.013(—)7x
u
代入动量积分方程,得
2du-dx
1
20.013u2(—)・
u
(2)将w沿整个板面积分,
可得平板上的总阻力计算式为
Ff
1
L27L
Bwdx0.013u2(—)7B
0u0
1
0.0152u2BL(——)?
0.0152
uL
1
x7dx
1
u2BLReL7
(3)将已知参数代入上式,且知
ReL
52
10
6107,
得平板上的总阻力为
1
520.42(107厂30.35N
1
Ff0.0152u2BLReL70.0152998.2
6—9一块长50cm、宽15cm的光滑平板置于流速为60cm/s的油中,已知油的比重为0.925,运动粘度为0.79cm2/s,试求光滑平板一面上的摩擦阻力。
已知:
L=50cm,B=15cm,u匸60cm/s,S=0.925,v=0.79cm2/s。
解析:
:
平板末端处的流动雷诺数为
ReL°60.543797.55105,整块平板上均为层流附面层。
0.79104
则平板一面上的摩擦阻力为
11
Ff
0.664BLu2ReL20.6640.150.59250.623797.520.269N
20C,求离平板
6—10空气以12m/s的速度流过一块顺流置放的光滑平板,如当地气温为前缘x=0.6m处附面层的厚度8和壁面切应力t。
已知:
u^=12m/s,x=0.6m,v=15X106m2/s,p=1.2kg/m3。
120655
解析:
:
x=0.6m处的流动雷诺数为
Rex
*4.81055105,即平板上
15106
的附面层为层流附面层。
(1)x=0.6m处附面层的厚度为
1
x5.0xRex25.0
0.6
(4.8
1
105)"
0.0043m4.3mm
(2)x=0.6m处壁面切应力为
1
w0.332u2Rex2
0.332
1.2122
1
(4.8105)20.0828N/m2
20m、宽10m的光滑平板,空气温度为20C,如转
(1)层流附面层的长度;⑵层流附面层末端的厚度和
壁面切应力;(3)平板末端附面层的厚度和壁面切应力;(4)板面的总摩擦阻力。
已知:
:
L=20m,B=10m,uoc^15m/s,v=15X106m2/s,p=1.2kg/m3。
6—11空气以15m/s的速度流过一块长
变点的临界雷诺数采用Rexc=5x105,求:
解析:
:
(1)取Rexc=5X105。
由Rexc
uxc5
c5105,得
Rexc
Xc一
u
510515106
15
0.5m
即层流附面层的长度为0.5m,平板上的附面层主要为紊流附面层。
(2)计算附面层的厚度
在x=0.5m处为层流附面层;在x=20m处为紊流附面层。
则
0.5m5.84
5.84
15106°54103m4mm
15
115106-
20m0.382(——)5x0.382()5200.265m
ux1520
(3)计算摩擦切应力
在x=0.5m和x=20m处板面上的摩擦切应力分别为
w20m=0.0297
5
2u
w0.5m=°.343
0.3431.2152.
V150.5
151060.131N/m2
2
0.02971.2155
\1520
15100.278N/m2
(4)计算总摩擦阻力
平板末端的雷诺数为ReL
72107
1510
混合附面层的总摩阻系数为
CfM
0.455
(lgReL)2.58
1700
ReL
0.455
[lg(2107)]2.58
呷2.61103
210
板面总摩擦阻力为
12312
FfMCfM—uBL2.6110-1.215102070.47N
22
6—12在15C的静水中,以5.0m/s的速度拖曳一块长20m、宽3m的薄板,求所需要的拖曳力。
已知:
L=20m,B=3m,u5.0m/s,v=1.14氷0m2/s,p=1000kg/m3。
解析:
:
先确定临界转变点的位置,取Rexc=5x105。
由RexcU-Xc5105,得
xRexc
xc
u
56
5101.1410
0.114m5.0
可以认为整块薄板上的附面层均为紊流附面层。
平板末端的流动雷诺数为
uL5.0207
ReL68.77107
1.14106
绕流平板的总摩擦阻力系数按施利希廷公式计算,即
c0.455
Cf258
(lgReL)2.58
103
0.455
217
[lg(8.77107)]2.58.
那么,拖曳薄板所需要的力为
F2Ff2Cf
u2BL
3
22.1710
12
-10005.0320
2
10m的平底驳船,吃水深度为
3255N
6—13有一长为25m、宽为
行驶,水温为20C,试估算克服其摩擦阻力所需的功率。
已知:
:
L=25m,B=(10+1.8X)m,
1.8m,在水中以9.0km/h的速度
u«>=9.0km/h,v=1.0
解析:
先确定临界转变点的位置,取
Rexc=5x105。
由Rexc
X0—6m2/s,p=1000kg/m3。
沁5105,得
Rexc51051.0
Xc
u
9000/3600
空0.2m
可以认为平底驳船的外侧面上的附面层均为紊流附面层。
驳船末端的流动雷诺数为
uL900025…
66.25
36001.0106
总摩擦阻力系数按施利希廷公式计算,即
ReL
107
0.455
f258
(IgReL)[lg(6.25
0.455
107)]2.58
3
2.27510
(9000f
(3600)
350kW,迎风面积为1.5m2,如绕流阻力系数为0.3,
(101.82)256.043kW
那么,克服驳船摩擦阻力所需要的功率为
13NFfuCf—u3BL
2
31
2.275103—1000
2
当地空气温度为25C,不计车轮与地面的摩擦力。
试估算下列情况下赛车所能达到的最大速度:
(1)空气静止;
(2)迎面风速为10km/h。
已知:
:
N=350kW,A=1.5m2,CD=0.3,
解析:
:
(1)当空气静止时,由NFDum
p=1.18kg/m3,u°=10km/h。
12CDumAum
2
」CDu^A,得赛车速度为
2
um3
2N
CD
3
235010
1.18
1.5
109.65m/s
(2)当迎面风速uo=10km/h时,
FDUm
1
CD2(u0
2
um)Aum,可得
um(u0um)2
2N
350103
通过试算,得迎面风速为
CDA
0.31.181.51.3183
106
10km/h时的赛车速度为um107.8m/s。
6—15有一圆柱形烟囱高为28m,直径为0.6m,水平风速为15m/s,空气温度为0C,求烟囱所受的水平推力。
已知:
:
解析:
:
H=28m,d=0.6m,u«=15m/s,p=1.293kg/m3,v=13.2X06m2/s。
圆柱形烟囱的绕流雷诺数为
ud150.65
Re66.8210
13.2106
由图6—16查得其绕流阻力系数为CD=1.2,因此,烟囱所受的水平推力为
FDCd1u2A
2
6—16高压电缆线的直径为
求风作用于高压电缆线上的作用力。
已知:
:
解析:
:
12
1.21.29315280.62932.5N
2
10mm,两支撑点距离为70m,风速为20m/s,气温为10C。
试
d=10mm,L=70m,
电缆线的绕流雷诺数为
u«)=20m/s,p=1.25kg/m3,v=14X106m2/s。
屮1.43104
1410
由图6—16查得其绕流阻力系数为
Cd=1.2,因此,风作用于高压电缆线上的作用力为
6—17
温为20C,已知:
:
解析
121
FDCDuA1.222
有一水塔,上部为直径12m
1.25202700.01210N
的球体,下部为高30m、直径2.5m的圆柱体,如当地气
最大风速为28m/s,求水塔底部所受的最大弯矩。
u«=28m/s,p=1.2kg/m3,v=15X106m2/s。
H=30m,d1=2.5m,d2=12m,圆柱体及球体的绕流雷诺数分别为
Re1
ud1
Re2
ud2
282.56
64.6710
1510
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