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劳斯霍尔维茨定性判据
第三章控制系统的时域分析法
劳斯-霍尔维茨稳固性判据
稳固性是控制系统最重要的问题,也是对系统最大体的要求。
控制系统在实际运行中,总会受到外界和内部一些因素的扰动,例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的转变等。
若是系统不稳固,当它受到扰动时,系统中各物理量就会偏离其平衡工作点,并随时刻推移而发散,即便扰动消失了,也不可能恢恢复来的平衡状态。
因此,如何分析系统的稳固性并提出保证系统稳固的办法,是控制理论的大体任务之一。
常常利用的稳固性分析方式有:
1.劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判据:
这是一种代数判据。
它是按照系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置,来判断系统的稳固性.
2.根轨迹法:
这是一种利用图解来系统特征根的方式。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹,从而全面了解闭环系统特征根随该参数的转变情形。
3.奈魁斯特(Nyquist)判据:
这是一种在复变函数理论基础上成立起来的方式。
它按照系统的开环频率特性肯定闭环系统的稳固性,一样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方式在工程上是取得了比较普遍的应用。
4.李雅普诺夫方式上述几种方式主要适用于线性系统,而李雅普诺夫方式不仅适用于线性系统,也适用于非线性系统。
该方式是按照李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳固性。
一、稳固性的概念
稳固性的概念能够通过图3-31所示的方式加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体,其底部朝下时,咱们施加一个很小的外力(扰动),圆锥体会略微产生倾斜,外作使劲撤消后,通过若干次摆动,它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时,由于只有一点能使圆锥体维持平衡,所以在受到任何极微小的外力(扰动)后,它就会倾倒,若是没有外力作用,就再也不能回到原来的状态。
因此,系统的稳固性概念为,系统在受到外作使劲后,偏离了最初的工作点,而当外作使劲消失后,系统能够返回到原来的工作点,则称系统是稳固的。
设系统在初始条件为零时,在单位理想脉冲作用下,这时系统的脉冲响应为c(t)。
若
t→∞时,脉冲响应
这时,线性系统是稳固的。
设系统的特征方程D(s)=0的根为si,由于单位脉冲传递函数的拉氏变换为1,系统输出的拉式变换为:
瞬态响应项表现为衰减、临界和发散三种情形之一,它是决定系统稳固性的关键。
由于输入量只影响到稳态响应,而且二者具有相同的特性,即若是输入量r(t)是有界的:
|r(t)|<∞,t≥0
则稳态响应也一定是有界的。
则系统稳固性能够归结为,系统在任何一个有界输入的作用下,其输出是不是有界的问题。
一个稳固的系统概念为,在有界输入的作用下,其输出响应也是有界的。
这叫做有界输入有界输出稳固,又简称为BIBO稳固。
线性系统的稳固性能够按照闭环极点在S平面内的位置来肯定。
设单输入单输出线性系统的微分方程为,即
则系统的稳固性由上式左端决定,或说系统稳固性可按齐次微分方程式
来分析。
这时,在任何初始条件下,若知足
则称系统是稳固的。
为了决定系统的稳固性,可求出式的解。
由数学分析明白,式的特征方程式为
设上式有k个实根-pi(i=1,2,…,k),r对共轭复数根(-σj±jωj)(j=1,2,…,r),k+2r=n,则齐次方程式解的一般式为
式中系数Aj,Bj和Cj由初始条件决定。
从式可知:
(1)若-pi<0,-sj<0(即极点都具有负实部),则式成立,系统最终能恢复至平衡状态,所以系统是稳固的。
(2)若-pi或-sj中有一个或一个以上是正数,则式不知足。
当t→∞时,c(t)将发散,系统是不稳固的。
(3)只要-pi中有一个为零,或-sj中有一个为零(即有一对虚根),则式不知足。
当t→∞时,系统输出或为一常值,或为等幅振荡,不能恢恢复平衡状态,这时系统处于稳固的临界状态。
总结上述,能够得出如下结论:
线性系统稳固的充分必要条件是它的所有特征根均为负实数,或具有负的实数部份。
或它的所有特征根,均在S平面面的左半部份(见图3-32)。
表列举了几个简单系统稳固性的例子。
需要指出的是,对于线性定常系统,由于系统特征方程根是由特征方程的结构(即方程的阶数)和系数决定的,因此系统的稳固性与输入信号和初始条件无关,仅由系统的结构和参数决定。
若是系统中每一个部份都可用线性定常微分方程描述,那么,当系统是稳固时,它在大误差情形下也是稳固的。
若是系统中有的元件或装置是非线性的,但经线性化处置后可用线性化方程来描述,则当系统稳固时,咱们只能说那个系统在小误差情形下是稳固的,而在大误差时不能保证系统仍是稳固的。
判断系统稳固性的条件是按照系统特征方程的根。
但求解高阶特征方程的根是相当麻烦的,往往需要求助于运算机。
实际上,咱们只希望了解特征方程的根在S平面上散布情形。
所以,人们就希望能在不求解特征方程的情形下,来肯定系统的稳固性。
下面就介绍常常利用的劳斯判据和赫尔维茨判据。
劳斯-霍尔维茨稳固性判据
二、劳斯判据
(一)系统稳固性的初步判别
已知系统的闭环特征方程为
式中所有系数均为实数,且an>0,则系统稳固的必要条件是系统特征方程的所有系数均为正数。
证明如下:
设式有n个根,其中k个实根-pj(j=1,2,…,k),r对复根-si±jwi(i=1,2,…,r),n=k+2r。
则特征方程式可写为
假设所有的根均在左半平面,即-pj<0,-σi<0,则pj>0,σi>0。
所以将各因子项相乘展开后,式()的所有系数都是正数。
按照这一原则,在判别系统的稳固性时,第一检查系统特征方程的系数是不是都为正数,假设有任一系数为负数或等于零(缺项),则系统就是不稳固的。
可是,假若特征方程的所有系数均为正数,并非能肯定系统是稳固的,还要做进一步的判别。
因为上述所说的原则只是系统稳固性的必要条件,而不是充分必要条件。
(二)劳斯判据
这是1877年由劳斯(Routh)提出的代数判据。
1.若系统特征方程式
设an>0,各项系数均为正数。
2.按特征方程的系数列写劳斯阵列表:
表中
直至其余bi项均为零。
按此规律一直计算到n-1行为止。
在计算进程中,为了简化数值运算,可将某一行中的各系数均乘一个正数,不会影响稳固性结论。
3.考察阵列表第一列元素的符号。
假若劳斯阵列表中第一列所有元素均为正数,则该系统是稳固的,即特征方程所有的根均位于S平面的左半平面。
假若第一列元数有负数,则第一列元素的符号的转变次数等于系统在S平面右半平面上的根的个数。
例系统特征方程为
试用劳斯判据判别系统的稳固性。
解从系统特征方程看出,它的所有系数均为正实数,知足系统稳固的必要条件。
列写劳斯阵列表如下
第一列系数均为正实数,故系统稳固。
事实上,从因式分解可将特征方程写为
其根为-2,-3,
,均具有负实部,所以系统稳固。
例系统特征方程为
试用劳斯判据判别系统的稳固性。
解从系统特征方程看出,它的所有系数均为正实数,知足系统稳固的必要条件。
列写劳斯阵列表如下
第一列系数有两次变号(+1到-6,-6到+5),故系统不稳固,且有两个正实部的根。
例已知系统特征方程式为
解列写劳斯阵列表
劳斯阵列表第一列有负数,所以系统是不稳固的。
由于第一列元素的符号改变了两次(5→-11→174),所以,系统有两个具有正实部的根。
4.两种特殊情形
在劳斯阵列表的计算进程中,若是出现:
(1)劳斯表中某行的第一列的元素为零,其余各列系数不为零(或没有其余项),或不全为零,这时可用一个很小的正数e来代替那个零,从而使劳斯阵列表能够继续运算下去(不然下一行将出现∞)。
第一列零元素的存在(其他元素为正),则说明系统特征方程有一对虚根,系统处干临界状态;若是第一列元素存在符号转变,则系统不稳固,不稳固根的个数由符号转变次数决定。
例设系统特征方程为
解劳斯阵列表为
由于e的上下两个系数(2和2)符号相同,则说明有一对虚根存在。
上述特征方程可因式分解为
例设系统特征方程为
解劳斯阵列表为
(2)若劳斯阵列表中某一行(设为第k行)的所有系数均为零,则说明在根平面内存在一些大小相等,而且关于原点对称的根。
在这种情形下可做如下处置:
a.利用第k-1行的系数构成辅助多项式,它的次数总是偶数的;
b.求辅助多项式对s的导数,将其系数代替第k行;
c.继续计算劳斯阵列表;
d.令辅助多项式等于零可求得关于原点对称的根。
例系统特征方程为
解劳斯阵列表为
从上表第一列能够看出,各系数均未变号,所以没有特征根位于右半平面。
由辅助多项式
,求得一对共轭虚根为±j4。
例系统特征方程式为
解劳斯阵列表如下:
劳斯阵列表第一列变号一次,故有一个根在右半平面。
由辅助多项式:
可得S1,2=±1,s3,4=±j2,它们均关于原点对称,其中一个根在S平面的右半平面。
(三)劳斯判据的应用
应用劳斯判据不仅能够判别系统稳固性,即系统的绝对稳固性,而且也可查验系统是不是有必然的稳固裕量,即相对稳固性。
另外劳斯判据还可用来分析系统参数对稳固性的影响和辨别延滞系统的稳固性。
1.稳固裕量的查验
如图3-33所示,令
即把虚轴左移σ1。
将上式代入系统的特征方程式,得以z为变量的新特征方程式,然后再查验新特征方程式有几个根位于新虚轴(垂直线s=-σ1)的右边。
若是所有根均在新虚轴的左侧(新劳斯阵列式第一列均为正数),则说系统具有稳固裕量σ1。
例查验特征方程式
是不是有根在右半平面,并查验有几个根在直线s=-1的右边。
解劳斯阵列表为
第一列无符号改变,故没有根在S平面右半平面。
再令s=z-1,代入特征方程式,得
即
则新的劳斯阵列表
从表中可看出,第一列符号改变一次,故有一个根在Z平面的右半平面,即直线s=-1(即新座标虚轴)的右边,因此稳固裕量不到1。
2.分析系统参数对稳固性的影响
设一单位反馈控制系统如图3-34所示,其闭环传递函数为
系统的特征方程式为
列写劳斯阵列表:
若要使系统稳固,其充要条件是劳斯表的第一列均为正数,即K>0,30-K>0
所以0 由此能够看出,为了保证系统稳固,系统的K值有必然限制。 可是为了降低稳态误差,则要求较大的K值,二者是矛盾的。 为了知足两方面的要求,必需采取校正的方式来处置。 例系统特征方程式为 求系统稳固时,参数T的范围? 解劳斯表为 由劳斯表能够看出,要使系统稳固,必需 即T>25时,系统稳固。
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