八年级数学轴对称最短路径题专题难点训练.docx

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八年级数学轴对称最短路径题专题难点训练

八年级数学轴对称最短路径题专题难点训练

学校:

姓名：

班级：

考号：

一.单选题

1.如图，从A到B最短的路线是（）

A.A-G-E-BB・A-C-E-BC.A-F-E-B

D.A-D-G-E-B

2.

如图，点A,B在直线1的同侧，若要用尺规在直线1上确定一点P,使得AP丄BP最短，则下列作图正确的是（）

3.已知ZAOB=30。

，点P在ZAOB的内部，OP=8,在OA.OB上分别取点M、

N,使AOMN的周长最短，则z∖PMN周长的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

4.如图，点P是直线a外一点，PB丄a,点A,B,C,D都在直线a上，下列线段中最短的是（）

5.已知M（3,2）,N（1,一1）,点P在P轴上，且PM÷PN最短，则点P的坐标是

（）

二.填空题

6.如图，要从村庄P修一条连接公路/的最短的小道，应选择沿线段修建,

理由是

7.如图，等腰AABC的底边BC的长为2cm而积是6曲腰AB的垂直平分线EF交

AB于点E,交AC于点F.若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点.贝^BDM

8.若ZXABC中，ZA:

Zfi:

ZC=l:

2:

3,且最长边为IOcm,则最短边长为cm.

三.解答题

9.如图，已知aA3C,请你用尺规在AB边上找一点D,使得CD的长度最短.

10∙叱ABC中'^ZA=IZB=IZC它的最长边是8cm，求它的最短边的长.

（1）画出AABC关于y轴对称的图形△A1BjCi;

（2）在X轴上是否存在点P,使得PA+PB最短，最短距离是多少？

（3）直接写岀AlBICl三点的坐标.

12・如图，有一只蚂蚁想从A点沿正方体的表而爬到G点，走哪一条路最近？

（1）请你利用部分平而展开图画岀这条最短的路线，并说明理由.

（2）探究若这只蚂蚁在正方体上爬行的最短路线，请你找出所有的最短路线，并画岀示意.

13.如图，已知aABC.

（I）画厶ABC关于X轴对称的厶A,B,C,:

参考答案

1.C

【解析】

【分析】

根据两点之间线段最短判断路线即可.

【详解】

根据两点之间线段最短,可知从A点到E点最短路线是:

A-F-E.则A到B最短路线是:

A-F

—E—B.

故选C.

【点睛】

本题考査最短路径的应用,关键在于牢记基础知识.

2.C

【解析】

根据对称的性质以及两点之间线段最短可知选项C是正确的.

故选C.

3.B

【解析】

【分析】

分别作点P关于OA、OB的对称点P】、P2,连接PiP2.交OA于点交OB于点N,贝IJ

此时APMN周长的最小值等于线段P1P2,只要证明A0Pf2为等边三角形，即可求解.

【详解】

解:

如图，分别作点P关于OA、OB的对称点Pi、P2,连接PiPz,交OA于点M,交OB

于点N,

根据轴对称的性质，则

OPl=OP=OP2,ZPlOA=ZPOA,ZP2OB=ZPOB,MP=MPbNP=NP2,

ΛΔPMN的周长的最小值=P1P2∙

TZAOB=APOA+APOB=30°.

ΛZPiOP2=2ZAOB=60o,

.∙.ΔOP1P2为等边三角形，

ΛPiP2=OPi=OP2=OP=8;

故选择：

B.

【点睛】

本题考查了等边三角形的判左和性质，以及轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质进行求三角形周长的最小值.

4.B

【解析】

如图，PB是点P到“的垂线段，

•••线段中最短的是PB.

故选B.

5.D

【解析】

试题分析：

13?

N∙N

作点N关于y轴的对称点M（-1,-1）,连接MM交X轴于P,

TM的坐标是（3,2）,

31

•••直线MM的函数解析式为y=→--,

把P点的坐标（0,n）代入解析式可得n=-l.

・••点P的坐标是（0,吕）.

故选D

考点：

轴对称，一次函数的性质

6.PC垂线段最短

【解析】

【分析】

根据垂线段的性质：

垂线段最短，进行判断即可.

【详解】

解：

•••从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，

・•.过点P作PC丄I于点C,这样做的理由是垂线段最短.

故答案为：

PC,垂线段最短.

【点睛】

本题主要考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫

做垂线段.

7.7

【解析】

【分析】连接AD,由于AABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD丄BC,再根据三角形的而积公式求岀AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A,故AD的长为BM÷MD的最小值，由此即可得出结论.

【详解】

连接AD,

.∙.AD丄BC,

∕∙Sz.ABc=—BC∙AD=—×2×AD=6t解得AD=6cm,

22

VEF是线段AB的垂直平分线，

・••点B关于直线EF的对称点为点A,

AAD的长为BM+MD的最小值，

Λ∆BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+丄BC=6+丄χ2=6+l=7cm.

…22

故答案为7cnκ

【点睛】

本题考査的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

8.5

【解析】

【分析】

根据比例可设乙4、AB、ZC分别为k、2k、3k,然后根据三角形的内角和为180。

，求得各角的度数，再根据直角三角形中30。

所对直角边为斜边的一半即可得解.

【详解】

TZA:

ZB:

ZC=1:

2:

3,

・•.设乙4、ZB、ZC分别为k、2k、3k,

Vk+2k+3k=180o,

Λk=30ot

ΛZA=30%ZB=60o,ZC=90ot

T最长边为IoCmf

∙°∙最短边长=丄X10=5Cm.

2

故答案为：

5.

【点睛】

本题主要考查含30°角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半.

9.见解析

【解析】

【分析】

过点C作AB的垂线交AB于点D,垂线段CD即为所求.

【详解】

解：

①以C为圆心，以任意长为半径画弧，交AB于点E、点、F；②分别以点E、点F为圆心，大于丄EF的长为半径画弧，两弧交于点M：

③作垂线CM交AB于点D,垂足为2

点垂线段CD即为所求.

故答案是：

见解析

【点睛】

此题主要考查了过一点作直线的垂线、垂线段最短，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键.

10.4cm

【解析】

【分析】

设ZA=λ∙,则ZB=IXtZC=3x,根据三角形的内角和定理求得每个角的度数，从而得出三角形是直角三角形，再由在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半求得答案即可.

【详解】

设ZA=Xt则ZB=IX,ZC=3x.

Vx+2v+3λ-180o,.∙.x=30°,ΛZC=90o.

.'AB=Scm,.,.BC=4cm.

故最短的边的长是4“?

.

【点睛】

本题考查了含30°角的直角三角形的性质.掌握30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.

11.

（1）见解析：

（2）佰：

（3）点A1（2,3）,点BiG,1）,点Cl（L-2）.

【解析】

【分析】

（1）根据关于y轴对称点的坐标特点：

横坐标互为相反数，纵坐标不变，画岀AABC关于y轴对称的图形△AIBICI即可：

（2）作点B关于X轴的对称点B2,连接B』A,交X轴于点P,此时PA+PB最短,即PA+PB=AB2,再利用勾股泄理求出AB2的长即可：

（3）根据直角坐标系中的三角形，直接写岀九、BHCl三点的坐标即可.

【详解】

（I）T关于y轴对称点的坐标特点：

横坐标互为相反数，纵坐标不变

.∙.如图所示：

AA∣B∣G就是所求作的三角形•

・••最短距离为：

佰；

（3）点A1（2,3）,点B∣（3,1）,点CI（I,-2）.

【点睛】

本题考査的是作图-轴对称变换及轴对称-最短路线问题，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键.

12.如图①，

（1）见解析，理由：

两点之间线段最短；

（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）先把正方体展开，根据两点之间线段最短，即可得岀由A爬到G的最短途径.

（2）分情况讨论，作图解答即可.

【详解】

（1）如图①，理由：

两点之间线段最短.

（2）如图②，这种最短路线有4条.

【点睛】

本题考査了几何体的展开图和最短路线问题，把几何体展开为平而图形是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键.

13.

（1）见解析；

（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）作出A、C两点关于X轴的对称点，再顺次连接即可；

（2）作点A关于y轴的对称点A",连接AffC,交y轴于点D,点D即为所求.

【详解】

（1）如图所示：

（2）①作点A关于y轴的对称点AJ

②连接AnC,交y轴于点D,

点D即为所求.

【点睛】

此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线，正确得出对应点的位置是解题关键.