专家解析高考数学文真题精校精析天津卷纯word书稿.docx
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专家解析高考数学文真题精校精析天津卷纯word书稿
2012·天津卷(数学文科)
1.[2012·天津卷]i是虚数单位,复数=( )
A.1-iB.-1+i
C.1+iD.-1-i
1.C [解析]===1+i.
2.[2012·天津卷]设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-2y的最小值为( )
A.-5B.-4
C.-2D.3
2.B [解析]概括题意画出可行域如图.
当目标函数线过可行域内点A(0,2)时,目标函数有最小值z=0×3-2×2=-4.
图1-1
3.[2012·天津卷]阅读如图1-1所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为( )
A.8B.18
C.26D.80
3.C [解析]当n=1时,S=2;当n=2时,S=2+32-3=8;当n=3时,S=8+33-32=26;当n=4时输出S=26.
4.[2012·天津卷]已知a=21.2,b-0.8,c=2log52,则a,b,c的大小关系为( )
A.c<b<aB.c<a<b
C.b<a<cD.b<c<a
4.A [解析]∵a=21.2>2,1=0
∴c
5.[2012·天津卷]设x∈,则“x>”是“2x2+x-1>0”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.A [解析]当x>时,2x2+x-1>0成立;但当2x2+x-1>0时,x>或x<-1.
∴“x>”是“2x2+x-1>0”充分不必要条件.
6.[2012·天津卷]下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( )
A.y=cos2x,x∈
B.y=log2|x|,x∈且x≠0
C.y=,x∈
D.y=x3+1,x∈
6.B [解析]法一:
由偶函数的定义可排除CD,又∵y=cos2x为偶函数,但在(1,2)内不单调递增,故选B.
法二:
由偶函数定义知y=log2|x|为偶函数,以2为底的对数函数在(1,2)内单调递增.
7.[2012·天津卷]将函数f(x)=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是( )
A.B.1
C.D.2
7.D [解析]法一:
将函数f(x)=sinωx的图象向右平移个单位,得到g(x)=sin的图象,又∵其图象过点,∴g=sin=sinω=0,
∴ω最小取取2.
法二:
函数f(x)=sinωx的图象向右平移个单位后过点,∴函数f(x)=sinωx的图象过点,即f=sinω=0,∴ω最小值取2.
8.[2012·天津卷]在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2,设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈.若·=-2,则λ=( )
A.B.
C.D.2
8.B [解析]·=(-)·(-)=[(1-λ)-]·(λ-)
=-(1-λ)2-λ2=3λ-4=-2,解得λ=.
9.[2012·天津卷]集合A=中的最小整数为________.
9.-3 [解析]将|x-2|≤5去绝对值得-5≤x-2≤5,解之得-3≤x≤7,∴x的最小整数为-3.
10.[2012·天津卷]一个几何体的三视图如图1-2所示(单位:
m),则该几何体的体积为________m3.
图1-2
10.30 [解析]由三视图可得该几何体为两个直四棱柱的组合体,其体积V=3×4×2+(1+2)×1×4=30.
11.[2012·天津卷]已知双曲线C1:
-=1(a>0,b>0)与双曲线C2:
-=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a=________,b=________.
11.1 2 [解析]∵双曲线C1与C2有共同的渐近线,∴b2=4a2.①
又∵a2+b2=5,②
联立①②得,a=1,b=2.
12.[2012·天津卷]设m,n∈,若直线l:
mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为________.
12.3 [解析]直线mx+ny-1=0与两坐标轴的交点坐标分为,,又∵直线l被圆x2+y2=4截得弦长为2,由垂径定理得,2+12=22,即=3,
∴S△OAB=××≥=3.
图1-3
13.[2012·天津卷]如图1-3所示,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为________.
13. [解析]由相交弦的性质可得AF×FB=EF×FC,
∴FC===2,
又∵FC∥BD,∴===,即BD=,
由切割定理得BD2=DA×DC=4DC2,解之得DC=.
14.[2012·天津卷]已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是________.
14.(0,1)∪(1,2) [解析]y==在同一坐标系内画出y=kx与y=的图象如图,
结合图象当直线y=kx斜率从0增到1时,与y=在x轴下方的图象有两公共点;当斜率从1增到2时,与y=的图象在x轴上下方各有一个公共点.
15.[2012·天津卷]某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.
(1)求应从小学中学大学中分别抽取的学校数目;
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,
①列出所有可能的抽取结果;
②求抽取的2所学校均为小学的概率.
15.解:
(1)从小学中学大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,大学记为A6,则抽取2所学校的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3种.
所以P(B)==.
16.[2012·天津卷]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=2,c=,cosA=-.
(1)求sinC和b的值;
(2)求cos的值.
16.解:
(1)在△ABC中,由cosA=-,可得sinA=,又由=及a=2,c=,可得sinC=.
由a2=b2+c2-2bccosA,得b2+b-2=0,
因为b>0,故解得b=1.
所以sinC=,b=1.
(2)由cosA=-,sinA=,
得cos2A=2cos2A-1=-,
sin2A=2sinAcosA=-.
所以,cos=cos2Acos-sin2Asin=.
图1-4
17.[2012·天津卷]如图1-4,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2,PD=CD=2.
(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;
(2)证明平面PDC⊥平面ABCD;
(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.
17.解:
(1)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,因为底面ABCD是矩形,所以AD=BC且AD∥BC,又因为AD⊥PD,故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角.
在Rt△PDA中,tan∠PAD==2.
所以,异面直线PA与BC所成角的正切值为2.
(2)证明:
由于底面ABCD是矩形,故AD⊥CD,又由于AD⊥PD,CD∩PD=D,因此AD⊥平面PDC,而AD⊂平面ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD.
(3)在平面PDC内,过点P作PE⊥CD交直线CD于点E,连接EB.
由于平面PDC⊥平面ABCD,而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线,故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角.
在△PDC中,由于PD=CD=2,PC=2,可得∠PCD=30°.
在Rt△PEC中,PE=PCsin30°=.
由AD∥BC,AD⊥平面PDC,得BC⊥平面PDC,因此BC⊥PC.
在Rt△PCB中,PB==.
在Rt△PEB中,sin∠PBE==.
所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.
18.[2012·天津卷]已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,n∈,证明Tn-8=an-1bn+1(n∈,n>2).
18.解:
(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d,由条件,得方程组解得
所以an=3n-1,bn=2n,n∈*.
(2)证明:
由
(1)得
Tn=2×2+5×22+8×23+…+(3n-1)×2n,①
2Tn=2×22+5×23+…+(3n-4)×2n+(3n-1)×2n+1.②
由①-②,得
-Tn=2×2+3×22+3×23+…+3×2n-(3n-1)×2n+1
=-(3n-1)×2n+1-2
=-(3n-4)×2n+1-8,
即Tn-8=(3n-4)×2n+1,
而当n>2时,an-1bn+1=(3n-4)×2n+1,
所以,Tn-8=an-1bn+1,n∈,n>2.
19.[2012·天津卷]已知椭圆+=1(a>b>0),点P在椭圆上.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点,若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.
19.解:
(1)因为点P在椭圆上,故+=1,可得=,
于是e2==1-=,
所以椭圆的离心率e=.
(2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx.设点Q的坐标为(x0,y0).
由条件得消去y0并整理得
x=.①
由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2x=a2.整理得,(1+k2)x+2ax0=0.而x0≠0,故x0=,代入①,整理得(1+k2)2=4k2·+4.
由
(1)知=,故(1+k2)2=k2+4,即5k4-22k2-15=0,可得k2=5.
所以直线OQ的斜率k=±.
20.[2012·天津卷]已知函数f(x)=x3+x2-ax-a,x∈,其中a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;
(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.
20.解:
(1)f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).由f′(x)=0,得x1=-1,x2=a>0.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,a)
a
(a,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间是(-1,a).
(2)由
(1)知f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,从而函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点当且仅当
解得0<a<.
所以,a的取值范围是.
(3)a=1时,f(x)=x3-x-1.由
(1)知f(x)在[-3,-1]上单调递增,在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增.
①当t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上单调递增,在[-1,t+3]上单调递减.因此,f(x)在[t,t+3]上的最大值M(t)=f(-1)=-,而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者.由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当t∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3),故m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t).而f(t)在[-3,-2]上单调递增,因此f(t)≤f(-2)=-,所以g(t)在[-3,-2]上的最小值为g(-2)=--=.
②当t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],
且-1,1∈[t,t+3].
下面比较f(-1),f
(1),f(t),f(t+3)的大小.
由f(x)在[-2,-1],[1,2]上单调递增,有
f(-2)≤f(t)≤f(-1).
f
(1)≤f(t+3)≤f
(2).
又由f
(1)=f(-2)=-,f(-1)=f
(2)=-,
从而M(t)=f(-1)=-,m(t)=f
(1)=-,
所以g(t)=M(t)-m(t)=.
综上,函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值为.
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