立方和与立方差公式.docx

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立方和与立方差公式

第一阶梯

［例1］我们来计算（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：

（1）（2x+3y）（2x-3y）

（2）（1+2a）（1-2a）（3）（2x3+5y2）（2x3-5y2）（4）（-a2-b2）（b2-a2）

提示：

刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写岀一个“框架“,如

（1）（2x+3y）（2x-3y）=（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a,哪项相当于公式中的b,并在"框架"中填数计算。

参考答案：

（1）（2x+3y）（2x-3y）=（2x）2-（3y）2=4x2-9y2

（2）（1+2a）（1-2a）=12-（2a）2=1-4a2

（3）（2x3+5y2）（2x3-5y2）=（2x3）2-（5y2）2=4x6-25y4

（4）（-a2-b2）（b2-a2）=（-a2-b2）（-a2+b2）=（-a2）2-（b2）2=a4-b4

说明：

平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的特征是：

1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

（2）右边是乘式中两项的平方差：

即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式

时还应注意:

①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式

②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变

化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。

［例2］计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b）

2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2，即（a±b）2=a2±

2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2

倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。

利用这两个公式计算

（4）（；战抡尸

（1）（x+5）2

（2）（2-y）2（3）（3a+2b）2--（5）（-a+2b）2

提示:

a,哪个数或式是b

在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是

参考答案：

（1）（x+5）2=x2+2•x•5+52=x2+10x+25

（2）（2-y）2=22-2•2•y+y2=4-4y+y2

（3）（3a+2b）2=（3a）2+2•3a•2b+（2b）2=9a2+12ab+4b2

（5）（-a+2b）2=（-a）2+2•（-a）•2b+（2b）2=a2-4ab+4b2

说明：

1、（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

2、这两个公式的结构特征是：

左边是两个相同的二项式相乘，（即二项式的平方形式），右

边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍。

3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。

4、只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，在运用公式时，注意防止发生（a士b）2=a2士b2这样的错误。

［例3］计算（a+b）（a2-ab+b2）和（a-b）（a2+ab+b2），可知（a+b）（a2-ab+b2）=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,（a-b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即（a士b）（a2+ab+b2）=a3士b3，这就是说，两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），等于这两个数的立方和（或差），这两个

公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式，利用这两个公式计算：

（1）（x+2）（x2-2x+4）;

（2）（3-y）（9+3y+y2）;

22⑷如百/-存+护）

（3）（3x-4y）（9x2+12xy+16y2）;

（5）（3x2-2y2）（9x4+6x2y2+4y4）

提示:

先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算，再弄清题目中哪个数或式是a,哪个数或

式是b,最后再代入公式计算。

参考答案:

（1）（x+2）（x2-2x+4）=（x+2）（x2-x•2+22）=x3+23=x3+8

（2）（3-y）（9+3y+y2）=（3-y）（32+3•y+y2）=33-y3=27-y3

（3）（3x-4y）（9x2+12xy+16y2）=（3x-4y）[（3x）2+3x•4y+（4y2）]=（3x）3-（4y）3=27x3-64y3

（5）（3x2-2y2）（9x4+6x2y2+4y4）=（3x2-2y2）[（3x2）2+3x2•2y2+（2y2）2]=（3x2）3-（2y2）3=27x6-8y6

说明:

2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式

第二阶梯

[例1]利用乘法公式计算：

（1）（x+3）（x-3）（x2+9）

（2）（a+b）（a-b）（a2-b2）

（3）（x-2）（x+2）（x4+4x2+16）（4）（a-b）（a2+ab+b2）（a6+a3b3+b6）

提示：

（1）小题可两次使用平方差公式；

（2）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式；

（3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式

（4）小题两次使用立方差公式。

参考答案：

（1）（x+3）（x-3）（x2+9）=（x2-9）（x2+9）=（x2）2-92=x4-81

（2）（a+b）（a-b）（a2-b2）=（a2-b2）（a2-b2）=（a2-b2）2=（a2）2-2a2b2+（b2）2=a4-2a2b2+b4

（3）（x-2）（x+2）（x4+4x2+16）=（x2-4）（x4+4x2+16）=（x2）3-43=x6-64

226336336336333399

（4）（a-b）（a+ab+b）（a+ab+b）=（a-b）（a+ab+b）=（a）-（b）=a-b

说明：

遇到多项式的乘法问题，首先应看看是否符合某个乘法公式，若有恰当的公式使用可大大简化运算过程。

[例2]运用乘法公式计算：

（1）（a+b+c）（a-b-c）

（2）（a-2b+3c）（a+2b-3c）

22

（3）（x+2y+z）2（4）（2x-3y-4z）2

提示：

（1）

（2）小题可利用平方差公式进行计算；（3）（4）小题可利用完全平方公式进行计算。

参考答案：

（1）（a+b+c）（a-b-c）=[a+（b+c）][a-（b+c）]=a2-（b+c）2=a2-（b2+2bc+c2）=a2-b2-2bc-c2

（2）（a-2b+3c）（a+2b-3c）=[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]=a2-（2b-3c）2=a2-（4b2-12bc+9c2）=a2-4b2-12bc-9c2

2222222

（3）（x+2y+z）2=[x+（2y+z）]2=x2+2x（2y+z）+（2y+z）2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2

（4）

（2x-3y-4z）2=[2x-（3y+4z）]2=（2x）2-2•2x•（3y+4z）+（13y+4z）2=4x2-4x（3y+4z）+（19y2+24yz+16z2）=4x2-12xy-

22

16xz+9y2+24yz+16z2

说明：

进行多项式乘法运算时，一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整。

适当地添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号方式的不同，可一题多解，

如（4）小题还可添加括号为[（2x-3y）-4z]2，但得岀的结果均相同。

[例3]利用乘法公式计算：

（1）（x+1）（x-1）（x2+x+1）（x2-x+1）

（2）（a+b）（a-b）（a2+ab+b2）（a2-ab+b2）

提示：

（1）小题前两个因式可利用平方差公式计算，后两个因式也可利用平方差公式计算，也可以

将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式，第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式

（2）小题类似。

参考答案：

（1）

解法一：

22

（x+1）（x-1）（x2+x+1）（x2-x+1）

=（x2-1）[（x2+1）2-x2]

=（x2-1）（x4+2x2+1-x2）

=（x2-1）（x4+x2+1）

=（x2-1）[（x2）2+x2-1+12]

=（x2）3-13=x6-1

解法二：

（x+1）（x-1）（x2+x+1）（x2-x+1）

=[（x+1）（x2-x+1）[（x-1）（x2+x+1）]

=（x3+1）（x3-1）

322=（x3）2-12

=x6-1

（2）

解法一：

（a+b）（a-b）（a2+ab+b2）（a2-ab+b2）

=（a2-b2）[（a2+b2）2-（ab）2]

=（a2-b2）（a4+2a2b2+b4-a2b2）

=（a2-b2）（a4+a2b2+b4）

2323=（a2）3-（b2）3

=a6-b6

解法二：

（a+b）（a-b）（a2+ab+b2）（a2-ab+b2）

=[（a+b）（a2-ab+b2）][（a-b）（a2+ab+b2）]

=（a3+b3）（a3-b3）

=（a3）2-（b3）2

=a6-b6

说明：

再运用平

进行整式乘法运算时，要注意观察题目的特点，统观全局，恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法则进行计算，以上两道小题的解法中，显然解法二先运用立方和，立方差公式,

方差公式，这样做既简便又不易出错。

第三阶梯

[例1]

2

x=—

（1）化简化求值：

（x+2）（x2-2x+4）+（x-1）（x2+x+1），其中

（2）解方程：

（2x+1）2-（x+1）（x-1）-3x（x-1）=0

提示:

用乘法公式进行化简

参考答案:

（1）

（x+2）（x2-2x+4）+（x-1）（x2+x+1）

=x3+8+x3-1

=2x3+7

2'

X

当孑时,

原式二2心孑小

Q

=2xC-—）+7=

z6—

3

27

27

27

（2）（2x+1）2-（x+1）（x-1）-3x（x-1）=0

解:

（4x2+4x+1）-（x2-1）-3x2+3x=0

222

4x+4+1-X+1-3x+3x=0

7x=-2

说明：

在化简求值和解方程的过程中，如果遇到多项式的乘法，应先观察能否运用乘法公式，如果能运用，很多乘法就可直接应用公式写出结果，这充分简化了计算过程。

[例2]已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。

（1）a2+b2

（2）a2-ab+b2（3）（a-b）2（4）a3+b3

提示：

由完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2,可知a2+b2=（a+b）2-2ab,利用已知条件可求岀a2+b2的值，再分别代入

（2），（3），（4），可求出

（2），（3），（4）式的值。

注意，第（4）小题应逆用立方和公式。

参考答案：

⑴a2+b2=（a+b2）-2ab=32-2X（-8）=9+16=25

（2）a2-ab+b2=a2+b2-ab=25-（-8）=25+8=33

（3）（a-b）2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab=25-2x（-8）=25+16=41

⑷a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）=（a+b）（a2+b2-ab）=3x[25-（-8）]=3x33=99

说明：

灵活运用公式变形和逆用公式，这些都是常用的解题技巧。

提示：

设一个自然数为X,另一个自然数为X+1，根据题意，列岀方程，求岀这两个自然数，进而求岀

它们的和

参考答案：

解：

设这两个连续自然数是X,X+1

根据题意得，

22

（X+1）2-X2=17

22

X2+2X+1-X2=17

2X+1=17

2X=16

X=8

x+1=8+1=9

•••x+（x+1）=8+9=17

答：

这两个自然数的和是17。

说明：

解方程时还可逆用平方差公式（x+1）2-x2=（x+1+x）（x+1-x）=2x+1

四、检测题

选择题

1•下列各式能用平方差公式进行计算的是（）

A.（a+2）（-a-2）

B.（-x-y）（y-x）

C.

D.（2x+y）（x-2y）

2.若16x2+mxy+81y2是一个完全平方式，则m的值为（）

D.士72

3.a3-27b3的一个因式是（）

+3ab+9b2

+3ab+9b2

+b

+b2

4.若x+y=9,xy=16,则x2+y2=（）

填空题

1、（3x+2y）=（）=9x2-4y2

2、（-1+2a）（-1-2a）=（）

3、（+y）2=（）

5、9x2-（）+49y2=（3x-7y）2

6、（2a+3b）（4a2-6ab+9b2）=（）

7、（）（m4-m2+1）=m6+1

222

8、a+b=（a+b）-（）

9、（a+b）2=（a-b）2+（）

10、（p2-q）（）=p6-q3

1、计算:

⑴（x+2）（x-2）（x2+4）

（2）（x-y+1）（x+y-1）

（3）（a+b+c）2

（4）（x+3）（x-3）（x2-3x+9）（x2+3x+9）

21

19-X20-

（5）--

⑹2022

（白+丄初・©■丄+（%■占弘汗沪）其中仃=-1上二2

2、化简求值：

•：

'

3、解方程：

4（x-3）2-（2x+1）2=（3x+1）（1-3x）+9x2

己知：

=

A

赳求（叶+务加+吕

答案:

A组答案:

选择题

1、B2、D3、A4、C

填空题

1、3x-2y

2、

1-4a2

3、

++y2

4、

5、42xy

6、8a3+27b3

7、m2+1

8、2ab

9、4ab

10、p4+p2q+q2

B组答案:

422222

1、

（1）x4-16

（2）x2-y2+2y-1（3）a2+2ab+b2+c2+2ac+2bc

（4）x6-729

⑹40804

2、-39

17

14