四边形知识要点以及典型例题.docx
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四边形知识要点以及典型例题
四边形知识要点
一、N边形内角和
1、多边形:
凸多边形:
2、多边形的对角线:
3、多边形的内角和定理:
,
外角和为,
4、正多边形:
典型例题:
例1:
若一个多边形的内角和是外角和的5倍,求这个多边形的边数。
跟踪练习1:
1.如果一个四边形内角之比是2∶2∶3∶5,那么这四个内角中()
A.有两个钝角B.有两个直角C.只有一个直角D.只有一个锐角
2.一个多边形的外角和是内角和的一半,则它是边形()
A.7B.6C.5D.4
3.若多边形的每个内角都为150°,则从一个顶点引的对角线有()
A.7条B.8条C.9条D.10条
4.一个多边形的内角和是外角和的
倍,则边数是()
A.14B.7C.21D.10
5.一个多边形的每个内角都等于144°,这个多边形的边数是()
A.8B.9C.10D.11
6.∠A的两边分别垂直于∠B的两边,且∠A比∠B大60°,则∠A等于()
A.120°B.110°C.100°D.90°
7.若等角n边形的一个外角不大于40°,则它是边形()
A.n=8B.n=9C.n>9D.n≥9
8.每个内角都相等的多边形,它的一个外角等于一个内角的
,则这个多边形是边形.
9.两个多边形的边数之比为1∶2,内角和的度数之比为1∶3,求这两个多边形的边数.
10.已知线段AC=8,BD=6。
(1)已知线段AC垂直于线段BD。
设图13―1、图13―2和图13―3中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2和S3,则S1=,S2=,S3=;
(2)如图13―4,对于线段AC与线段BD垂直相交(垂足O不与点A,C,B,D重合)的任意情形,请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想,并证明你的猜想;
(3)当线段BD与AC(或CA)的延工线垂直相交时,猜想顺次连接点A,B,C,D,A所围成的封闭图形的面积是多少?
二、平行四边形的性质以及判定
1、平行四边形概念:
2、平行四边形的性质:
(1)平行四边形两组对边分别平行且相等.
(2)平行四边形对角相等,邻角互补.
(3)平行四边形对角线互相平分.
(4)平行四边形是中心对称图形.
典型例题:
例2:
如图,平行四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F.
求证:
∠BAE=∠DCF.
例3:
如图,在□ABCD中,O是对角线AC和BD的交点,OE⊥AD于E,OF⊥BC于F.
求证:
OE=OF.
3、平行四边形的判定方法:
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形
典型例题:
例4:
如图,在平行四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上,分别取点K、L、M、N,使AK=CM、BL=DN,求证:
四边形KLMN是平行四边形.
例5:
已知如图:
在平行四边形ABCD中,延长AB到E,延长CD到F,使BE=DF,则线段AC与EF是否互相平分?
说明理由.
注意:
其他还有一些判定平行四边形的方法,但都不能作为定理使用。
如:
“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”,它显然是一个真命题,但不能作为定理使用.
跟踪练习:
1.平行四边形ABCD的周长32,5AB=3BC,则对角线AC的取值范围为()
A.6 2.如图,在平行四边形ABCD中,下列各式不一定正确的是() A. B. C. D. 3.如图,在平行四边形ABCD中,E是AD上一点,连结CE并延长交BA的延长线于点F,则下列结论中错误的是() A.∠AEF=∠DECB.FA: CD=AE: BCC.FA: AB=FE: ECD.AB=DC 4.如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,当E,F满足下列哪个条件时,四边形DEBF不一定是平行四边形() A.AE=CFB.DE=BFC.∠ADE=∠CBFD.∠AED=∠CFB 5.如图,ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好 落在CD上的点F,若△FDE的周长为8,△FCB的周长为22,则FC的长为_。 6.已知: □ABCD中,AE平分∠DAB交DC于E,BF平分∠ABC交DC于F,DC=8cm,AD=3cm, 求DE、DF与FC的长. 7.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知点E、F分别为AO、OC的中点,证明: 四边形BFDE是平行四边形. 8.已知: □ABCD中的对角线AC、BD相交于O,M是AO的中点,N是CO的中点,请问: BM与DN有什么关系? 9.如下图,平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,AF与DE交于点G,CE与BF交于点H, 问: 图中还有哪些平行四边形? 请证明你的结论. 10.如图,在格点图中,以格点A、B、C、D、E、F为顶点,你能画 出多少个平行四边形? 试在图中画出来. 11.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,F是DE延长线上的点,且EF=DE,则图中的平行四边形有哪些? 说说你的理由. 12.已知任意四边形ABCD,且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q. (1)若四边形ABCD如图①,判断下列结论是否正确(正确的在括号里填“√”,错误的在括号里填“×”). 甲: 顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形;() 乙: 顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形.() (2)请选择甲、乙中的一个,证明你对它的判断. (3)若四边形ABCD如图②,请你判断 (1)中的两个结论是否成立? 三、中心对称图形 1.中心对称图形的定义以及常见的中心对称图形(平行四边形) 2.经过对称中心的直线把中心对称图形的面积二等分,对称点的连线段经过对称中心且被对称中心平分. 四、三角形的中位线以及中位线定理 中位线平行且等于第三边的一半.用来证明线段平行或长度关系 五、矩形 1.矩形的概念: 2.性质: (1)矩形具有平行四边形所具有的一切性质. (2)矩形的四个角都是直角. (3)矩形的对角线相等.(矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形) (4)既是轴对称图形又是中心对称图形 (5)矩形的面积等于长乘以宽. 判定方法: 1)定义: 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2)有三个角是直角的四边形是矩形. 3)对角线相等的平行四边形是矩形. 注意: 其他还有一些判定矩形的方法,但都不能作为定理使用. 定理: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 例6: 如图,矩形ABCD中,AC与BD交于O点,BE⊥AC于E,CF⊥BD于F. 求证: BE=CF. 例7: 如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,四边形ABDE是平行四边形. 求证: 四边形ADCE是. 跟踪练习: 1.矩形除具有平行四边形的一切性质外,还具有两条对角线__________,各个内角是__________. 2.已知矩形的面积为48平方厘米,一条边长为6厘米,那么这个矩形的一条对角线的长是_______. 3.如图,把大小相等的两个矩形拼成“L”图案, 则∠FAC=________,∠FCA=________。 4.直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm,则它的面积为___ 5.如图,矩形纸片ABCD,长AD=9cm,宽AB=3cm,将其折叠, 使点D与点B重合,那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别 为和。 6.矩形的较长边为6,两条对角线的交角为60°,则矩形的周长是() A.18B.12+4 C.12+2 D.24 7.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,点P在AD上,PE⊥AC 于E,PF⊥BD于F,则PE+PF等于() A. B. C. D. 8.如图,矩形ABCD的周长为20cm,两条对角线相交于点O,过点O作AC的 垂线EF,分别交AD、BC于E、F点,连接CE,则△CDE的周长为() A.5cmB.8cmC.9cmD.10cm 9.如图,在矩形ABCD中,AC、BD相交于O,AE平分∠BAD,交BC于E,若∠CAE=15°,求∠BOE的度数. 10.已知: 如图,在 ABCD中,以AC为斜边作Rt△ACE,且∠BED为直角. 求证: 四边形ABCD是矩形. 六、菱形 1.菱形的概念: 2.菱形的性质以及判定 性质: (1)菱形具有平行四边形所具有的一切性质. (2)菱形的四条边都相等. (3)菱形的对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角.(对角线把它分成四个直角三角形) (4)既是轴对称图形又是中心对称图形 (5)菱形的面积等于对角线乘积的一半.(如果一个四边形的对角线互相垂直,那么这个四边形的面积等于对角线乘积的一半) 判定方法: (1)定义: 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (2)四条边都相等的四边形是菱形. (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形 注意: 其他还有一些判定菱形的方法,但都不能作为定理使用. 典型例题: 例8、如图所示,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,DE∥AC交BC的延长线于点E. 求证: DE= BE. 例9、如图,已知: 两条等宽的长纸条倾斜地重叠着,求证重叠部分为菱形. 例10、如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于E. (1)求证: 四边形AECD是菱形; (2)若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由. 跟踪练习: 1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A.对角线互相垂直B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角互补 2.已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8,则这个菱形的周长是( ) A.20B.14C.28D.24 3.依次连接菱形的各边 中点,得到的四边形是() A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形 4.已知菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,∠BAD=120°,AC=4,则该菱形的面积是( ) A. B.16C. D.8 5.如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形,其中D在BE上.若AB=17,BD=16, AE=25,则DE的长度为何? ( ) A、8B、9C、11D、12 6.如图,两条笔直的公路l1、l2相交于点O,村庄C的村民在公路的旁边建 三个加工厂A、B、D,已知AB=BC=CD=DA=5公里,村庄C到公路l1的 距离为4公里,则村庄C到公路l2的距离是( ) A、3公里B、4公里C、5公里D、6公里 7.菱形ABCD的周长是16,∠A=60°,则对角线BD的长度为 8.如图,菱形ABCD的边长是2cm,E是AB的中点,且DE丄AB,则菱形ABCD的面积为 . 9.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=8,BD=6,过点O作OH丄AB,垂足为H,则点O到边AB的距离 10.如图,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC= . 11.如图,四边形ABCD为菱形,已知A(0,4),B(﹣3,0). (1)求点D的坐标; (2)求经过点C的反比例函数解析式. 12.如图,已知矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠ACB=30°,AB=2. (1)求AC的长. (2)求∠AOB的度数. (3)以OB、OC为邻边作菱形OBEC,求菱形OBEC的面积. 13.如图,四边形ABCD是菱形,DE⊥AB交BA的延长线于E,DF⊥BC,交BC的延长线于F。 请你猜想DE与DF的大小有什么关系? 并证明你的猜想. 七、正方形 1.正方形的概念: 2.正方形的性质以及判定 性质: (1)正方形具有平行四边形、矩形、菱形所具有的一切性质. (正方形对角线把正方形分成四个等腰直角三角形) 判定方法: (1)定义: 有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形. (2)矩形+有一组邻边相等. (3)菱形+有一个角是直角 (4)既是轴对称图形又是中心对称图形 注意: 其他还有一些判定正方形的方法,但都不能作为定理使用. 典型例题: 例11、如图所示,正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,PE⊥AB于E,PF⊥BC于F。 请猜想EF与PD的数量关系、位置关系,并说明理由。 例12、如图,E为正方形ABCD内一点,且△EBC是等边三角形,求∠EAD、∠AED、∠ECD的度数. 跟踪练习: 1.正方形具有而菱形没有的性质是() A.对角线互相平分 B.每条对角线平分一组对角 C.对角线相等 D.对边相等 2.正方形是轴对称图形,它的对称轴有() A.1条B.2条C.4条D.无数条 3.如图所示,以正方形ABCD中AD边为一边向外作等边ΔADE,则∠AEB=() A.10° B.15° C.20° D.12.5° 4.如图,正方形ABCD中,∠DAF=25°,AF交对角线BD于点E,那么∠BEC等于() A.45°B.60°C.70°D.75° 5.如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是() A.3∶4 B.5∶8 C.9∶16 D.1∶2 6.正方形的对称轴有条,它的对称中心是. 7.正方形的边长为4cm,则周长为,面积为. 8.正方形的对角线与一边的夹角为. 9.一个正方形的对角线长3cm,则它的面积为. 10.若正方形的面积为4 ,则它的边长为,对角线长为. 11.如图所示,E为正方形ABCD外一点,AE=AD,∠ADE=75°,则∠AEB=. 12.以线段AB的两个端点A、B为顶点作位置不同的正方形,一共可作个. 13.如图,正方形ABCD中,E是CD上一点,连结BE,CF⊥BE于F 点,若∠EBA=600,EF=1,则正方形的周长为. 14.已知: 如图所示,在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共顶点A,把正方形AEFG绕A点旋转到如图所示位置,连结DG、BE。 试说明: DG=BE。 15.如图,一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点,试探究线段AE与EF的数量关系,并说明理由。 16.如图所示,ABCD是正方形,AE∥DB,BE=BD,BE交AD于F,试说明: ΔDEF是腰三角形。 17.正方形ABCD与正方形CEFG的位置如图所示,点G在线段CD或CD的延长线上,分别连接BD、BF、FD,得到△BFD。 (1)在图①~图③中,若正方形CEFG的国长分别为1、3、4,且正方形ABCD的边长均为3,请通过计算填写下表: 正方形CEFG的边长 1 3 4 △BFD的面积 (2)若正方形CEFG的边长为a,正方形ABCD的边长为b,猜出S△BFD的大小,并结合图③证明你的猜想。
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