第8章高斯平面直角坐标.docx
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第8章高斯平面直角坐标
第八章高斯平面直角坐标
§1正形投影的基本公式
一、地图投影的概念
1.投影的必要性及其方法
①投影的必要性:
测量工作的根本任务,是测定地面点的坐标和测绘各种地形图。
因:
1)椭球面上计算复杂;2)地图是画在平面图纸上,故,有必要将椭球面上的坐标、方向、长度投影到平面上。
②投影的方法:
按一定的数学法则,得到如下的解析关系(函数关系)
x=F1(B,L)
y=F2(B,L)
式中B,L——椭球面上的大地坐标
x,y——投影平面上的直角坐标
按高斯投影方法得到的平面直角坐标x,y叫高斯平面直角坐标。
2.投影的分类
椭球面是不可展开的曲面(圆柱,圆锥面是可展开曲面)。
若展开成平面,必产生变形。
投影按变形的性质可分为:
等距离投影━投影后地面点见的距离不变
等面积投影━保证投影后面积不变
等角投影━投影后微分范围的形状相似
3.测量采用的投影
测量工作从计算和测图考虑,采用等角投影(又称正形投影、保角投影)。
其便利在于:
1)可把椭球面上的角度,不加改正地转换到平面上。
(注:
椭球面上大地线投影到平面上亦为曲线。
为实用,需将投影的曲线方向改正为两点间弧线方向,称方向改化。
方向改化是在平面上为实用而做的工作,非投影工作。
且:
①改化小,公式简单;②只在等级控制改化,图根控制、测图不顾及)
2)因微分范围内投影前后图形相似,则大比例尺图的图形与实地完全相似,应用方便。
二、正形投影
1.正形投影的特性
有微分三角形如图:
对于保角投影:
A′=A;B′=B;C′=C
所以长度比
故,正形投影在一个点(微分范围)上,各方向长度比相同。
即投影后保持图形相似。
例如下图,对一个任意形状的微小图形,总可以取一个边数极多的中点多边形逼近它,对于正形投影:
但上述特点只在微分范围内成立。
在广大范围内,投影前后图形保持相似是不可能的(否则意味着椭球面可以展开)。
因此,在大范围内,各处的长度比m必定不同。
结论:
正形投影的特性:
长度比m与方向无关,但随点位而异。
2.正形投影基本公式(充要条件)
设椭球面上有无限趋近的两点P1,P2
椭球面上:
P1(B,L)
P2(B+dB,L+dL)
大地线长度dS
投影面上:
p1(x,y)
p2(x+dx,y+dy)
大地线长度的投影ds
投影长度比为:
下面分别推导上式中dS和ds:
(dS和ds为曲线,但对微分线段,将其看成各自三角形的斜边)
dS2=(MdB)2+(NcosBdl)2
=(MdB)2+(rdl)2
=r2[(dB)2+(dl)2]
引入等量纬度,则dq=()dB
(引入等量纬度纯粹为了推导公式方便)
dS2=r2[(dq)2+(dl)2]
另:
x=F1(B,L)
y=F2(B,L)
因q与B有确定的关系,l与L有确定的关系,所以有:
x=f1(q,l)
y=f2(q,l)
微分得:
故:
令:
则:
ds2=Edq2+2Fdq.dl+Gdl2
故:
⑴
由微分三角形知:
所以:
dl=dq·tanA⑵
将⑵代入⑴得:
欲使投影为正形投影,长度比m应与方向(A)无关。
为此:
令:
F=0;E=G
即:
⑶
⑷
则上式为:
(可看出m与方向无关)
由⑶式可解得:
⑸
⑸式代入⑷得:
⑹
⑹式开平方得:
⑺
⑺取正号代入⑸得:
⑻
(注:
⑺式取正号意义是:
选取椭球面和平面坐标轴方向时,要求在经线方向上q增加时,平面上x也增加;沿纬线方向l增加时,y也增加)
故,椭球面到高斯平面上的正形投影公式(柯西黎曼方程):
(此即正形投影的充分必要条件)
3.证明复变函数x+iy=f(q+il)当f′存在、且≠0时亦为正形投影
证明如下:
基本投影公式x=F1(B,L)
y=F2(B,L)
亦可写成x=f1(q,l)
y=f2(q,l)
用复变函数形式写出为x+iy=f(q+il)(q+il—复变数;)
令x+iy=z
q+il=u
则z=f(u)
求导⑼
⑽
由⑼、⑽式可得⑾
因z=x+iy
故⑿
⒀
将⑿、⒀式代入⑾式得⒁
⒁式虚实分开
此即柯西黎曼方程。
证毕。
练习及作业:
1、阅读
§8.1,§8.2
2、理解:
①、投影的必要性及方法。
②、投影的分类及测量采用的投影类型。
③、正形投影的特性。
§2高斯投影及高斯平面直角坐标
一、高斯投影的一般解释及其特性
1.高斯投影的几何意义
高斯投影的几何意义是横轴椭圆柱正形投影。
设想一横椭圆柱面套在椭球上,与某一子午线(称轴子午线或中央子午线)相切。
椭圆柱的中心轴通过椭球中心,且与椭球短轴垂直。
2.高斯投影的特性
①高斯投影是正形投影;
②中央子午线投影后应为x轴,且长度不变。
3.高斯投影的一般解释
轴子午线投影到椭圆柱面上展开为x轴。
以O为投影中心,将赤道上各点投影到椭圆柱面上,为一长度变形直线。
它垂直于x轴,称为y轴。
椭球上任一段大地线S,以O为投影中心在横椭圆柱上投影为s,s≠S。
长度变形m-1恒为正(轴子午线投影除外)。
椭球上大地点P的坐标(B,L),与投影后的坐标(x,y),在B,L和x,y之间建立函数关系,即高斯投影。
将中央子午线东西各一定的经差(6°、3°、1.5°)范围投影到椭圆柱面上,展开后构成高斯平面直角坐标系;每个投影带构成一个独立的坐标系统,各带的计算具有一样性。
4.控制网从椭球面上投影到高斯平面上的投影计算工作
①起算数据投影
椭球面上已知元素:
P1(B1,L1);S;A12;
投影到高斯平面上:
p1(x1,y1);s;A12;
(平面上方位角为:
T12=A12-r-δ;r:
平面子午收敛角;δ:
方向改化)
②观测数据计算:
δ
二、高斯投影正算﹝由大地坐标B、L计算平面坐标x、y﹞
1.高斯正算基本公式
高斯正算公式应满足高斯投影的特性。
首先,应满足正形投影。
取投影基本公式为:
x+iy=f(q+il)
因l在6°带里最大为3°,是微小量,所以,f(q+il)可用台劳级数展开:
(台劳级数一般形式:
f(x+⊿)=f(x)+⊿f′(x)+(1/2)⊿2f″(x)+(1/3!
)⊿3f3(x)…)
故有:
设图中,轴子午线上D投影为d;D的子午线弧长为X;d的纵坐标为x。
若满足高斯投影中央子午线投影为x轴,且长度不变的特性,即:
l=0时,y=0;且x+iy=f(q+il)为:
x=f(q)=X
台劳展开x+iy=f(q+il),并顾及上式:
将上式虚实两部分分开,得高斯正算基本公式:
2.高斯正算实用公式
由基本公式推导实用公式如下:
一阶导数(因dX=MdB;dq=()dB)
二阶导数
继续求各阶导数,将X对q的各阶导数代入基本公式,得高斯正算实用公式
(8-41,8-42)
式中:
t=tanB;η=e′2cos2B
由上式可知:
1)当B=0(X=0)时,x=0(赤道投影为一直线)
2)当l=0时,y=0(轴子午线投影为一直线——x轴)
x=X(轴子午线投影,长度不变)
3)当l=常数,B↑,y↓
B=常数,∣l∣↑,x↑
(8-42式计算精度可达1mm)
三、高斯投影反算(由平面直角坐标x、y反算大地坐标B、L)
有时要跨带计算两点间的距离S,这时根据两点的大地坐标,在椭球上解算更为方便;有时要用反算检核正算的正确性。
故推导反算公式如下。
见图。
过d(x,y)点的纬度为B,对应纬度B,轴子午线弧长为X,有X=f(B);对应d点的纵坐标,即d点在x轴的垂足f,纬度为Bf(称底点纬度或垂足纬度)。
高斯投影反算,必满足x+iy=f(q+il)之反函数式,即
q+il=x+iy
y为小量,上式可在d的底点f处台劳展开
根据高斯投影条件:
中央子午线投影为x轴,且长度保持不变,有y=0,则l=0,即ql=0=x,
且x=Xf,故ql=0=Xfqf,于是上式改写成
根据,推导出各阶导数代入上式,并将虚实分开得
实际应用上式时,还应把q-qf换成B-Bf(过程可参见武测、同济合编《控测》下),经整理得
式中,Bf是底点f的大地纬度,可根据x值(f点的子午弧长)由子午弧长公式反解求得。
﹡子午线弧长反解公式详见朱华统教授著《常用大地坐标系及其变换》第二章,第五节,P47、P48;或教材P18,7.4.2式7-109,7-110。
四、平面子午收敛角γ的计算
平面子午收敛角定义:
通过P点的子午线投影在平面上有一切线,该切线与坐标北的夹角为平面子午线收敛角。
由右图知
又x=f1(B,L)
y=f2(B,L)
有
图中:
B=C·t(常数)≠0,故dB=0
故
由正算公式
分别对l求导,代入上式得
﹡
为使用方便,变换形式。
令:
tan=u,则=arctanu,展开得
=u-(1/3)u3+(1/5)u5-…
即
将﹡式代入上式,整理得平面子午线收敛角计算公式
8-81
(注:
为奇函数,与l符号一致)
五、长度比、长度变形及投影带的划分
1.长度比和长度变形
定义:
投影的长度比为
投影的长度变形为m-1
由右图微分三角形知:
由正算公式
得①
由子午线收敛角推导知
②
将①、②式代入m2式,则用B,L(l=L-l0)计算长度比的公式为
③
将反算公式
代入上式,得
顾及,(η=e′cosB是微小值);N4≈R4;则用x、y计算长度比的公式为
④
由③、④式可以表明:
1)长度比m随点的位置而异,但在一点上与方向无关;
2)当l=0,y=0时,m=1,即中央子午线投影的长度不变;
3)±l≠0,±y≠0时,m>1,即s总是大于S(中央子午线除外);
4)变形与l2、y2成比例地增大,即愈远离轴子午线,变形愈迅速增大。
2.投影带的划分
①投影带的划分
长度变形是客观存在的,不能将它完全消除,只能对其合理地加以限制,使其在用图和测图时影响很小,以致可以忽略。
为此采用分带投影,即:
取轴子午线两侧适当范围(两条边缘子午线为界),投影到与轴子午线相切横椭圆柱面上。
而该范围以外地区,另设中央子午线投影。
以此控制投影后长度变形不超过一定限度。
我国国家投影带为六度带和三度带,三度带是六度带的加密,如图:
根据③式,长度变形m-1=(1/2)l2cos2B(取该式主项),算得在我国北纬B=20°以南地区,位于六度带边缘处(l=3°),长度变形可达1/820。
故,只有1/2.5万至1/10万国家基本图才采用六度带。
而1/万地形图在六度带边缘地区图廓长度约5km,则长度变形约6m,引起图上0.6mm变形,这是绝对不允许的,故1/万或更大比例尺地形图规定采用三度带。
北纬B=20°处,三度带边缘地区(l=1.5°),变形约为1/3300,对1/2000地形图,图廓长度约1km,将引起0.3m的变形,图上变形0.15mm,勉强满足1/2000地形测图的要求。
对1/1000、1/500地形图,根据其长度变形情况(测区B、L),往往采用1.5度带或独立投影带。
②高斯投影带带号和中央子午线的关系:
1)已知带号求中央子午线经度:
设中央子午线经度为L0,若已知带号(六度带)N和(三度带)n,则:
六度带:
L0=6N-3
三度带:
L0=3n
2)已知点的经度L求其带号:
六度带:
N=(L+3)/6
三度带:
n=L/3
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