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最新回答学生问题离散数学
回答学生问题(离散数学)
问题回答
一、回答“学习求助”(wzzlhlf)
教材第42页练习2.1(A):
1
(1)
求«SkipRecordIf...»的真值。
其中P:
3>2;Q(x):
x≤3;R(x):
x>5,e:
6,个体域D={-2,3,6}。
解P为“3>2”,显然为真,即P⇔1,e=6,R(e)为“6>5”,此命题真值为1,故R(e)⇔1。
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
二、回答“答张喜荣(wwwedu)”
1.任意集合A,B,证明P(A)⋃P(B)⊆P(A⋃B)
证明∀x∈(P(A)⋃P(B))⇔x∈P(A)∨x∈P(B)⇔x⊆A∨x⊆B⇒x⊆(A⋃B)⇔P(A⋃B)
说明:
集合有性质A⊆A⋃B,B⊆A⋃B。
x⊆A⊆A⋃B,x⊆B⊆A⋃B,所以x⊆(A⋃B)⋂(A⋃B)=A⋃B。
而A⋂B⊆A,A⋂B⊆B
证明中的“x⊆A∨x⊆B⇒x⊆(A⋃B)”,只能是单方向⇒,而不是双方向⇔。
2.教材第154页23题。
解∀x,
x∈f-1(A⋂B)⇔f(x)∈A⋂B⇔f(x)∈A∧f(x)∈B
⇔«SkipRecordIf...»
说明:
本题需要分清楚:
f:
X→Y,即X=Dom(f),Ran(f)⊆Y。
Y的子集合A,B都是值域的部分,那么f-1(A)或f-1(B)都是定义域中的元素。
3.自反性与反自反性的区分,
自反性就是所有
如A{a,b,c},那么只要含有,,
而有一个或两个这种对的二元关系既不是自反的也不是反自反的。
三、回答Email:
heavy_rain_tien的问题
原问题1.证明“集合A上的二元关系是传递关系的充分必要条件是R∙R⊆R”是否要用归纳法?
解答:
不用归纳法,证明如下。
证明先证必要性⇒.即已知R是传递关系,要证R∙R⊆R.
因为«SkipRecordIf...»,若∈R∙R⇔∃b∈A(∈R∧∈R),由R是传递的定义,得到∈ 再证充分性,⇐,即已知R∙R⊆R,要证R是传递的. 由复合关系定义,若∀,,若∈R∧∈R⇒∈R∙R⊆R,即∈R,所以R是传递的. 原问题2.要画出完全图的子图很容易漏掉,请问对于Kn的子图数目有什么规律性? 解答: 作Kn的子图,尤其是非同构的子图,没有好的规律可用. 一般地,对边数归纳逐一做. 先做0条边的,结点逐一增至n; 再做1条边的,结点逐一增至n; ………… 原问题3.第6章定理4,5,9,12都省略了证明,老师是否可以提供一下? 解答: 下面给出几个定理的证明。 (1)第6章定理4的证明 定理4: 设G= 为了证明定理4,首先证明引理. 引理1: 设G是有n个结点的无向简单图,如果G中每对结点度数之和大于或等于n-1,则G中存在哈密顿通路. 证明首先证明G是连通的.否则,G中至少存在两个连通分支G1和G2.设G1有n1个结点,G2有n2个结点.由于G是简单图,故G1和G2均为简单图.因而 «SkipRecordIf...» 于是«SkipRecordIf...» 与题设条件矛盾.所以G是连通图. 下面证明存在哈密顿通路. 设L=v1v2…vl为G中一条长度为l-1的初级通路l≤n,不妨设此通路的端点不再与L外的结点相邻了,否则可将相邻的结点扩充到该通路中来. (1)若l=n,则L是G中哈密顿通路. (2)若l 若v1和vl相邻,则v1v2…vlv1为G中一初级回路. 若v1和vl不相邻,设v1与«SkipRecordIf...»=v2,«SkipRecordIf...»相邻,则«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»均在L上.并且k≥2,假若k=1,因为v1不与vl相邻,因而«SkipRecordIf...»,于是 «SkipRecordIf...» 这与题设条件矛盾. 又vl至少与«SkipRecordIf...»中的一个结点相邻,否则vl至多与 l-1-1-(k-1)=l-k-1 个结点相邻,于是 «SkipRecordIf...» 这又与题设条件矛盾.不妨设vl与«SkipRecordIf...»相邻(2≤j≤k),见图1所示.去掉边(«SkipRecordIf...»),得回路 «SkipRecordIf...»,如图2所示. (3)由于l 这条新的通路比原来的通路多一条边,对新的通路重复 (1), (2),(3). 重复上述过程,直到全部结点扩展到初级通路中来.得G的一条哈密顿通路为止. 下面证明定理4. 证明定理4设G有n个结点.由引理,G中存在哈密顿通路.不妨设v1v2…vn为G中一条哈密顿通路. (1)若v1与vn相邻,则v1v2…vn为G中一条哈密顿回路. (2)若v1与vn不相邻,用同证明引理类似的方法,可证存在过结点v1,v2,…,vn的初级回路,即为一条哈密顿回路. (2)第6章定理5的证明. 定理5: 设有向图D= 证明由已知可知,有向图是连通图,且任何一对结点之间至少存在一条有向边. 首先确定D中一条初级通路v1v2…vp,p≤n. (1)若p=n,则v1v2…vp为D中哈密顿通路. (2)若p 1)存在vi,2≤i≤p-1, 2)对任意i(1≤i≤p), 同样,若新的通路外还有结点,用类似的方法,再将它扩进通路中来.经过有限次,将图中所有结点全能扩进通路中来,得D中一条通过图中所有结点的初级通路,即为哈密顿通路. (3)第6章定理9的证明,定理9的证明比定理4,5还长.请参考黄天发编著的《离散数学》第371~373页(16开本的书)(电子科技大学出版社出版,地址: 610054成都建设北路二段4号). (4)第6章定理12的证明. 引理2: 设G是连通简单平面图,则它一定有一个度数不超过5的结点. 证明因为G是连通简单平面图,它的每个面至少有3条边,所以有 «SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»(其中r,e分别为图G的面数和边数) 假设结论不成立,则每个结点的度数都大于等于6.则有 «SkipRecordIf...»,即有«SkipRecordIf...»(其中v是图G的结点数) 由欧拉公式: 2=«SkipRecordIf...»=0 矛盾.所以G中至少有一个结点的度数小于或等于5. 定理12: 任何平面图G是5-色的. 证明不妨设G是连通图,否则可对每个连通分支进行讨论.用1,2,3,4,5代表5种不同的颜色.对图G的结点数进行归纳证明. 当n≤5时,定理显然成立. 设结点数n=k≥6时成立,我们来证明n=k+1时定理也成立. 由引理2可知,G中存在结点v,«SkipRecordIf...»,将v从图G中删去得图记作G1,有假设G1是5-色的.将G1的各结点用5种颜色着色,然后将v及所关联的边加入G1,使其还原成G.看v是否可着色. (1)若«SkipRecordIf...»,当然v可着五种颜色的一种.使其与相邻的结点没有相同的颜色. (2)若«SkipRecordIf...»,但与v相邻的五个结点至多用了四种颜色,这时给v着一种颜色,使其与相邻的结点没有相同的颜色是办得到的.若与相邻的结点已经用了五种颜色(如图6). 设 V1={u∣u是G的结点,且u着颜色1或3} 设V的导出子图为G1.3,若v1,v3分别属于G1.3的 不同的连通分支,则在v1所在的连通分支中,将 1,3两种颜色对调,这时v1着颜色3,故可给v 着颜色2.若v1,v3属于G1.3的同一个连通分支, 则V1⋃{v}的导出子图中含从v1,经过v和v3以及 V1中一些结点到v1的回路,设C是其中的一条回 路(如图6),则C将G所在的平面分成两个区域. 显然v2和v4分别处在这两个区域中.设 V2={u∣u是G的结点且u着颜色2或4} 并设V的导出子图为G2.4.则v2和v4必属于G2.4的不同的连通分支.在v2所在的连通分支将2,4两种颜色对调,使v2着颜色4.于是,可将v着颜色2.这就证明了5-色定理. 引理2: 设G是连通简单平面图,则它一定有一个度数不超过5的结点. 证明因为G是连通简单平面图,它的每个面至少有3条边,所以有 «SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»(其中r,e分别为图G的面数和边数) 假设结论不成立,则每个结点的度数都大于等于6.则有 «SkipRecordIf...»,即有«SkipRecordIf...»(其中v是图G的结点数) 由欧拉公式: 2=«SkipRecordIf...»=0 矛盾.所以G中至少有一个结点的度数小于或等于5. 原问题4.第6章,定理14性质4“不含圈的连通图”指的是什么? 解答: 定理14就是讨论树的等价定义的,故“不含圈的连通图”就是没有回路的且连通的图,即是树. 原问题5.回答练习6.3(A): 第4题.写出图6-23的色多项式. 解答: (a)答案为P(G,λ)=«SkipRecordIf...»,色数为3. (b)答案为P(G,λ)=«SkipRecordIf...»,色数为3. 即你的答案.原教材上的答案与你的答案展开式,只是λ5的系数有差别,书上答案系数为-720,正确答案应为-740.可能是展开«SkipRecordIf...»,合并同类项时计算有误. 下面说明图(a)的答案.教材答案不对.你的计算答案也有错. 按照P(G,λ)的定义(教材第206页9~12行),P(G,λ)是使P(G,λ)>0的λ的最小值. P(G,λ)=«SkipRecordIf...», 显然P(G,1)=P(G,2)=0,而P(G,3)=«SkipRecordIf...»∣λ=3=6>0 故色数为3. 但是,你的答案: P(G,λ)=«SkipRecordIf...».首先这不是λ的6次多项式;不满足P(G,1)=0. 现将解答过程列下. 用定理13.将定理13改造如下.记定理13中的G'e为G,G为G+,G"e=G-(注意: 在G"e中有两条平行线,我们讨论的都是简单图,因此平行线应画在一起,是一条线).于是, 教材P206的图6-19应为 在本图G中,不相邻的两 个结点c,d之间加边(c,d), 得图G+;将图G的两个结 点c,d合并,将d合到c,得 图G-的左图,将d合并到 c,得图G-的右图,均是一 样的. 于是,定理13的结论改写成: P(G,λ)=P(G+,λ)+P(G-,λ) 利用这个结论,计算图6-23 (a)的色多项式.图6-23(a)(即图7(a)G)如下. 图G有6个结点,在G中添加不相邻结点间的边,再将该二个结点合并,将整个图分解成若干个结点数不超过6的完全图的和. 将G添加成K6,就需在不相邻结点间, 逐步添加边和合并结点完成. (1)如图7,在结点a,f 之间加边,再将其合并,得到 图8.添加边得到图记作«SkipRecordIf...», 合并a到f得到图记作«SkipRecordIf...». 于是 P(G,λ)=P(«SkipRecordIf...»,λ)+P(«SkipRecordIf...».λ) (2)对«SkipRecordIf...»添加不相邻结点的 边(b,e),再合并e到b,得图«SkipRecordIf...», «SkipRecordIf...».如图9. (3)对«SkipRecordIf...».«SkipRecordIf...»再作添加 比相邻结点的联边,而后再合并 这两个结点,又各自分别得到 «SkipRecordIf...».«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...». 继续对这些图作添加不 相邻结点的联边,再合并二不 相邻结点.直至所有图都是完全 图,可得到一个K6,五个K5和六个K4. (4)再对«SkipRecordIf...».作添加边(b,e),然后再合并e到b,得到图10. «SkipRecordIf...»是K4;对«SkipRecordIf...»作与前面相同的处理方法,可以得到一个K5,两个K4和一个K3. 总之,可以得到K6,6个K5, 9个K4,1个K3.即 P(G,λ)=P(K6,λ)+6P(K5,λ) +9P(K4,λ)+P(K3,λ) 由教材第206页,倒数第2行: 3. 若图G是n个结点的完全图,则 P(Kn,λ)=«SkipRecordIf...» 有 P(K6,λ)=«SkipRecordIf...» P(K5,λ)=«SkipRecordIf...» P(K4,λ)=«SkipRecordIf...» P(K3,λ)=«SkipRecordIf...» 所以P(G,λ)=«SkipRecordIf...»+6«SkipRecordIf...» +9«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...» =«SkipRecordIf...» 原问题6.习题6的第4题,“P(G)≤∣S∣+1”,我认为应该是∣S∣。 因为回路中去掉一结点a后,P(C-a)=1。 解答: 请看原教材的题目,其中的C是哈密顿路(回路或通路).S是V的真子集合,显然C要经过S的所有结点,故P(G-a)≤2,而不是P(G-a)=1. 故原结论成立. 只有C是回路时,P(G-a)=1. 原问题7: 练习7.3(B)第2,最后一步: 既然k=min{Z+},是满足条件的最小正数,那么0≤k<1成立? 另外,H包含于ak理由也不充分。 解答: 请看教材练习7.3(B)第2的答案。 书中解答是正确的.k=«SkipRecordIf...». 举例,如6阶循环群,G=(a)={a0=e,a1,a2,a3,a4,a5}. G有子群: H=(a2)={a0=e,a2,a4},显然a2,a4,a6(=a0),a8,a10,a14,a16,…∈H. k=«SkipRecordIf...»=2 原问题8: 据群的定义,+单位元是0,无零元;任意集合内元素a,有惟一-a。 而环的性质中+有零元0,a有负元-a。 我们以哪种说法为准? 解答: 关于单位元与0元.在整数群(Z,+)中,加法+(普通数的加法)的单位元是“0”. 在环中,运算+的0元是“0”.这里的+,不一定就只是数的加法.所以不必将它们统一. 原问题9: 环的零因子是否只针对第二个运算符? 对于“既是做零因子,又是右零因子”的理解有二: (1)a≠0,a∙a=0,则a是零因子; (2)a,b≠0,b∙a=0,则a是零因子 哪一个正确? 若是前者,则练习8.1第4 (2),(3)的答案不对。 解答: 环的0因子是针对第二个运算∙的;而第一个运算+的类似的元素叫“负元”.你关于“左、右零因子”的理解是对的. 练习8.1(A)的第4题答案正确. (2)Z10,关于∙(确切地说应为×10)的0因子是[2],[4],[5],[6],[8].因为 [2]×10[5]=[0],[4]×10[5]=[0],[5]×10[2]=[0],[6]×10[5]=[0],[8]×10[5]=[0] (3)∀A∈P(S),∅⋂A=∅,所以,∅是运算⋂的零因子,而∀x∈P(S),S-x∈P(S),有 x⋂(S-x)=∅. 原问题10: 空关系也算是有传递性吗? 解答: .∅是传递关系,因为∅∙∅⊆∅. 原问题11: 联结词中,不可兼析取运算优先次序应该排在什么位置? 解答: 关于联结词的优先级,有的书是如下规定的: 最先: ⌝;其次是: ∧,∨,⎺∨;最后: →,↔. 我们的教材上规定为⌝,∧,∨,⎺∨(原教材没有,我认为应在此处),→,↔,所以做题时的括号较多. 原问题12: 用推理规则证明时是否每一步都声明定理? 解答: 构造推理证明,不一定每步都注明定律.初学者,注明定律目的在熟悉它掌握它。 原问题13: 前束范式是否必须要求: 否定联结词必须在()内? 运算的结果不能包含→运算符吗? 解答: 根据前束范式的定义,只要将所有量词移到谓词公式的最前边,每个量词的作用域都延伸到最后即可.公式中可以有→,⌝也可以在某个()之前. 最后推荐几本书,供参考. (1)耿素云,方新贵编《离散数学》(下册)(北京大学出版社出版,地址: 100071,北京大学校内) (2)戴一奇,胡冠章,陈卫编《图论与代数结构》(清华大学出版社出版,地址: 100084,北京清华大学校内)
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