线性规划 专题.docx

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线性规划专题

线性规划求解技巧

一．【学习目标】

1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

2．掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合．

二．【知识要点】

1．二元一次不等式表示的平面区域

（1）二元一次不等式

Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域（半平面），不包括边界直线．

不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域（半平面）包括边界直线．

（2）在平面直角坐标系中，设直线Ax＋By＋C＝0（B不为0）及点P（x0，y0），则

①若B>0，Ax0＋By0＋C>0，则点P（x0，y0）在直线的上方，此时不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0的上方的区域．

②若B>0，Ax0＋By0＋

C<0，则点P在直线的下方，此时不等式Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0的下方的区域．

③若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分．

2．线性规划相关概念

名称

意义

约束条件

目标函数中的变量所要满足的不等式组

线性约束

条件

由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组

目标函数

关于x，y的函数解析式

可行解

满足线性约束条件的解

可行域

所有可行解组成的集合

线性目标函数

目标函数是关于变量的一次函数

最优解

使目标函数取得最大或最小值的可行解

线性规划问题

在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值

3.常见简单的二元线性规划实际问题

一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．

解线性规划问题的一般步骤：

审题、设元——列出约束条件

（通常为不等式组）——建立目标函数作出可行域求最优解．

三．解题方法总结

1.二元一次不等式（组）表示的平面区域确定的方法

第一种：

若用y＝kx＋b表示的直线将平面分成上下两部分

不等式

区　域

y＞kx＋b

表示直线上方的半平面区域

y＜kx＋b

表示直线下方的半平面区域

第二种：

用Ax＋By＋C＝0（B≠0）表示的直线将平面分成上下两部分（B＝0读者完成）

不等式

B＞0

B＜0

Ax＋By＋C＞0

表示直线上方的半平面区域

表示直线下方的半平面区域

Ax＋By＋C＜0

表示直线下方的半平面区域

表示直线上方的半平面区域

联系：

将Ax＋By＋C＝0表示的直线转化成y＝kx＋b的形式即是第一种.

第三种：

选特殊点判定（如原点），取一点坐标代入二元一次不等式（组），若成立，则平面区域包括该点，反之，则不包括.

2.线性规划问题求解策略

（1

）解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下：

①作：

确定约束条件，并在坐标系中作出可行域；

②移：

由z＝ax＋by变形为y＝－

x＋

，所求z的最值可以看成是求直线y＝－

x＋

在y轴上的截距的最值（其中a，b是常数，z随x，y的变化而变化），将直线ax＋by＝0平移，在可行域中观察使

最大（或最小）时所经过的点；

③求：

求出取得最大值或最小值的点的坐标

，并将其代入目标函数求得最大值和最小值；

④答：

写出最后结论.

（2）可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得.

（3）若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用“调整优值法”去寻求最优解.

四．典例分析

例1．设

满足约束条件

，则

的最大值是

A．0B．4C．5D．6

【答案】D

【解析】作出不等式组

对应的平面区域如图：

由

得

，

平移直线

，由图象可知当直线

，经过点

时，

直线的截距最大，此时

最大．

由

，解得

，

即

，此时

，故选D．

【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：

（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；

（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

练习1．已知实数x,y满足

，若不等式ax-y>0恒成立，则实数a的取值范围为（）

A．（－∞，

）B．（4，＋∞）C．（

，4）D．（

，4）

【答案】B

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示：

若ax﹣y＞0恒成立即y＜ax恒成立，即平面区域在直线y＝ax的下方即可．

即A（1，4）在y＝ax的下方或在直线上即可，即a＞4，

故选：

B．

练习2．若

满足

则

的最小值等于

A．

B．

C．

D．

【答案】B

（二）含绝对值的不等式

例2.设

满足约束条件

，则

的最大值是__________．

【答案】2

【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示．

由图形得，当

时，

，且当直线经过点

时

有最大值2，故可得

的最大值为2．

【答案】公司投放两种型号的单车分别为80辆20辆才能使每天获得的总收入最多，最多为120元．

答：

公司投放两种型号的单车分别为80辆20辆才能使每天获得的总收入最多，最多为120元。

【点睛】用线性规划的方法来解

决实际问题：

先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的量用字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，建立数学模型，再画出表示的区域。

练习1．电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间.

（1）设每周安排连续剧甲

次，连续剧乙

次，列出

，

所应该满足的条件；

（2）应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？

【答案】

（1）

（2）每周应安排甲、乙连续剧2套、4套

【解析】

（1）由题意可得：

；

（2）收视观众数为

万，则

，所以

，因此直线

在y轴截距最大时，

取最大值；

画出可行域

易知当

，

时，

有最大值，最大值是200，收视观众200万.

每周应安排甲、乙连续剧2套、4套

练习2．两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12mg阿司匹林，70mg小苏打，28mg可待因，问两类

药片最小总数是多少？

怎样搭配价格最低？

成分

种类

阿司匹林

小苏打

可待因

每片价格（元）

A（mg/片）

2

5

1

0.1

B（mg/片）

1

7

6

0.2

【答案】当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低．

【解析】设

两种药品分别为

片和

片，

则有

，两类药片的总数为

，两类药片的价格和为

。

如图所示，作直线

，

将直线

向右上方平移至

位置时，直线经过可行域上一点

，且与原点

最近．

解方程组

，得交点

坐标为

.

由于

不是整点，因此不是

的最优解，

结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是

，

经过的整点是

，因此

的最小值为

.药片最小总数为

片．

同理可得，当

时，

取最小值

，

因此当

类药品

片、

类药品

片时，药品价格最低。

练习3．《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。

问人数、豕价各几何？

”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少。

问人数、猪价各多少？

”.设

分别为人数、猪价，则

___，

___.

【答案】10900

【解析】由题意可得

，解得

.

故答案为10900