知识点050同底数幂的乘法解答题.docx
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知识点050同底数幂的乘法解答题
一.解答题(共44小题)
1.(2002•泰州)阅读下面材料,并解答下列各题:
在形如ab=N的式子中,我们已经研究过两种情况:
①已知a和b,求N,这是乘方运算;
②已知b和N,求a,这是开方运算;
现在我们研究第三种情况:
已知a和N,求b,我们把这种运算叫做对数运算.
定义:
如果ab=N(a>0,a≠1,N>0),则b叫做以a为底N的对数,记着b=logaN.
例如:
因为23=8,所以log28=3;因为
,所以
.
(1)根据定义计算:
①log381= 4 ;②log33= 1 ;③log31= 0 ;
④如果logx16=4,那么x= 2 .
(2)设ax=M,ay=N,则logaM=x,logaN=y(a>0,a≠1,M、N均为正数),
∵ax•ay=ax+y,∴ax+y=M•N∴logaMN=x+y,
即logaMN=logaM+logaN
这是对数运算的重要性质之一,进一步,我们还可以得出:
logaM1M2M3…Mn= logaM1+logaM2+logaM3+logaMn (其中M1、M2、M3、…、Mn均为正数,a>0,a≠1)
loga
= logaM﹣logaN( (a>0,a≠1,M、N均为正数).
考点:
同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方;负整数指数幂。
专题:
新定义。
分析:
(1)根据题中给出的对数的运算的定义和法则计算即可;
(2)根据题中给出的对数运算法则总结即可得出下面两个式子的答案.
解答:
解:
根据题中给出的已知条件可得:
(1)①4,②1;③0;④2(每空1分,共4分)
(2)logaM1+logaM2+logaM3+logaMn
logaM﹣logaN(每空2分,共4分)
故答案为:
(1)①4,②1;③0;④2;
(2)logaM1+logaM2+logaM3+logaMn,logaM﹣logaN
点评:
本题立意比较新颖,根据题中条件计算并且推算出对数运算的法则,考查了学生的举一反三的能力和对新知识的掌握,属于基础题.
2.若2•8n•16n=222,求n的值.
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
把等号左边的数都能整理成以2为底数的幂相乘,再根据同底数幂相乘,底数不变指数相加计算,然后根据指数相等列式求解即可.
解答:
解:
2•8n•16n,
=2×23n×24n,
=27n+1,
∵2•8n•16n=222,
∴7n+1=22,
解得n=3.
点评:
本题主要考查同底数幂的乘法的性质,熟练掌握性质是解题的关键.
3.
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加,计算即可.
解答:
解:
原式=(﹣
)1+4=(﹣
)5=﹣
.
点评:
本题主要考查同底数幂的乘法,熟练掌握性质是解题的关键.
4.计算:
x•2x2•3x3•4x4•5x5•6x6
考点:
同底数幂的乘法;单项式乘单项式。
分析:
根据单项式与单项式相乘法则及同底数的幂相乘的法则运算.
解答:
解:
x•2x2•3x3•4x4•5x5•6x6,
=2×3×4×5×6•x1+2+3+4+5+6,
=720x21.
点评:
解答此题需熟知以下概念:
(1)单项式与单项式相乘,把他们的系数相乘,相同字母的幂相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式;
(2)同底数的幂相乘,底数不变,指数相加.
5.在我国,平均每平方米的土地一年从太阳处得到的能量,相当于燃烧1.3×108kg的煤产生的热量,我国960万km2的土地上,一年从太阳处得到的能量相当于燃烧多少千克的煤?
(结果用科学记数法表示) 1.248×1015 kg.
考点:
同底数幂的乘法;科学记数法—表示较大的数。
专题:
应用题。
分析:
依题意列式计算即可.
解答:
解:
960万km2=9.6×106m2,所以一年从太阳处得到的能量相当于煤1.3×108×9.6×106=1.248×1015kg.
点评:
此题主要考查的是幂的运算,科学记数法的表示.在进行幂的运算时要掌握运算法则:
同底数幂相乘,底数不变指数相加.科学记数法的标准形式为1.248×1015(1≤|a|<10,n为整数).
6.﹣316•(﹣3)16
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
根据同底数幂的乘法,底数不变指数相加;﹣316=﹣(﹣3)16;代入原式化简即可.
解答:
解:
∵﹣316=﹣(﹣3)16∴原式=﹣316•(﹣3)16,
=﹣(﹣3)16•(﹣3)16,
=﹣(﹣3)32,
=﹣332
点评:
本题考查同底数幂的乘法,底数不变指数相加的性质,熟练掌握性质是解题的关键.
7.阅读材料:
一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b.
例如:
因为54=625,所以log5625=4;因为32=9,所以log39=2
对数有如下性质:
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么LogaMN=logaM+logaN
完成下列各题
(1)因为 23=8 ,所以log28= 3 ;
(2)因为 24=16 ,所以log216= 4 ;
(3)计算:
log28×16= log28 + log216 = 7 .
考点:
同底数幂的乘法。
专题:
新定义。
分析:
根据题目信息:
(1)8是2的3次方,对数为3;
(2)16是2的4次方,对数是4;
(3)8与16的积,先分解成以2为底8的对数和以2为底16的对数,再求解.
解答:
解:
(1)因为23=8,所以log28=3;
(2)因为24=16,所以log216=4;
(3)计算:
log28×16=log28+log216=3+4=7.
故答案为:
(1)23=8,3;
(2)24=16,4;(3)log28,log216,7.
点评:
本题是阅读材料题,主要考查了同底数幂的乘法的性质,读懂题目信息并熟练掌握运算性质是解题的关键.
8.(210﹣1×2×4×8×16)2
考点:
同底数幂的乘法;有理数的乘方。
分析:
先将4,8,16写成2的乘方的形式,再运用同底数幂的乘法法则计算,进而得出结果.
解答:
解:
原式=(210﹣1×2×22×23×24)2=(210﹣210)2=0.
点评:
本题主要考查了乘方的意义及同底数幂的乘法法则.
9.(﹣x5)•x3n﹣1+x3n•(﹣x)4
考点:
同底数幂的乘法;合并同类项。
分析:
根据同底数幂的乘法法则,同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am•an=am+n.再合并同类项即可.
解答:
解:
(﹣x5)•x3n﹣1+x3n•(﹣x)4
=﹣x3n+4+x3n+4
=0.
点评:
本题主要考查同底数的幂的乘法,熟练掌握性质是解题的关键.
10.a•a2•(﹣a)3•(﹣a)4
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
根据同底数幂的乘法法则,同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am•an=am+n.
解答:
解:
原式=a3•[(﹣a)3•(﹣a)4],
=a3•(﹣a)7,
=﹣a10.
点评:
主要考查同底数幂的乘法的性质,要注意有底数是a与﹣a的两种不同情况.
11.已知:
3m•9m•27m•81m=330,求m的值.
考点:
同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方。
分析:
根据同底数幂的乘法运算法则得到关于m的方程,求解即可.
解答:
解:
由题意知,3m•9m•27m•81m,
=3m•32m•33m•34m,
=3m+2m+3m+4m,
=330,
∴m+2m+3m+4m=30,
整理,得10m=30,
解得m=3.
点评:
本题先把9m,27m,81m,变为以3为底数的幂,再利用同底数幂相乘,底数不变,指数相加的法则建立方程而求解.
12.已知:
3x=2,求3x+2的值. 18
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
根据同底数幂相乘,底数不变指数相加的性质的逆用,计算即可.
解答:
解:
∵3x=2,
∴3x+2=3x•32
=2×9
=18.
点评:
本题主要考查同底数幂的乘法的性质,熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键.
13.一种电子计算机每秒可做108次运算,它工作5×102秒可做多少次运算?
(结果用科学记数法表示)
考点:
同底数幂的乘法;科学记数法—表示较大的数。
专题:
应用题。
分析:
根据同底数幂的乘法法则计算即可.
解答:
解:
∵am•an=am+n,
∴5×102×108=5×1010.
点评:
本题主要考查同底数幂相乘,底数不变指数相加的性质.
14.23×8×16×32(用幂的形式表示)
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
都转化成以2为底数的幂,再根据同底数幂相乘,底数不变指数相加计算.
解答:
解:
23×8×16×32,
=23×23×24×25,
=23+3+4+5,
=215.
点评:
本题主要考查同底数幂相乘的性质,熟练掌握性质是解题的关键.
15.若5m+n=56•5n﹣m,求m的值.
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
根据同底数幂相乘,底数不变指数相加,计算后再根据指数相等列式求解即可.
解答:
解:
∵5m+n=56•5n﹣m=56+m﹣n,
∴m+n=6+n﹣m,即2m=6,
解得m=3.
点评:
本题综合考查了同底数幂的乘法,需熟练掌握且区分清楚,才不容易出错.
16.(x﹣y)2•(y﹣x)3.
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
由(x﹣y)2=(y﹣x)2,同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
解答:
解:
(x﹣y)2•(y﹣x)3,
=(y﹣x)2(y﹣x)3,
=(y﹣x)5.
点评:
考查了同底数幂的相乘,底数不变,指数相加,转化为同底数的幂是求解的关键.
17.已知a3•am•a2m+1=a25,求m的值 7 .
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
根据同底数幂的乘法法则,同底数幂相乘,底数不变,指数相加计算,再根据指数相等列式求解即可.
解答:
解:
∵a3•am•a2m+1,
=a3+m+2m+1=a25,
∴3+m+2m+1=25,
解得m=7,
故填7.
点评:
运用同底数幂的乘法法则时需要注意:
(1)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质:
am•an•ap=am+n+p相乘时(m、n、p均为正整数);
(2)公式的特点:
左边是两个或两个以上的同底数幂相乘,右边是一个幂指数相加.
18.已知x•xm•xn=x14,且m比n大3,求m•n的值 40 .
考点:
同底数幂的乘法;解二元一次方程组。
分析:
先根据同底数幂的乘法法则,求出m、n的一个关系式,再根据m比n大3,列出一个二元一次方程组,解方程组然后再代入m•n即可求解.
解答:
解:
∵x•xm•xn=x1+m+n=x14,
∴1+m+n=14,
即m+n=13.
又∵m﹣n=3,
∴
,
解得
,
∴m•n=8×5=40.
故应填40.
点评:
根据题意列出关于m、n的二元一次方程组是解题的关键,也是本题的难点.
19.已知10a=3,10β=5,10γ=7,试把105写成底数是10的幂的形式 10α+β+γ .
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
把105进行分解因数,转化为3和5和7的积的形式,然后用10a、10β、10γ表示出来.
解答:
解:
105=3×5×7,而3=10a,5=10β,7γ=10,
∴105=10γ•10β•10α=10α+β+γ;
故应填10α+β+γ.
点评:
正确利用分解因数,根据同底数的幂的乘法的运算性质的逆用是解题的关键.
20.
(1)a3•am•a2m+1等于a25求m的值.
(2)已知(a+b)a•(b+a)b=(a+b)5,且(a﹣b)a+4•(a﹣b)4﹣b=(a﹣b)7,求aabb的值.
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
同底数幂相乘法则,同底数幂相乘,底数不变指数相加的性质计算后再根据指数相等列出方程,解方程即可.
解答:
解:
(1)∵a3•am•a2m+1=a25,
∴3m+4=25,
解得m=7.
(2)(a+b)a•(b+a)b=(a+b)a•(a+b)b=(a+b)a+b=(a+b)5.
∴a+b=5①.
又∵(a﹣b)a+4•(a﹣b)4﹣b=(a﹣b)7,
∴a+4+4﹣b=7.
即a﹣b=﹣1②,
把①,②组成方程组,
解得a=2,b=3.
∴aabb=22•33=4×27=108.
点评:
主要考查同底数幂的乘法的性质,根据指数相等列方程是求解的关键.
21.小丽给小明出了一道计算题:
若(﹣3)x•(﹣3)2•(﹣3)3=(﹣3)7,求x的值,小明的答案是﹣2,小亮的答案是2,你认为 小亮 的答案正确.(请填“小丽”、“小明”或“小亮”)
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
根据同底数幂相乘,底数不变指数相加,计算后再根据指数相等列出方程求解即可判断.
解答:
解:
小亮的答案是正确的.
理由:
∵(﹣3)x•(﹣3)2•(﹣3)3,
=(﹣3)x+2+3,
=(﹣3)7,
∴x+2+3=7,
解得x=2.
故填小亮.
点评:
本题考查了同底数幂的乘法法则,需熟练掌握才能灵活运用,根据指数相等列出方程是求解的关键.
22.计算:
(1)(﹣
)2×(﹣
)3= ﹣
(2)103•104•105= 1012
(3)a10•a2•a= a13
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
同底数幂的乘法规律是,同底数幂相乘,底数不变,指数相加的性质计算即可.
解答:
解:
(1)(﹣
)2×(﹣
)3=(
)5=
;
(2)103•104•105=103+4+5=1012;
(3)a10•a2•a=a10+2+1=a13.
点评:
主要考查同底数幂的乘法的性质,底数不变,指数相加.熟练掌握性质是解题的关键.
23.设3m+n能被10整除,试证明3m+4+n也能被10整除.
考点:
同底数幂的乘法。
专题:
证明题。
分析:
把原式化成含有3m+n的式子即可.
解答:
解:
∵3m+4+n=34×3m+n=81×3m+n=80×3m+(3m+n),
∵3m+n能被10整除,
∴80×3m与3m+n均能被10整除,
即3m+4+n能被10整除.
点评:
本题利用了整除的知识和同底数幂的乘法的逆运算,比较简单.
24.已知2a•5b=2c•5d=10,求证:
(a﹣1)(d﹣1)=(b﹣1)(c﹣1).
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
由2a•5b=10,首先把10转化为2×5的形式,据同底数幂的除法,底数不变指数相减可以得到一个关于指数ab等于1的等式,根据等式乘方原则等式两边同时乘方d﹣1等式仍成立;同理可得到一个关于指数cd的等于1等式,根据等式乘方原则等式两边同时乘方b﹣1等式仍成立.两个等式联立相等,即可得到结论.
解答:
证明:
∵2a•5b=10=2×5,
∴2a﹣1•5b﹣1=1,
∴(2a﹣1•5b﹣1)d﹣1=1d﹣1,①
同理可证:
(2c﹣1•5d﹣1)b﹣1=1b﹣1,②
由①②两式得2(a﹣1)(d﹣1)•5(b﹣1)(d﹣1)=2(c﹣1)(b﹣1)•5(d﹣1)(b﹣1),
即2(a﹣1)(d﹣1)=2(c﹣1)(b﹣1),
∴(a﹣1)(d﹣1)=(b﹣1)(c﹣1).
点评:
本题考查了同底数幂的除法,同底数幂的乘法,幂的乘方等知识点,各知识点很容易混淆,一定要记准法则才能解题.
25.已知2m=5,2n=7,求24m+2n的值.
考点:
同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方。
分析:
根据同底数幂的除法,底数不变指数相减;同底数幂的乘法,底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变指数相乘计算即可.
解答:
解:
∵2m=5,
∴2n=7,
又∵24m=625,
∴22n=49,
∴24m+2n=625×49=30625
故答案为30625.
点评:
本题考查同底数幂的除法,同底数幂的乘法,幂的乘方,解题时记准法则是关键.
26.利用幂的运算性质计算:
3
×
×
.
考点:
同底数幂的乘法。
专题:
计算题。
分析:
根据同底数幂的乘法计算即可.
解答:
解:
原式=3×
×
×
=3×
=3×2
=6.
点评:
本题考查了同底数幂的乘法,解题时牢记定义是关键.
27.若x=3an,y=﹣
,当a=2,n=3时,求anx﹣ay的值.
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
把x=3an,y=﹣
,代入anx﹣ay,利用同底数幂的乘法法则,求出结果.
解答:
解:
anx﹣ay
=an×3an﹣a×(﹣
)
=3a2n+
a2n∵a=2,n=3,
∴3a2n+
a2n=3×26+
×26=224.
点评:
本题主要考查同底数幂的乘法的性质,熟练掌握性质是解题的关键.
28.计算:
(a﹣b)m+3•(b﹣a)2•(a﹣b)m•(b﹣a)5
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
根据同底数幂的乘法法则,同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am•an=am+n计算即可.
解答:
解:
(a﹣b)m+3•(b﹣a)2•(a﹣b)m•(b﹣a)5,
=(a﹣b)m+3•(a﹣b)2•(a﹣b)m•[﹣(a﹣b)5],
=﹣(a﹣b)2m+10.
点评:
主要考查同底数幂的乘法的性质,熟练掌握性质是解题的关键.
29.已知am=2,an=3,求下列各式的值:
(1)am+1
(2)an+2
(3)am+n+1
考点:
同底数幂的乘法。
专题:
计算题。
分析:
根据同底数幂的乘法法则:
底数不变指数相加;对所求代数式进行变形为同底数幂相乘的形式,再根据已知代入计算即可.
解答:
解:
(1)am+1=am•a=2a;
(2)an+2=an•a2=3a2;
(3)am+n+1=am•an•a=2×3×a=6a.
点评:
本题考查了同底数幂的乘法,熟练掌握同底数幂的乘法性质:
底数不变指数相加,是解题的关键.
30.已知ax=2,ay=3求:
ax+y与a2x﹣y的值.
考点:
同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方。
专题:
计算题。
分析:
现根据同底数幂的乘法法则的逆运算展开,再整体代入数值计算即可.
解答:
解:
ax+y=ax•ay=2×3=6;
a2x﹣y=a2x÷ay=22÷3=
.
点评:
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方,解题的关键是能灵活运用这些法则的逆运算.
31.已知ax=2,ay=3求:
ax+y与a2x﹣y的值.
考点:
同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方。
专题:
计算题。
分析:
现根据同底数幂的乘法法则的逆运算展开,再整体代入数值计算即可.
解答:
解:
ax+y=ax•ay=2×3=6;
a2x﹣y=a2x÷ay=22÷3=
.
点评:
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方,解题的关键是能灵活运用这些法则的逆运算.
32.阅读理解并解答:
为了求1+2+22+23+24+…+22009的值,可令S=1+2+22+23+24+…+22009,
则2S=2+22+23+24+…+22009+22010,因此2S﹣S=(2+22+23+…+22009+22010)﹣(1+2+22+23+…+22009)=22010﹣1.
所以:
S=22010﹣1.即1+2+22+23+24+…+22009=22010﹣1.
请依照此法,求:
1+4+42+43+44+…+42010的值.
考点:
同底数幂的乘法。
专题:
新定义。
分析:
根据题意先设S=1+4+42+43+44+…+42010,从而求出4S的值,然后用4S﹣S即可得到答案.
解答:
解:
为了求1+4+42+43+44+…+42010的值,可令S=1+4+42+43+44+…+42010,
则4S=4+42+43+44+…+42011,
所以4S﹣S=(4+42+43+44+…+42011)﹣(1+4+42+43+44+…+42011)=42011﹣1,
所以3S=42011﹣1,
S=
(42011﹣1),
即1+4+42+43+44+…+42010=
(42011﹣1).
点评:
本题考查了同底数幂的乘法,解题的关键是弄清所给例子,依照例子去做就简单了.
33.附加题.
(1)方程2x﹣6=0的解为 x=3 .
(2)计算:
a2•a3•a= a6 .
考点:
同底数幂的乘法;解一元一次方程。
专题:
计算题。
分析:
(1)根据等式的性质,先移项,再系数化为1即可;
(2)根据同底数幂的运算法则解答:
底数不变,指数相加.
解答:
解:
(1)2x﹣6=0,
移项得,2x=6,
系数化为1得,x=3.
(2)a2•a3•a=a2+3+1=a6.
故答案为x=3;a6.
点评:
(1)此题考查了一元一次方程的解法,要熟悉解方程的步骤:
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
(2)此题考查了同底数幂的乘法,要知道,同底数幂的乘法,底数不变,指数相加.
34.已知3m=243,3n=9,求m+n的值.
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
根据同底数幂的乘法法则,同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am•an=am+n计算即可.
解答:
解:
∵3m•3n=3m+n,
∴243×9=37,
∴m+n=7.
点评:
主要考查同底数幂的乘法的性质,熟练掌握性质是解题的关键.
35.已知am=2,an=8,求am+n.
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
同底数幂相乘,指数相加.
解答:
解:
am+n=am•an=2×8=16.
故am+n的值是16.
点评:
本题考查同底数幂的乘法,属于基础题.
36.计算:
a•a5+(2a3)2+(﹣2a2)3.
考点:
同底数幂的乘法;合并同类项;幂的乘方与积的乘方。
分析:
先根据同底数幂的乘法,积的乘方和幂的乘方进行计算,再合并同类项即可.
解答:
解:
a•a5+(2a3)2+(﹣2a2)3=a6+4a6﹣8a6=﹣3a6.
点评:
本题考查了合并同类项,同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方,理清指数的变化是解题的关键.
37.若x=3an,y=﹣
,当a=2,n=3时,求anx﹣ay的值.
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
把x=3an,y=﹣
,代入anx﹣ay,利用同底数幂的乘法法则,求出结果.
解答:
解:
anx﹣ay
=an×3an﹣a×(﹣
)
=3a2n+
a2n∵a=2,n=3,
∴3a2n+
a2n=3×26+
×26=224.
点评:
本题主要考查同底数幂的乘法的性质,熟练掌握性质是解题的关键.
38.若1+2+3+…+n=a,求代数式(xny)(xn﹣1y2)(xn﹣2y3)…(x2yn﹣1)(xyn)的值.
考点:
同底数幂的乘法。
专题:
计算题。
分析:
根据同底数幂的乘法法则,同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am•an=am+n计算即可.
解答:
解:
原式=xny•xn﹣1y2•xn﹣2y3…x2yn﹣1•xyn
=(xn•xn﹣1•xn﹣2•…•x2•x)•(y•y2•y3•…•yn﹣1•yn)
=xaya.
点评:
主要考查同底数幂的乘法的性质,熟练掌握性质是解题的关键.
39.已知:
am+n•am﹣n=a8,求m的值.
考点:
同底数幂的乘法。
专题:
计算题。
分析:
根据同底数幂的乘法法则,同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am•an=am+n计算即可.
am+n•am﹣n=a8,即m+n+m﹣n=8,即可求出m的值.
解答:
解:
am+n•am﹣n=a8,
m+n+m﹣n=8,
2m=8,
m=4.
故答案为:
4.
点评:
主要考查同底数幂的乘法的性质,熟练掌握性质是解题的关键.
40.某银行去年新增加居民存款10亿元人民币.
(1)经测量,100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米,如果将10亿元面值为100元
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