初三中考数学 图像旋转新.docx
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初三中考数学图像旋转新
知识点3旋转
1.旋转:
在平面内,将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角。
旋转不改变图形的大小和形状。
注意:
“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度。
在物体绕着一个定点转动时,它的形状和大小不变。
因此,旋转具有不改变图形的大小和形状的特征。
例1.如图,如果把钟表的指针看做三角形OAB,它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF,在这个旋转过程中:
(1)旋转中心是什么?
旋转角是什么?
(2)经过旋转,点A、B分别移动到什么位置?
2.旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等;
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
(3)旋转前、后的图形全等;
(4)图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定。
例2.如图所示,如果把钟表的指针看作四边形AOBC,它绕O点按顺时针方向旋转得到四边形DOEF。
在这个旋转过程中
(1)旋转中心是什么?
旋转角是什么?
(2)经过旋转,点A、B分别移到什么位置?
(3)AO与DO的长有什么关系?
BO与EO呢?
(4)∠AOD与∠BOE有什么大小关系?
例3.在正方形ABCD中,∠1=∠2=30°,试把ΔADE绕点A顺时针旋转90°,
观察整个图形中角与角之间,线段与线段之间,存在哪些相等的关系?
探索DE,BF,AF之间的关系。
一、归纳小结
旋转的定义与规律
(1)定义:
在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.
关键:
旋转不改变图形的大小和形状,但改变图形的方向.
(2)旋转的规律
经过旋转,图形上的每一点,都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.
二、追踪练习
1.平移不改变图形的________,只改变图形的位置。
故此若将线段AB向右平移3cm,得到线段CD,如果AB=5㎝,则CD=___________
2.下列关于旋转和平移的说法正确的是()
A旋转使图形的形状发生改变B由旋转得到的图形一定可以通过平移得到
C平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小D对应点到旋转中心距离相等
3.如图,正方形ABCD可以看成由三角形______旋转而成的,其旋转
中心为______点,旋转角度依次为________,________,________。
4.下列现象哪些是平移,哪些是旋转。
知识点4简单的旋转作图
简单图形的旋转作图
两种情况:
①给出绕着旋转的定点,旋转方向和旋转角的大小;
②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点。
作图步骤:
①作出图形的几个关键点旋转后的对应点;
②顺次连接各点得到旋转后的图形。
例1.如图,△ABC绕C点旋转后,顶点A的对应点为点D,试确定顶点B对应点的位置,以及旋转后的三角形.
例2.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,且DE=
,△ABF是△ADE的旋转图形.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?
(3)AF的长度是多少?
(4)如果连结EF,那么△AEF是怎样的三角形?
一、练习:
1.平面图形的旋转一般情况下改变图形的( )
A位置B大小C形状D性质
2.9点钟时,钟表的时针和分针之间的夹角是( )
A30°B45°C60°D90°
3.将平行四边形ABCD旋转到平行四边形A′B′C′D′的位置,下列结论错误的是( )
A.AB=A′B′B.AB∥A′B′C.∠A=∠A′D.△ABC≌△A′B′C′
4.做一做
在图1中,将大写字母A绕着它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90度,请作出旋转后的图案.图1
二、归纳小结
简单的旋转作图
旋转作图关键有两点:
①旋转方向,②旋转角度.主要分四步:
边、转、截、连.旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝,每个点转的角度是相同的,每个点与旋转中心的距离是不会改变的,即对应点与旋转中心距离相等.
三、追踪练习
1.钟表上的指针随时间的变化而移动,这可以看作是数学上的_______。
2.菱形ABCD绕点O沿逆时针方向旋转到四边形
,则四边形
是__________。
3.△ABC绕一点旋转到△A′B′C′,则△ABC和△A′B′C′的关系是_______。
4.钟表的时针经过20分钟,旋转了_______度。
5.图形的旋转只改变图形的_______,而不改变图形的_______。
6.在图中,将大写字母H绕它右上侧的顶点按逆时针方向旋转90°,请作出旋转后的图案。
7.将一个等腰直角三角形ABC(如图2∠A是直角)绕着它的一个顶点B逆时针方向旋转,分别作出旋转下列角度后的图形。
(1)45°
(2)90° (3)135° (4)180°
图2图3
8.将上面的图案绕点O顺时针方向旋转90度,作出旋转后的图形。
对比平移、轴对称两种图形变换,旋转变换与它们有哪些共性和区别?
知识点4它们是怎样变过来的
例1:
下图由四部分组成,每部分都包括两个小“十”字,其中一部分能经过适当的旋转得到
其他三部分吗?
能经过平移吗?
能经过轴对称吗?
还有其它方式吗?
解析:
(1)整个图形可以看做是由一个“十”字组成部分通过连续七次平移前后的图形共同组成;
(2)整个图形也可以看做是由左边的两个“十”字组成的部分通过三次放置形成的;
(3)整个图形不定期可以看做把左边的两个“十”字组成的部分先通过平移一次形成左右四个“十”字组成的图形,然后绕图形中心旋转90度前后的图形共同组成;
(4)整个图形还可以看做把左边的两个“十”字组成的部分通过二次轴对称形成的。
……
通过上述问题的讨论,我们看到图形的平移、旋转,轴对称变换是图形变换中最基本的三种变换方式,它们是今后设计图案的主要手段。
平移、旋转和轴对称的区别和联系
(1)区别。
①三者概念的区别:
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移;在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转;在平面内,将一个图形沿着某条直线折叠。
如果它能够与另一个图形重合,那么这两个图形成轴对称。
②三者运动方式不同:
平移是将图形沿某个方向移动一定的距离。
旋转是将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度;轴对称是将图形沿着某一条直线折叠。
③对应线段、对应角之间的关系不同:
平移变换前后图形的对应线段平行(或共线)且相等;对应点所连的线段平行且相等;对应角的两边分别平行且对应角的方向一致。
轴对称的对应线段或延长线相交,交点在对称轴上:
对应点的连线被对称轴垂直平分。
旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的距离相等、与旋转中心的连线所成的角是旋转角。
④三者作图所需的条件不同:
平移要有平移的方向和平移的距离,旋转要有旋转中心、旋转方向和旋转角:
轴对称要有对称轴。
(2)联系。
①它们都在平面内进行图形变换
②它们都只改变图形的位置不改变图形的形状和大小,因此变换前后的两个图形全等。
③都要借助尺规作图及全等三角形的知识作图。
例2:
“想一想”你能将下面的左图,通过平移或旋转得到右图吗?
看一看:
下列三幅图案分别是由什么“基本图形”经过平移或旋转而得到的?
1.
2.
3.
试一试:
怎样将下图中的甲图变成乙图?
做一做:
如图①,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA延长线上的一点,AF=
AB,
(1)求证:
△ABE≌△ADF.
(2)阅读下列材料:
如图②,把△ABC沿直线平移线段BC的长度,可以变到△ECD的位置;如图③,以BC为轴把△ABC翻折180°,可以变到△DBC的位置;如图④,以点A为中心,把△ABC旋转180°,可以变到△AED的位置,像这样其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的,这种只改变位置,不改变形状大小的图形变换,叫做三角形的全等变换.
图① 图② 图③ 图④
请回答下列问题:
(1)在图①中,可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法,使△ABE变到△ADF的位置?
(2)指出图①中线段BE与DF之间的关系.
追踪练习:
1.怎样将下图中的甲图变成乙图案?
2.如图,在方格纸上,有两个形状、大小一样的三角形,请指出如何运用轴对称、平移、旋转这三种运动,将方格中的△ABC重合到△DEF上.
3.如图,将右面的扇形绕点O按顺时针方向旋转,分别作出旋转下列角度后的图形:
(1)90°;
(2)180°;(3)270°.
你能发现将扇形旋转多少度后能与原图形重合吗?
4.下图是由三个正三角形拼成的,它可以看作由其中一个三角形经过怎样的变化而得到的?
5.下图中的两个正方形的边长相等,请你指出可以通过绕点O旋转而相互得到的图形并说明旋转的角度.
6.如图,菱形A′B′C′D′是菱形ABCD绕点O顺时针旋转90°后得到的,你能作出旋转前的图形吗?
7.Rt△ABC,绕它的锐角顶点A分别逆时针旋转90°、180°和顺时针旋转90°,
(1)试作出Rt△ABC旋转后的三角形;
(2)将所得的所有三角形看成一个图形,你将得到怎样的图形?
知识点6简单的图案设计
图案设计:
图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变换而得到的。
其中中心对称是旋转变换的一种特例。
1.中心对称
把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
2.中心对称图形
如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合,那么我们就说,这个图形是中心对称图形。
3.中心对称的性质
(1)关于中心对称的两个图形是全等形。
(2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。
(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或者在同一直线上)且相等。
练习:
1.在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中,旋转180o后不变的字是_______
在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转(旋转度数不超过180)后不能与原图形重合的是____
2.如图⑴,两块完全重合的正方形纸片,如果上面的一块统正方形的中心O作0○~90o的旋转,那么旋转时露出的△ABC的面积(S)随着旋转角度(n)的变化而变化,下面表示S与n的关系的图象大致是图⑵中的()
(图1)(图2)
3.如图,在方格纸上,有两个形状、大小一样的三角形,请指出如何运用轴对称、
平移、旋转这三种运动,将方格中的△ABC重合到△DEF上.
4.如图是跷跷板示意图,模板AB通过点O,且可以绕点O上下转动,如果
∠OCA=90○,∠CAO=25○,
(1)画出在空中划过的线;
(2)上下最多可以转动多少角度?
课后练习
1.下列说法正确的是()
A.旋转后的图形的位置一定改变
B.旋转后的图形的位置一定不变
C.旋转后的图形的位置可能不变
D.旋转后的图形的位置和形状都发生变化
2.△ABC是等腰直角三角形,如图1-3-30,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC上一点,△ACD经过旋转到达△ABE的位置,则其旋转角的度数为()
A.90°B.120°
C.60°D.45°
3.下列关于旋转和平移的说法错误的是()
A.旋转需旋转中心和旋转角,而平移需平移方向和平移距离
B.旋转和平移都只能改变图形的位置
C.旋转和平移图形的形状和大小都不发生变化
D.旋转和平移的定义是相同的
4.如图1-3-31,如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合,那么图形所在的平面内可作旋转中心的点共有()个.
A.1B.2C.3D.4
5.从10点到10点40分,分针转过的角度为()
A.60°B.30°C.120°D.240°
6.观察图1-3-32的图形,图1-3-33中()不是图案中的拼块.
7.下列说法不正确的是()
A.旋转后的图形与原来图形面积相4
B.旋转后的图形改变了图
形的大小
C.旋转不改变图形的大小
D.旋转不改变图形的形状
8.如图1-3-34,该图案的旋转中心为_______
9.在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中,旋转180o后不变的字是___________
10在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转(旋转度数不超过180)后不能与原图形重合的是____
11如图1-3-35所示的五角星绕中,O点最少旋转
____________后才能与自身重合.
12如图1-3-36,△BCD是由△ABD旋转而成的,其中AB=CD,AD=BC,找出旋转中心,写出旋转角(至少写两个).
13如图1-3-37,已知Rt△ABC,作出其以A为旋转中心,逆时针旋转90○,180○,270○的三个三角形,不时法,也不必留画图痕迹.
14如图1-3-38,将已知的△ABC以A为旋转中心逆时针旋转100○得△A′B′C′,画出图形,并描出点B到B′,点C到C′在旋转过程中走过的痕迹.
15如图1-3-39,训练场上,士兵小王在射击完毕后,发现子弹击中在靶子的阴影部分,你知道阴影部分的面积吗?
(设靶子面积为S).
16如图1-3-40,△AOB绕点O旋转到△DOE的位置,请指出旋转角.
小明的解答是:
因为△DOE是由△AOB绕点O旋转得到的,所以∠AOB=∠DOE,∠A=∠D,∠B=∠E,∠AOD=∠BOE,没有和∠AOE相等的角,所以∠AOE就是旋转角.小明的解答对吗?
17如图1-3-41,正方形ABCD中,F是BC上一点,E是AB延长线上一点,且BF=BE,试猜想线段AF与CE的关系,并说明你的猜想理由.
18.观察图1-3-42,试说明这个图案是怎样变化而来的.
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