九上数学 第1讲 11菱形的性质和判定培优.docx
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九上数学第1讲11菱形的性质和判定培优
学大教育2019暑期九上数学课程
第1讲《特殊的平行四边形》培优训练
菱形的性质与评定
第1课时 菱形的概念及其性质
知识点1 菱形的定义及对称性
1、定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、性质:
(1)菱形的四条边都相等。
(2)菱形的对角线互相垂直且平分,并且每一条对角线平分一组对角。
(3)菱形是轴对称图形,也是中心对称图形。
3、判定:
(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
(2)四条边都相等的四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
1.如图1-1-1,在▱ABCD中,若添加下列条件:
①AB=CD;②AB=BC;③∠1=∠2.其中能使▱ABCD成为菱形的有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图1-1-2所示,点C的坐标是(6,0),点A的纵坐标是1,则点B的坐标是( )
A.(3,1)B.(3,-1)C.(1,-3)D.(1,3)
图1-1-2
图1-1-3
3.如图1-1-3,P是菱形ABCD对角线BD上的一点,PE⊥AB于点E,PE=4cm,则点P到BC的距离是________cm.
知识点2 菱形的边的性质
4.如图1-1-4,在菱形ABCD中,∠BAD=120°.已知△ABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是( )
A.25B.20C.15D.10
图1-1-4
图1-1-5
5.如图1-1-5,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,H为AD边的中点.若菱形ABCD的周长为32,则OH的长为________.
6.如图1-1-6,在△ABC中,AB=AC,四边形ADEF是菱形.求证:
BE=CE.
知识点3 菱形的对角线的性质
7.如图1-1-7,在菱形ABCD中,AC=6,BD=8,则菱形ABCD的边长为( )
A.5B.10C.6D.8
8.已知菱形的边长是2cm,一条对角线长是2cm,则另一条对角线长是( )
A.4cmB.2
cmC.
cmD.3cm
图1-1-7
图1-1-8
9.如图1-1-8,在菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,若∠BCO=55°,则∠CBO=________°.
10.如图1-1-9,四边形ABCD是菱形,A(3,0),B(0,4),则点C的坐标为( )
图1-1-9
A.(-5,4)B.(-5,5)C.(-4,4)D.(-4,3)
11.一个菱形的边长为4cm,且有一个内角为60°,则这个菱形的面积是________.
12.如图1-1-10,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,对角线AC,BD相交于点O,点E在AB上,且BE=BO,则∠EOA=________°.
图1-1-10
图1-1-11
13.如图1-1-11,四边形ABCD是菱形,AC=24,BD=10,DH⊥AB于点H,则线段DH的长为________.
14.如图1-1-12所示,已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8,M,N分别是边BC,CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值是________.
15.如图1-1-13,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点,过点O作OE⊥AB,垂足为E.
(1)求∠ABD的度数;
(2)求线段BE的长.
16.如图1-1-14所示,四边形ABCD是菱形,CE⊥AB交AB的延长线于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,请你猜想CE与CF在数量上有什么关系,并证明你的猜想.
图1-1-14
17.如图1-1-15,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.
(1)求证:
BD=CE;
(2)若∠E=50°,求∠BAO的度数.
图1-1-15
第2课时 菱形的判定
知识点1 由菱形的定义作判定
1.如图1-1-16,要使▱ABCD成为菱形,则需添加的一个条件是( )
图1-1-16
A.AC=ADB.BA=BCC.∠ABC=90°D.AC=BD
2.如图1-1-17,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE∥AC,DF∥AB.求证:
四边形AEDF是菱形.
图1-1-17
知识点2 根据菱形的对角线作判定
3.下列命题中,正确的是( )
A.对角线相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
图1-1-18
4.如图1-1-18,在▱ABCD中,AB=13,AC=10,当BD=________时,四边形ABCD是菱形.
5.教材例2变式题如图1-1-19,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=5,AC=6,BD=8.求证:
四边形ABCD是菱形.
图1-1-19
知识点3 根据菱形的边作判定
6.用直尺和圆规作一个菱形,如图1-1-20,能判定四边形ABCD是菱形的依据是( )
图1-1-20
A.一组邻边相等的四边形是菱形B.四边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
7.如图1-1-21,在△ABC中,AB=AC,∠B=60°,∠FAC,∠ECA是△ABC的两个外角,AD平分∠FAC,CD平分∠ECA.
求证:
四边形ABCD是菱形.
图1-1-2
8.如图1-1-22所示,在▱ABCD中,AE,CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线.添加一个条件,仍无法判定四边形AECF为菱形的是( )
A.AE=AF B.EF⊥ACC.∠B=60° D.AC是∠EAF的平分线
图1-1-22
图1-1-23
9.如图1-1-23,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,AC的中点.若四边形ADEF是菱形,则△ABC必须满足的条件是( )
A.AB⊥ACB.AB=ACC.AB=BCD.AC=BC
10.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点,所形成的四边形是________.
图1-1-24
11.如图1-1-24,E,F,G,H分别是任意四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,当四边形ABCD的边满足条件____________时,四边形EFGH是菱形.
12.如图1-1-25,在△ACB中,∠ACB=90°,∠B=60°,作边AC的垂直平分线l交AB于点D,过点C作AB的平行线交l于点E,判断四边形DBCE的形状,并说明理由.
图1-1-25
13.如图1-1-26,在Rt△ABC中,∠B=90°,E是AC的中点,AC=2AB,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC.
求证:
四边形ADCF是菱形.
图1-1-26
14.某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同且含60°角的三角板ABC与三角板AEF按如图1-1-27①所示方式放置,现将三角板AEF绕点A按逆时针方向旋转α(0°<α<90°),如图②,AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交于点P.
(1)求证:
AM=AN;
(2)当旋转角α=30°时,判断四边形ABPF的形状,并说明理由.
图1-1-27
第3课时 菱形的性质与判定的综合应用
知识点1 菱形的面积
1.已知菱形的两条对角线长分别是12和16,则此菱形的面积是( )
A.192B.96C.48D.40
图1-1-28
2.如图1-1-28,菱形ABCD的周长是20,对角线AC,BD相交于点O,若BD=6,则菱形ABCD的面积是( )
A.6 B.12
C.24 D.48
3.如图1-1-29,已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长度之比为3∶4,周长为40cm,求菱形的面积及高.
图1-1-29
知识点2 菱形的性质与判定的应用
4.如图1-1-30,在平行四边形ABCD中,AC平分∠DAB,AB=2,则四边形ABCD的周长为( )
A.4B.6C.8D.12
图1-1-30
图1-1-31
5.如图1-1-31,剪两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起,转动其中一张,重合部分构成一个四边形,则下列结论中不一定成立的是( )
A.∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD
B.AB=BC
C.AB=CD,AD=BC
D.∠DAB+∠BCD=180°
6.如图1-1-32,将等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置,连接AD,BD,则下列结论:
①AD=BC;②BD,AC互相平分;③四边形ACED是菱形;④BD⊥DE.
其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
图1-1-3
图1-1-33
7.如图1-1-33,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为________.
8.如图1-1-34所示,在菱形ABCD中,AE⊥BC,BE=EC,AE=2,则AB=________.
图1-1-3
图1-1-35
9.如图1-1-35,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,且AD交EF于点O,则∠AOF=________°.
10.如图1-1-36,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF.
(1)求证:
四边形BCFE是菱形;
(2)若CE=6,∠BEF=120°,求四边形BCFE的周长.
11.如图1-1-37,四边形ABCD的四边相等,且面积为120cm2,对角线AC=24cm,则四边形ABCD的周长为( )
A.52cm B.40cm
C.39cm D.26cm
12.如图1-1-38,在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形,甲、乙两人的作法如下:
图1-1-38
甲:
连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于点M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形.
乙:
分别作∠A,∠B的平分线AE,BF,分别交BC,AD于点E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.
根据两人的作法可判断( )
A.甲正确,乙错误B.甲错误,乙正确
C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误
图1-1-39
13.如图1-1-39,菱形ABCD的边长为8cm,∠A=60°,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,则四边形BEDF的面积为________cm2.
14.如图1-1-40,在菱形ABCD中,P是AB上的一个动点(不与点A,B重合),连接DP交对角线AC于点E,连接BE.
(1)求证:
∠APD=∠CBE;
(2)试问P点运动到什么位置时,△ADP的面积等于菱形ABCD面积的
,为什么?
图1-1-40
15.2017·贺州如图1-1-41,在四边形ABCD中,AB=AD,BD平分∠ABC,AC⊥BD,垂足为O.
(1)求证:
四边形ABCD是菱形;
(2)若CD=3,BD=2
,求四边形ABCD的面积.
图1-1-41
16.教材“做一做”变式题明明将两张长为8cm,宽为2cm的长方形纸条交叉叠放,如图1-1-42①所示,他发现重叠部分可能是一个菱形.
(1)请你帮助明明证明四边形ABCD是菱形;
(2)明明又发现:
如图②所示,当菱形的一条对角线与长方形纸条的一条对角线重合时,菱形ABCD的周长最大,求此时菱形ABCD的周长.
图1-1-42
菱形的判定练习
判别方法:
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形
(2)四条边都相等的四边形是菱形(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形
基础过关
1.能够判别一个四边形是菱形的条件是()
A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角
2.如图,在ABC中,点E、D、F分别在边AB、BC、CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四个判断中,不正确的是( )
A.四边形AEDF是平行四边形
B.如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形
C.如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形
D.如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形
3.已知一个四边形ABCD的四边的长依次为a、b、c、d,且a2+ab-ac-bc=0,b2+bc-bd-cd=0,那么四边形ABCD是()
A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形
能力提高
4.下列说法:
①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形;②一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形;③两组对角分别相等的四边形是平行四边形;④顺次连结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形.其中正确的是()
A.①②B.①②③C.②③④D.①②③④
5.如图,过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线,分别相交于E、F、G、H四点,则四边形EFGH是()
A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形
6.如图,将一张矩形纸片纸对折,然后沿着图中的虚线剪下,得到①、②两部分,将①展开后得到的平面图形是()
A.三角形B.矩形C.菱形D.梯形
7.如图,□ABCD中,AF、CE分别是∠BAD、∠BCD的平分线.根据现有的图形,请你添加一个条件,使四边形AECF是菱形.则添加一个条件是___________.(只需写出一个即可,图中不能再添加别的“点”或“线”)
8.在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O点,从
(1)AB=CD;
(2)AB∥CD;(3)OA=OC;(4)OB=OD;(5)AC⊥BD;(6)AC平分∠BAD这六个条件中,选取三个推出四边形ABCD是菱形.如
(1)
(2)(5)
四边形ABCD是菱形四边形;再写出符合要求的两个:
四边形ABCD是菱形;
四边形ABCD是菱形.
9.如图,在四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点,
若EFGH是菱形,则四边形ABCD符合____________条件.
10.如图,矩形ABCD对角线相交于O,DE∥AC,CE∥DB,DE、CE交于E.求证:
四边形DOCE是菱形.
11.如图,矩形
中,
是
与
的交点,过
点的直线
与
的延长线分别交于
.
(1)求证:
;
(2)当
与
满足什么关系时,以
为顶点的四边形是菱形?
证明你的结论.
12.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与A重合,点D落到D′处,折痕为EF.
(1)求证:
△ABE≌△AD′F;
(2)连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形?
证明你的结论.
13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD是角平分线,CH是高,交AD于F,DE⊥AB于E.求证:
四边形CDEF是菱形.
14.如图,□ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=
,对角线AC、BD交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC、AD于点E、F.
(1)证明:
当旋转角度是90°时,四边形ABEF是平行四边形;
(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;
(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?
如果不能,请说明理由;如果能,说明理由,并求出此时AC绕O点顺时针旋转的度数.
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