多元函数微分学及其应用归纳总结.docx
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多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章多元函数微分法及其应用
一、多元函数的基本概念
1平面点集,平面点集的内点、外点、边界点、聚点,多元函数的定义等概念2、多元函数的极限
limf(x,y)=A(或limf(x,y)=A)的;-'定义
(x,y)「(x°,yo)P「P)
掌握判定多元函数极限不存在的方法:
(1)令P(x,y)沿y二kx趋向P(xo,yo),若极限值与k有关,则可断言函数极限不存在;
(2)找两种不同趋近方式,若limf(x,y)存在,但两者不相等,
(x,y)Txo,yo)
此时也可断言极限不存在。
多元函数的极限的运算法则(包括和差积商,连续函数的和差积商,
等价无穷小替换,夹逼法则等)与一元类似:
例1•用…定义证明(侧0,0)(x2+y2)sin击=0
2+2
例2(03年期末考试三、15分当X>0,y>0时,函数x2;(;2_y)2
的极限是否存在?
证明你的结论。
xy22
例3设f(x,y)=2
22,xy=0
xy,讨论limf(x,y)是否存在?
(x,y)T(0,0)3
卫,x2+y2=0
(JiH,。
)f(X,y)是否存在?
3、多元函数的连续性台(Jim)f(x,y)=f(Xo,yo)
(x,y)(X0,y0)
一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”
点(0,0)不连续,但存在一阶偏导数。
4、了解闭区域上商连续函数的性质:
有界性,最值定理,介值定理
二、多元函数的偏导数1、二元函数z=f(x,y)关于x,y的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义)
-:
Z
XXN)
y談
=Zxx^=fx(X0,y0)=^WS^X0^
如果极限叭
(相当于把
f(X0pX,y0)—f(X0,y0)存在,则有
y看成常数!
所以求偏导数本质是求一元函数的导数。
)
如果极限|啊f(x0,y0nf(x0,y0)存在,则有
对于分段函数,在分界点的偏导数要用定义求
则fx(o,y)二
不连续,但存在一阶偏导数。
设Z二Xy,求Zx,Zy
(03年期末考试,一、2,3分)设u二x•(y-1)arcsinx,则宀在(1,2)
yex
的值为()2、二元函数z二f(x,y)关于x,y的高阶偏导数(二元以上类似定义)
■2
:
Z
2
二三二—A
L、Il、Il、
:
y:
x;xy
CCZ
CCZ
点XI®j
-2
二Z
=fyy(x,y)■y
-2
:
Z
fyx(x,y
-7:
x
定理:
若两个混合二阶偏导数二土,二工在区域D内连续,则有二工
:
x:
y:
y:
x:
x「y
j2z
:
y:
:
x
例1设u二1,r二(x-a)2•(y-b)2•(z-c)2,其中a,b,c为常数,求:
r
2
:
:
u
.:
x2
2
:
:
u
z
y^2
例2.设z=(x2,y2)e9x,求一Z。
fx內
3、z=f(x,y)在点P(x,y)偏导数存在=z=f(x,y)在点P(x,y)连续(07年,
04年,02年等)
「Z—f(xy)
4、偏导数的几何意义:
fx(xo,y°)表示曲线'在点P(xo,yo,Zo)处的
ly=y。
切线与x轴正向的夹角。
三、全微分
z=f(x,y)在点P(Xo,yo)可微分的判定方法
若(jym(o‘o)
_fx(xo,yo)*fy(xo,yo)to,则可判定z=f(x,y)在点
P(xo,y。
)可微分。
其中
“=f(X。
:
x,y°y)-f(x,y)
(08年
期末考试
6分)证明函数
f(x,y)
22
(xy)sin
(y'x2y2
122,x+y
=0
在(0,0)处可微,但偏导数fx(x,y)
x2y2
=o
在(0,
0)处不连续
[.xy,X+y2^0
例2(07年期末考试七、6分)f(x,y)二x2y2,证明:
(1)
0x2+y2=0
函数在(0,0)处偏导数存在;
(2)函数在(0,0)处不可微。
2、全微分的计算方法
若z=f(x,y)在P(xo,yo)可微,则有dz二fx(Xo,y°)dxfy(Xo,y°)dy其中fx(x°,y°),fy(xo,y。
)的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。
例1(08年期末考试,一,1,4分)设z=x4y'+2x,则dz(1,2)=
例2(07,04年期末考试,二,1,3分)设z=arctany(x=0),求dz。
x
2例3(06年期末考试,二、2,3分)设u=xy,则du-
例4(03年期末考试,二、2,3分)函数u=1n(x■y2■z2)在点(1,0,1)处的全微分为
例5.设z=uyarcsinw,u=ex,wx,求函数:
对变量x,y的全
7J2丄27r
xy
微分dz。
3、多元函数的全微分与连续,可偏导之间的关系(07年,04年,02年等)
一阶偏导数fx,fy在P(xo,yo)连续=z=-f(x,y)在P(Xo,y°)可微=■
z二f(x,y)在P(Xo,yo)连续=z二f(x,y)在P(x°,y°)有极限
z=f(x,y)在P(xo,yo)可微=在P(xo,y°)的一阶偏导数fx,fy存在
z=f(x,y)在P(Xo,yo)可微=在P(Xo,yo)的方向导数fx,fy存在
例2.
(08年期末考试,十一,6
分)设z=z(x,y)是由方程
(1)z二f(u,v),u=(t),v=(t)
dz:
:
zdu:
:
zdv:
:
z
dt:
:
udt:
:
vdt;:
:
(x)可导,求dz。
-z=-'':
:
(x'y'z)所确定的函数,其中
例3.(07年期末考试,八,7分)设z=xf(xy,—),f具有连续二阶偏导
x
-_2
数,求N,—z。
bybydx
例4.(06年期末考试,一、1,3分)设z=xyf(y),f(u)可导,则
x
:
z:
z
xy()0
1-.・f-.
x:
y
例5.(04年期末考试,三、1,8分)设G(u,v)可微,方程G(u,v)=0,其
中u=x•yz,v=y2xz确定了z是x,y的二元可微隐函数,试证明
(2寸-xz)空+(2x2_yz)空=z2_4xy.。
axdy
例6.(03年期末考试,三、2,5分)设(u,v)具有连续偏导数,证明方程
(x_yz,y_xz)=0所
确定的函数
z=f(x,y)满足
记u=f(x2t2,—),
x
f具有连续二阶偏导数,求
:
u
『u『u
.x
2,_
:
x:
x:
t
设z=x21ny,而
X裂,y=3u-V,求三和豆。
v:
u:
v
a2b2
fff
z:
z:
求一,一,一
x;y:
x:
y
设u=e]y―単,而y=asinx,z=bcosx,贝Udu。
dx
例10.设z二f(x2-y2,exy),又f具有连续的二阶偏导数,
2.一阶全微分形式不变性:
设z=f(u,v),则不管u,v是自变量还是中间变量,都有dz二f:
du•f;dv
通过全微分求所有的一阶偏导数,有时比链式求导法则显得灵活。
当复合函数中复合的层次较多,结构较为复杂时,用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。
五、隐函数的求导法则
1、F(x,y)=O—y=f(x),求鱼
dx
方法1(直接代公式):
史二一空,其中:
Fx二Fx(x,y),相当于把F看dxFy
成自变量x,y的函数而对x求偏导数。
方法2:
直接对方程两边同时关于x求偏导(记住y=f(x)):
FxFy史,鱼一巳
dxdxFy
2(F+F^)F-F(F+F鱼)
2xxxyyxyx
dy二dxdx
dx「(Fy)2
F(x,y,u,v)=0u二u(x,y)u;u;v;v
3•£r£,求,——,——,-
G(x,y,u,v)=0v=v(x,y):
x:
y;x:
y
建议采用直接推导法:
即方程两边同时关于x求偏导,通过解关于未知
数,兰的二元方程组,得到,兰。
同理可求得空,兰o
x:
x:
x:
x:
y:
y
例1•设f(x,y,z)=exyz2,其中z=z(x,y)是由xyzxyz=0确定的隐函
数,求fx(0,1,-1)o
例2•设有隐函数其中F的偏导数连续,求—,—o
zzexcy
例3.(04年期末考试,三、1,8分)设G(u,v)可微,方程G(u,v)=0,其中u=x2yz,v=y2xz确定了z是x,y的二元可微隐函数,试证明
2Cz2Gz2
(2y一xz)(2x一yz)z-4xy.
exdy
六、多元函数微分学的几何应用
1、空间曲线的切线与法平面方程(三种形式)——参数形式,两柱面交线,两曲面交线
切线向量{x'(to),y(to),z(to)}
X=X
=■y=y(x)二[z=z(x)切线向量{1,y(Xo),z'(Xo)}
y=y(x)z=z(x)
x—xy—yz—z
o.oo
y(to)z(tZ(x—xo)+y(切xyoWHoT
X=XF(x,y,z)=Oy二y(x)
二二y=y(x)
G(x,y,z)=0z二z(x)
[z=z(x)
切线向量{1,y'(xo),z'(xo)}
_x_x0y_y0z_z0_
「丁二莎二莎"…。
)川0)(y"。
T
3、曲面的切平面与法线方程(两种形式)一一隐函数,显示函数
Fxa-X。
)Fy(y-y。
)Fz/z-Zo)=0F(x,y,z)=0=x-x。
y-y。
z-z。
Fx(x。
,y°,z。
)Fy(X0,y0,z。
)Fz(X0,y0,z。
)
法线向量{Fx(Xo,yo,z)),Fy(x。
y°,z。
),Fz(x。
,y°,z。
)}
z=f(x,y)n丿
x—x。
y—y。
z—z。
fxEy。
)fy(x(),y。
)-1
fx(x-x。
)fy(y-y。
)-(z-z。
)=0
法线向量{fx(x。
y。
),fy(x°,y。
),-1},规定法向量的方向是向上的,即使得它与z
轴的正向所成的角是锐角,在法向量的方向余弦为:
co的=rfx二,cosP=
1fx2f:
-f
=y,cos二f2f2
xy
f2f2
X
x=acost
例1(08年期末考试,一、2,4分)曲线y=asint在点(a,0,0)的切线方程z=ct
例2(08年期末考试,十、7分)在曲面z=2X2•1y2上求出切平面,使得切
2
平面与平面4x-2y-2z-1=0.平行。
例3(07年期末考试,二、5,3分)曲面z-e「2xy=3在点(1,2,0)处的法线
方程。
222
例4(07年期末考试,十、8分)在第一卦限内作椭圆x2y2z2=1的切平
abc
面,使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小,求切点的坐标。
例5(06年期末考试,二、3,3分)曲面3xyz_z3=a3在点(0,a,-a)处的切平面方程。
例6(04年期末考试,三、3,7分)在球面x2y2z^9上求一点,使得过该点的切平面与已知平面2x•y—2z=0平行。
例7.在曲线X二t,y=2t2,z=3t‘上求点,使该点处曲线的切线平行平面
8x7y-4z=1。
例8设f(x,y)具有一阶连续偏导数,且f:
•fy2=0,对任意实数t有
f(tx,ty)二tf(x,y),试证明曲面z=f(x,y)上任意一点(Xo,yo,z°)处的法线与直线——相垂直。
XoyoZo
例9由曲线3x22y2=12绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,•迈)处lz=0
指向外侧的单位法向量,
七、方向导数与梯度
1、方向导数的概念和计算公式
z=f(x,y)在P(x,y)沿l方向的方向导数为:
1设P'(xx,yy)为l上一点,则
f..f(P')-f(P)..f(x%yy)-f(x,y)
T二limJ叫-
2设l的方向余弦为:
I二{COSJ,COS:
},则
:
f:
f:
f:
coscos:
l:
xy
可微二.方向导数存在,但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系
2、梯度的概念和计算公式
z=f(xy在P(x,y沿什么方向的方向导数最大?
222
2x2y-z=25
2丄22
x+y=z
在点Po处的切线方向的方向导数。
例2•求函数f(x,y)二x2y3在点(2,1)沿方向丨=i,j的方向导数例3•设函数z=f(x,y)二xey,
(1)求出f在点P(2,0)处沿P到Q(1/2,
2)方向的变化率;
(2)f在P(2,0)沿什么方向具有最大的增长率,最大
增长率为多少?
例4(08年期末考试,一、4,4分)函数x2y2在点P°(1,2)处沿从P°(1,2)到点R(2,23)方向的方向导数。
例5(07年期末考试,二、4,3分)函数z=x2-xy•y2在点(-1,1)处沿方向
I-{2,1}的方向导数。
例6(06年期末考试,四、7分)函数u=x2•y2•z2-3z在点M0(1,-1,2)处的梯度及沿梯度方向的方向导数。
八、多元函数的极值及其求法
1掌握极值的必要条件、充分条件
2、掌握求极值的一般步骤
3、掌握求条件极值的一般方法——拉格朗日乘数法
例1.求函数f(x,y)=x3-y3-3x23y2-9x的极值。
例2(04年期末考试,三、3,6分).设长方体过同一顶点的三条棱长之和为
3a,问这三条棱长各取什么值时,长方体的表面积最大?
例3.求旋转抛物面z=x2•y2与平面x•y-2z=2之间的最短距离。
例4(08年期末考试,六、7分)求u=x-2y-2z在约束x2y2z^1下的最大值和最小值。
222
例5(07年期末考试,十、8分)在第一卦限内作椭球x2y2z2=1的切平
abc
面,使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小,求切点的坐标。
例6(06年期末考试,五、8分)做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶,问尺寸应如何,才能使用料最省?
例7(03年期末考试,八、10分)求曲线x2xyy22^2^1^0上距原点最近和最远的点。
厂fxx(x,y)
•X
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- 多元 函数 微分学 及其 应用 归纳 总结