专题14 空间向量与立体几何仿真押题高考数学.docx
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专题14空间向量与立体几何仿真押题高考数学
专题14空间向量与立体几何(仿真押题)
2017年高考数学(理)命题猜想与仿真押题
1.有以下命题:
①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系是不共线;
②O,A,B,C为空间四点,且向量,,不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C一定共面;
③已知向量a,b,c是空间的一个基底,则向量a+b,a-b,c也是空间的一个基底.
其中正确的命题是( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
2.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于( )
A.B.C.D.
解析 由题意得c=ta+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),
∴解得
答案 D
3.已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影,则2等于( )
A.(9,0,16)B.25
C.5D.13
解析 A在xOz平面上的射影为B(3,0,-4),则=(3,0,-4),2=25.
答案 B
4.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点M在上,且=,N为B1B的中点,则||为( )
A.B.C.D.
解析 如图,设=a,=b,=c,
则a·b=b·c=c·a=0.
由条件知=++
=-(a+b+c)+a+c
=a-b+c,
∴2=a2+b2+c2=,
∴||=.
答案 A
5.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos〈m,n〉=-,则l与α所成的角为( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
解析 设l与α所成角为θ,∵cos〈m,n〉=-,又直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°,∴sinθ=.∴θ=30°.
答案 A
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin〈,〉的值为( )
A.B.C.D.
答案 B
7.设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是( )
A.B.C.D.
解析 如图,建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),
∴=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0),
设平面A1BD的法向量n=(x,y,z),
则令x=1,则n=(1,-1,-1).
∴点D1到平面A1BD的距离
d===.
答案 D
8.二面角αlβ等于120°,A、B是棱l上两点,AC、BD分别在半平面α、β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=BD=1,则CD的长等于( )
A.B.C.2D.
9.如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉的值为( )
A.0 B. C. D.
解析 设=a,=b,=c,由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉=,且|b|=|c|,
·=a·(c-b)=a·c-a·b
=|a||c|-|a||b|=0,
∴cos〈,〉=0.
答案 A
10.若两点的坐标是A(3cosα,3sinα,1),B(2cosβ,2sinβ,1),则|AB|的取值范围是( )
A.0,5]B.1,5]
C.(0,5)D.1,25]
11.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).则以,为边的平行四边形的面积为________.
解析 由题意可得:
=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
∴cos〈,〉=
===.∴sin〈,〉=.
∴以,为边的平行四边形的面积
S=2×||·||·sin〈,〉=14×=7.
答案 7
12.将锐角A为60°,边长为a的菱形ABCD沿BD折成60°的二面角,则A与C之间的距离为________.
解析 设折叠后点A到达A1点的位置,取BD的中点E,连接A1E、CE.
∴BD⊥CE,BD⊥A1E.
∴∠A1EC为二面角A1BDC的平面角.
∴∠A1EC=60°,又A1E=CE,
∴△A1EC是等边三角形.
∴A1E=CE=A1C=a.
即折叠后点A与C之间的距离为a.
答案 a
13.如图,△ABC是以∠ABC为直角的三角形,SA⊥平面ABC,SA=BC=2,AB=4.M,N,D分别是SC,AB,BC的中点.
(1)求证:
MN⊥AB;
(2)求二面角SNDA的余弦值;
(3)求点A到平面SND的距离.
解 以B为坐标原点,BC,BA为x,y轴的正方向,垂直于平面ABC的直线为z轴,建立空间直角坐标系(如图).
(1)证明 由题意得A(0,4,0),B(0,0,0),M(1,2,1),N(0,2,0),S(0,4,2),D(1,0,0).
所以:
=(-1,0,-1),=(0,-4,0),·=0,∴MN⊥AB.
(3)∵=(0,-2,0),
∴点A到平面SND的距离
d==.
14.如图,将长为4,宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面,记底面上一边AB=t(0 (1)当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时,求二面角B-A1C-D的值; (2)线段A1C上是否存在一点P,使得A1C⊥平面BPD,若有,求出P点的位置,没有请说明理由. 解法一 (1)根据题意,长方体体积为V=t(2-t)×1=t(2-t)≤=1, 当且仅当t=2-t,即t=1时体积V有最大值为1, 所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时,底面四边形ABCD为正方形, 作BM⊥A1C于M,连接DM,BD, 因为四边形ABCD为正方形,所以△A1BC与△A1DC全等,故DM⊥A1C,所以∠BMD即为所求二面角的平面角. 因为BC⊥平面AA1B1B,所以△A1BC为直角三角形, 又A1B=,A1C=,所以BM===,同理可得,DM=, 在△BMD中,根据余弦定理有: cos∠BMD==-, 因为∠BMD∈(0°,180°),所以∠BMD=120°, 即此时二面角B-A1C-D的值是120°. (2)若线段A1C上存在一点P,使得A1C⊥平面BPD,则A1C⊥BD 又A1A⊥平面ABCD,所以A1A⊥BD,所以BD⊥平面A1AC.所以BD⊥AC, 底面四边形ABCD为正方形,即只有ABCD为正方形时,线段A1C上存在点P满足要求,否则不存在.由 (1)知,所求点P即为BM⊥A1C的垂足M, 此时,A1P===. 法二 根据题意可知,AA1,AB,AD两两垂直,以AB为x轴,AD为y轴,AA1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系: (2)根据题意有B(t,0,0),C(t,2-t,0),D(0,2-t,0),若线段A1C上存在一点P满足要求,不妨=λ(λ>0),可得P(λt,λ(2-t),1-λ) =(λt-t,λ(2-t),1-λ), =(-t,2-t,0), 即: 解得: t=1,λ=. 即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P,位置是线段A1C上A1P∶PC=2∶1处. 15.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=30°,∠B=90°,D为AC中点,E为BD的中点,AE的延长线交BC于F,将△ABD沿BD折起,折起后∠AEF=θ. (1)求证: 平面AEF⊥平面BCD; (2)cosθ为何值时,AB⊥CD? (2)解 如图所示,过A作AP⊥平面BCD于P, 则P在FE的延长线上. 设BP与CD相交于Q,令AB=1, 则△ABD是边长为1的等边三角形. 若AB⊥CD,又AP⊥CD,则CD⊥平面ABP,PQ⊂平面ABP, 则BQ⊥CD. 在Rt△CBQ中,由于∠C=30°,故∠CBQ=60°. 又∠CBD=30°,故∠EBP=30°. 在Rt△EBP中,PE=BE·tan30°=×=. 又AE=,故cos∠AEP==. 折起后有cosθ=cos(π-∠AEP)=-. 故当cosθ=-时,AB⊥CD. 16.如图,侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,AA1+AB+AC=3,AB=AC=t(t>0),P是侧棱AA1上的动点. (1)当AA1=AB=AC时,求证: A1C⊥平面ABC1; (2)试求三棱锥PBCC1的体积V取得最大值时的t值; (3)若二面角ABC1C的平面角的余弦值为,试求实数t的值. (1)证明 连接A1C. ∵AA1⊥平面ABC,AB、AC⊂平面ABC, ∴AA1⊥AC,AA1⊥AB. 又AB⊥AC, ∴以A为原点,分别以AB,AC,AA1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(0,0,0),C1(0,1,1), B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),=(0,1,-1),=(0,1,1),=(1,0,0). 设平面ABC1的法向量n=(x,y,z), 则解得 令z=1,则n=(0,-1,1). ∵=-n,∴A1C⊥平面ABC1. (2)解 ∵AA1∥平面BB1C1C, ∴点P到平面BB1C1C的距离等于点A到平面BB1C1C的距离. ∴ =t2(3-2t)=t2-t3(0 令V′=0,得t=0(舍去)或t=1, 列表得 t (0,1) 1 V′ + 0 - V 递增 极大值 递减 ∴当t=1时,Vmax=. 设平面BCC1的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则 ∵0 令y2=1,则n2=(1,1,0). 设二面角ABC1C的平面角为θ,由图可知θ为锐角,则有|cosθ|===. 化简得5t2-16t+12=0,解得t=2(舍去)或t=. ∴当t=时,二面角ABC1C的平面角的余弦值为. 17.直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB′的中点. (1)求证: CE⊥A′D; (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值. (1)证明 设=a,=b, =c, 根据题意,|a|=|b|=|c|, 且a·b=b·c=c·a=0, ∴=b+c,=-c+b-a. ∴·=-c2+b2=0. ∴⊥,即CE⊥A′D. (2)解 =-a+c, ∴||=|a|,||=|a|. ·=(-a+c)·(b+c)=c2=|a|2, ∴cos〈,〉==. 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为. 18.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥侧面BB1C1C,AB=BC=1,BB1=2,∠BCC1=60°. (1)求证: C1B⊥平面ABC; (2)设=λ(0≤λ≤1),且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°,试求λ的值. (2)解 由 (1)可知,AB,BC,BC1两两垂直.以B为原点,BC,BA,BC1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 则B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0), C1(0,0,),B1(-1,0,). 所以=(-1,0,),所以=(-λ,0,λ),∴E(1-λ,0,λ),则=(1-λ,-1,λ),=(-1,-1,). 设平面AB1E的一个法向量为n=(x,y,z), 则得 令z=,则x=,y=, ,∴n=, ∵AB⊥平面BB1C1C,=(0,1,0)是平面的一个法向量, ∴|cos〈n,〉|= ==. 两边平方并化简得2λ2-5λ+3=0,所以λ=1或λ=(舍去).∴λ=1. 19
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