第十三章压杆稳定.docx
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第十三章压杆稳定
第十三章压杆稳定
1基本概念及知识要点
1.1基本概念
理想受压直杆、理想受压直杆稳定性、屈曲、临界压力。
1.2临界压力
细长压杆(大柔度杆)用欧拉公式计算临界压力(或应力);中柔度杆用经验公式计算临界压力(或应力);小柔度杆发生强度破坏。
1.3稳定计算
为了保证受压构件不发生稳定失效,需要建立如下稳定条件,进行稳定计算:
-稳定条件
2重点与难点及解析方法
2.1临界压力
临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关,即和压杆的柔度有关。
因此,计算临界压力之前应首先确定构件的柔度,由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。
2.2稳定计算
压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容,是本课程学习的重点。
利用稳定条件可进行稳定校核,设计压杆截面尺寸,确定许用外载荷。
稳定计算要求掌握安全系数法。
解析方法:
稳定计算一般涉及两方面计算,即压杆临界压力计算和工作压力计算。
临界压力根据柔度由相应的公式计算,工作压力根据压杆受力分析,应用平衡方程获得。
3典型问题解析
3.1临界压力
例题13.1材料、受力和约束相同,截面形式不同的四压杆如图图13-1所示,面积均为3.2×103mm2,截面尺寸分别为
(1)、b=40mm、
(2)、a=56.5mm、(3)、d=63.8mm、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm。
若已知材料的E=200GPa,σs=235MPa,σcr=304-1.12λ,λp=100,λs=61.4,试计算各杆的临界荷载。
图13-1
[解]
压杆的临界压力,取决于压杆的柔度。
应根据各压杆的柔度,由相应的公式计算压杆的临界压力。
(1)、两端固定的矩形截面压杆,当b=40mm时
λ>λP此压杆为大柔度杆,用欧拉公式计算其临界应力
(2)、两端固定的正方形截面压杆,当a=56.5mm时
所以
λs<λ<λP此压杆为中柔度杆,用经验公式计算其临界应力
σcr2=304-1.12λ2=304-1.12×92=200.9MPa
(3)、两端固定的实心圆形截面压杆,当d=63.8mm时
λs<λ<λP此压杆为中柔度杆,用经验公式计算其临界应力
(4)、两端固定的空心圆形截面压杆,当D=89.3mm,d=62.5mm时
λ<λs此压杆为短粗杆,压杆首先发生强度破坏,其临界应力
解题指导:
1.计算压杆的临界压力时,需要综合考虑压杆的材料、约束、长度、惯性半径,即需要首先计算压杆的柔度,根据柔度值,代入相应的公式计算压杆的临界压力。
当
λ>λP时压杆为大柔度杆,用欧拉公式计算其临界应力;
λs<λ<λP时压杆为中柔度杆,用经验公式计算其临界应力;
λ<λs时压杆为短粗杆,压杆将首先发生强度破坏。
2.由此例题可见,惯性半径越大,柔度越小,承载能力越强。
例题13.2矩形截面杆如图13-2所示,杆两端用销钉连接,在正视图中,连接处允许压杆绕销钉在铅垂面转动,两端约束可简化为两端铰支。
在俯视图中,连接处不允许压杆在水平面内发生转动,两端约束视为两端固定。
已知杆长L=2.3m截面尺寸b=40mmh=60mm材料的E=205GPaλP=132λs=61,试求此杆的临界压力Fcr。
[解]
1.若在正视图内失稳(铅垂方向):
μ=1,
2.若在俯视图内失稳(水平面内):
μ=0.5,
所以,压杆在正视图失稳。
3.计算压杆的临界压力Fcr
用欧拉公式计算其临界应力
解题指导:
对于这类问题,需首先计算两个方向的柔度,判断压杆首先沿哪个方向失稳。
例题13.3图13-3所示立柱长L=6m,由两根10号槽钢组成,试问a多大时立柱的临界荷载Fcr最大,并求其值。
已知:
材料E=200GPa,σP=200MPa。
[解]
1.惯性矩
查型钢表可知,由两根10号槽钢组成的组合截面对形心主惯性轴的惯性矩分别为:
当a值较小时,Iy
当a值较大时,Iz
2.当立柱的临界荷载最高,压杆对z轴和y轴应有相等的稳定性。
即:
即
3.最大临界荷载Fcr
压杆的柔度
iy=iz=i
由于
所以,λ>λP压杆为大柔度杆
用欧拉公式计算临界压力
例题13.4所示工字钢直杆在温度t1=20℃时安装,此时杆不受力,已知杆长l=6m,材料的λP=132,E=200GPa,线膨胀系数α=12.5×10-6/℃。
试问当温度升高到多少度时杆将失稳。
[解]
随着温度的升高,直杆在杆端受到压力FA=FB,当两端压力达到压杆的临界压力即:
FA=FB=Fcr时,压杆将失稳。
1.杆的工作压力
由静不定结构的变形协调条件
2.压杆的临界压力
λ>λP压杆为大柔度杆。
用欧拉公式计算临界压力
3.压杆失稳时,需要升高的温度值
由FA=FB=Fcr
3.2稳定计算
例题13-5:
钢杆AB如图13-5所示,已知的杆的长度lAB=80cm,
,经验公式
,nst=2,试校核AB杆。
图13-5
[解]
1.杆AB的工作压力:
分析梁CBD的受力,据其平衡方程可得
FAB=159kN
2.杆AB的临界压力:
压杆的柔度
用经验公式计算压杆的临界应力:
压杆的临界压力
Fcr=σcrA=270kN
3.计算压杆的工作安全系数,进行稳定校核
由压杆的稳定条件
所以,AB杆不安全。
解题指导:
请读者思考:
若校核整个结构,如何求解?
若由AB杆确定整个结构的许用外载荷,如何求解?
例题13.6:
材料相同的钢杆AB、AC,直径均为d=80cm,
,经验公式
,nst=5,E=210GPa,试求许用外载荷[FP]。
[解]
1.确定杆AB、AC的工作压力:
由节点A的受力及平衡方程可得
FAB=0.5FPFAC=0.866FP
2.计算由AB杆稳定条件确定的许用外载荷:
AB杆的柔度
用欧拉公式计算压杆的临界应力:
由压杆稳定条件
则许用外载荷
FP≤139.2kN
3.计算由AC杆稳定条件确定的许用外载荷
AB杆的柔度
用欧拉公式计算压杆的临界应力:
由压杆稳定条件
则许用外载荷
FP≤240.6kN
4.确定整个结构的许用载荷
由稳定计算结果可知,结构的许用载荷为
[FP]=139.2kN
解题指导:
对于这类题目,所确定的载荷要确保整个结构所有受压杆件匀不失稳。
由于杆AB、AC所受压力和柔度均不相同,需要首先分别求出由两杆确定的各自许用外荷载,然后取其中较小的一个,做为整个结构的许用外载荷。
例题13.7:
两端为球铰的压杆,由两根等边角钢铆接而成,型钢的外形尺如图13-7所示。
已知铆钉孔直径为23mm,压杆长度l=2.4m,所受外力FP=800kN,nst=1.48,
,经验公式
,材料的许用应力[σ]=160MPa,试校核压杆是否安全。
[解]
图13-7所示压杆有两种可能的失效形式:
失稳:
整个压杆由直线形式的平衡变为曲线形式的平衡,局部截面尺寸变化对弯曲变形影响很小,个别截面上铆钉开孔对整个压杆的稳定性影响可忽略不计。
因此,在压杆稳定计算中,采用未开铆钉孔时的压杆横截面尺寸(相应的面积称为“毛面积”,用A表示);
强度失效,在铆钉开孔截面,截面尺寸的削弱,会导致截面上的正应力增大,超过材料的许用应力。
因此需要校核铆钉开孔处横截面上的正应力强度。
在计算中要用开孔后的截面尺寸(其面积称为“净面积”,用A0表示)。
综上所述,需要首先分别校核压杆的整体稳定和铆钉开孔处正应力强度,才能判断出压杆是否安全。
1.稳定校核
压杆失稳时,二等边角钢将作为一整体发生屈曲,并绕组合截面惯性矩最小的形心主轴(z轴)转动
其中Iz1、iz1和A1分别为单根角钢对z轴的惯性矩、惯性半径和横截面面积,可由型钢表中查得。
所以,用经验公式计算压杆的临界应力:
代入稳定条件,进行稳定校核
所以压杆稳定。
2.强度校核:
组合截面在铆钉孔处因开孔而削弱,削弱后的净面积为:
A0=2×28.9×10-4-2×0.023×0.012=5.28×10-3m2
该截面上的正应力
压杆强度安全
3.由上述稳定计算和强度计算可知,压杆安全。
解题指导:
1.压杆稳定计算用毛面积,强度计算用净面积。
2.请读者思考:
如果两根槽钢只在两端连接,这时上述稳定计算和强度计算会不会发生变化?
例题13.8图13-8所示正方形桁架结构,由五根圆截面钢杆组成,连接处均为铰链,各杆直径均为d=40mm,a=1m。
材料的λp=110,λs=60,E=200GPa,经验公式为
,nst=1.8。
试求结构的许可载荷。
图13-8
[解]
1.计算各杆的受力值
分别以节点A、B为研究对象,应用平面汇交力系平衡方程,同时考虑结构的对称性,可计算和确定出各杆的受力分别为
FDB=FP(拉)
由上述计算结果可知,杆AB、AD、BC、CD为压杆,应考虑的失效形式为失稳,需要进行稳定计算;杆BD为拉杆,应考虑的失效形式为强度失效,需进行强度计算。
2.稳定计算
对于AB等压杆
用经验公式计算压杆的临界应力:
由稳定条件
3.强度计算
对于拉杆BD,FN=FDB=FP,由强度条件
可得
4.结构的许可载荷
由上述稳定计算和强度计算结果可知,结构的许用载荷为
例题13.9材料相同的梁及柱如图13-9(a)所示,竖杆为两根63×63×5等边角钢(连结成一整体),承受均布载荷q=24kN/m,材料的许用应力[σ]=160MPa,E=200GPa,λP=132,
,经验公式,nst=2.8。
试校核该结构。
1.由C点的变形协调条件,计算多余未知力
原结构为一次静不定,取如图13-9(b)所示静定基和相当系统。
由变形协调条件
其中
得
2.梁的强度校核
梁的受力如图13-9(c)所示,由平衡方程
,
得梁的支反力
梁的弯矩图如图13-9(c)所示。
C截面弯矩
D或E处剪力Fs=0,由
得D截面位置为
x=0.75m
所以,D或E截面梁弯矩值:
所以,梁上最大弯矩值为
梁的最大正应力为:
梁安全。
3.柱的稳定计算
柱的柔度
用经验公式计算压杆的临界应力:
临界压力
工作安全系数
柱也安全。
4.由上述梁的强度计算和柱的稳定计算结果可知,整个结构安全。
例题13.10一直径为d的圆截面平面曲拐ABC(AB⊥BC,位于xz平面),与直径为d0的圆截面杆CD铰接于C点,如图13-10所示。
今有一重为W的物体,由高度为H处自由落下冲击于曲拐B点,已知材料的力学性能分别为:
σp=200MPa,E=200GPa,G=80GPa,μ=0.3;结构尺寸:
d=50mm,d0=10mm,l=1m,载荷W=200N,高度H=20mm;强度安全系数n=2,稳定安全系数[nw]=1.5。
试校核CD杆的安全。
[解]
1.计算多余未知力
在此空间结构B点上作用静载荷W,该一次静不定结构在C点的变形协调条件为:
平面曲拐在点的位移
等于CD杆的压缩量,即
设杆CD承受压力为F,则
代入
,解出
2.冲击动荷系数
静载荷W作用于原空间结构B点时,用叠加法可求得冲击点相应的静位移为:
代入自由落体时的动荷系数表达式,得:
3.CD杆承受的动荷
4.校核CD杆
由于CD杆为压杆,应进行稳定计算
CD杆的柔度
而
故CD为大柔度杆,用欧拉公式计算压杆的临界应力:
工作安全系数
所以CD杆不安全的。
例题13.11:
承压立柱由两根32a槽钢组成,若柱的总长为l=8m,两端球铰约束,中间由间距为a的缀条用铆钉连接,如图13-11所示。
铆钉直径d=17mm,材料的σs=235MPa,ns=1.47nst=1.58λ1=132λ2=60经验公式σcr=235-6.8×10-3λ2,试求:
1为使立柱承受最大载荷,b的合理取值;
2求立柱承载最大时的许用载荷;
3在许用载荷作用下a的取值。
[解]
1.为使立柱承受最大载荷,立柱在y、z方向应具有相同的稳定性,则λy=λz,即:
Iy=Iz
查型钢表计算得:
b=289.6mm
2.最大许用载荷:
1)由稳定条件
查型钢表计算可知i=124.9mm
整个组合压杆的柔度为
图13-11
用经验公式计算压杆的临界应力:
由稳定条件
得立柱的许用载荷
2)考虑铆钉处的截面削弱,由强度条件:
得立柱的许用载荷
F≤1548kN
由上述稳定计算和强度计算可知,压杆的最大许用载荷为
F=1276kN
3.确定a的取值:
为保证整体和局部具有同样的稳定性,同时失稳,要求
由上式可得
a=1603mm
4自我测试
图13-12
1正三角形截面压杆,如图13-12所示,其两端为球铰链约束,加载方向通过压杆轴线。
当载荷超过临界值,压杆发生屈曲时,横截面将绕哪一根轴转动?
现有四种答案,请判断哪一种是正确的。
(A)绕y轴;
(B)绕通过形心C的任意轴;
(C)绕z轴;
(D)绕y轴或z轴。
正确答案是
2两端为球铰的细长压杆,有面积相同的四种截面可供选择,如图13-13所示,由稳定性考虑:
图13-13
(A)空心圆截面一定最好;
(B)圆截面最不好;
(C)正方形截面一定比矩形、圆形好;
(D)矩形截面一定比圆形截面好。
正确答案是:
3两个压杆材料和细长比均相同,则:
(A)两杆的临界力与临界应力均相等;
(B)两杆的临界应力不等,但临界力相等;
(C)两杆的临界应力相等,但临界力不一定相等;
(D)两杆的临界力与临界应力均不一定相等。
正确答案是:
4圆截面压杆(a)、(b)如图13-14所示,材料相同,横截面积
,杆长
,约束情况如图示。
两杆的柔度以
、
表示,临界载荷以
和
表示,则:
图13-14
(A)
,
;(B)
,
;
(C)
,
;(D)
,
。
正确答案是:
5图13-15所示压杆(a)、(b)均为细长杆,两杆的材料、杆长、截面形状和尺寸均相同,h=2b,临界载荷分别为
和
,则:
图13-15
(A)
;(B)
;
(C)
;(D)
。
正确答案是:
6图13-16所示(a)、(b)、(c)三种截面,尺寸如图13-16所示。
研究抗失稳能力时,需计算各自的惯性半径i。
若三种截面的惯性半径分别为ia,ib,ic,则:
(A)
;(B)
;
(C)
;(D)
。
图13-16
正确答案是:
7图13-16中四杆均为圆截面直杆,杆长相同,且均为轴向加载,关于四杆临界压力的大小,有四种解答,试判断哪一种是正确的(设其中弹簧的刚度较大)。
(A)Fcr(a) (B)Fcr(a)>Fcr(b)>Fcr(c)>Fcr(d); (C)Fcr(b)>Fcr(c)>Fcr(d)>Fcr(a); 图13-16 (D)Fcr(b)>Fcr(a)>Fcr(c)>Fcr(d)。 正确答案是: 8图13-17所示结构,梁和杆的材料相同,AB梁为N016工字钢,BC为直径d=60mm的圆形截面杆,已知: 材料的E=205GPa,σs=275MPa,强度安全系数n=2,λp=90,λs=50,稳定安全系数nst=3,经验公式σcr=338-1.12λ,试求: [F]。 9平面结构如图13-18所示,重物Q=10kN,从距离梁40mm的高度自由下落至AB梁中点C,梁AB为工字形截面,Iz=15760×10-8m4,杆BD两端为球形铰支座,采用b=5cm,h=12cm的矩形截面。 梁与杆的材料相同,E=200GPa,σp=200MPa,σs=235MPa, a=304MPa,b=1.12MPa,nst=3,问杆BD是否安全。 图13-18 自我测试答案 1正确答案是B。 过正多边形截面形心的任意轴均为形心主轴,且惯性矩相等。 2正确答案是: A 3正确答案是: C 4正确答案是: B 5正确答案是: D 6正确答案是: D 7正确答案是D。 图(b)上端有弹性支承,故其临界力比图(a)大;图(c)下端不如图(a)刚性好,故图(c)临界力比图(a)小;图(d)下端弹簧不如图(c)下端刚性好,故图(d)临界力比图(c)小。 8解: 1.求多余未知力 取图13-19所示静定基和相当系统 图13-19 变形协调方程: 2.BC杆的稳定计算: σcr=338-1.12λ=338-1.12×66.6=258MPa 3.梁AB的强度: 4.结构的许用载荷为 9解 1.动荷系数 kd=38.477 2.稳定计算 柔度 临界应力 工作应力σd=32.06MPa 工作安全系数n=σcr/σd=3.2>nst=3 结构安全
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