北师大五年级数学上册《多边形的面积》教材分析与教学建议名师.docx

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北师大五年级数学上册《多边形的面积》教材分析与教学建议名师

《多边形的面积》教材分析与教学建议

单元教学目标

1．通过比较图形面积的大小，知道比较面积大小方法的多样性。

2.通过具体情境和实际操作，认识平行四边形、三角形与梯形的底和高，并能画出图形的高。

3．通过动手操作、实验观察等方法，探索平行四边形、三角形与梯形面积的计算方法，并能运用计算的方法解决生活中一些简单的实际问题。

4．在探索图形面积的计算方法中，获得探索问题成功的体验。

 单元编写意图

　根据学生学习的特点，本单元共分为6个情境：

　　在“比较图形的面积”活动中，主要是借助方格纸作为载体，让学生自主地比较各种不同形状图形面积的大小，体验到比较两个图形面积的大小可以有多种方法。

　　在“地毯上的图形面积”中，主要是让学生能在方格纸上数出相关图形的面积。

　　在“动手做”中，主要是通过动手操作，让学生认识并会画出平行四边形、三角形和梯形的高。

　　在“探索活动

（一）”中，通过提出解决公园草坪面积的问题，让学生带着问题自主探索计算平行四边形面积的基本方法，并能运用计算平行四边形面积的方法解决一些实际问题。

　　在“探索活动

（二）”中，为让学生能自主地探索计算三角形面积的方法，教材除呈现了学生需要解决的三角形面积的实际问题外，更重要的是提出了如何把三角形转化为已学图形的要求，这也是学生寻求解决三角形面积计算方法的重要思路。

同样，根据不同学生的认知能力，在学生探索三角形面积的计算方法中，教材呈现了多种不同的计算方法以及面积公式推导的方法，目的是在课堂上让每个学生都能充分地参与到探索活动之中。

　　在“探索活动（三）”中，重点是利用前两个基本图形面积计算公式已学过的相关内容

比较图形的面积教学目标

1．借助方格纸，能直接判断图形面积的大小。

2．通过交流，知道比较图形面积大小的基本方法。

3．体验图形形状的变化与面积大小变化的关系。

教材分析与教学建议

在“观察与比较”栏目中，教材把方格纸作为载体，呈现各种形状的平面图形，并提出“下面各图形的面积有什么关系？

你是怎样知道的？

与同学进行交流”的要求。

安排这一内容的目的是让学生根据自己的经验，能选择不同的图形进行面积大小的比较，并通过图形面积大小的比较，掌握一些比较的方法。

而教材安排的3个卡通人物的提示性对话，仅说明学生在比较面积大小中可能出现的几种方法；最后一行“你还有什么发现？

与同学进行交流。

”就是充分考虑到在课堂上要发挥学生的主观能动性，提出各自独特的比较方法。

教学时，教师可以让学生准备一张方格纸和一些类似于教材中呈现的图形，以便于开展操作活动。

教师提出具体观察与讨论的要求，引导学生进行动手操作，从中发现一些不同的比较面积大小的方法。

然后，组织学生进行交流活动。

在开展交流活动时，重点应让学生说一说自己是怎样比较的，它的依据是什么。

当然，学生选择比较的对象是相对开放的，不要作硬性的规定。

一般能力弱一些的学生，可以选择两个面积大小差异较大的图形进行比较，而能力强一些的学生，则可以选择面积相近的图形进行比较。

学生在叙述图形面积的大小时，教师需要从方法上加以引导。

如有些是通过数方格的方法比较的，教师应把这一方法揭示出来。

这样，在交流活动结束时，学生可以比较清晰地理解面积大小比较的几种方法。

观察与比较

答案：

图①和图③面积相等；图②、图⑤和图⑥面积相等；图⑤和图⑥合起来面积与图⑧面积相等；图①和图③合起来面积与图④、图⑦面积相等；图⑨和图⑩合起来面积与图輥、图輥、图輥面积相等。

练一练

第1题

在指导学生练习时，要重点引导学生

认识对图形的分割和平移，并让学生体会到图形的形状变化，但面积大小不变这样一个事实，为后续学习面积公式的推导与图形的“等积变形”打下基础。

答案：

图③、图④。

第2题

在画面积是12cm2的图形时，首先应

让学生根据自己的理解画图形，然后在组织讨论中引导学生画一些非矩形的图形，如画三角形、平行四边形或者非标准的图形。

第4题

本题是操作性活动，在练习前应让每个学生用硬纸板剪一些类似的图形，以供学生活动之用。

学生在操作时，除了教材呈现的图形外，也可以请学生拼一些不同的图形，通过这些不同的图形，让学生进一步体会到，图形的形状不同，但它们的面积都是相等的。

答案：

图譺、图譻。

地毯上的图形面积教学目标

1．能直接在方格图上，数出相关图形的面积。

2．能利用分割的方法，将较复杂的图形转化为简单的图形，并用较简单的方法计算面积。

3．在解决问题的过程中，体会策略、方法的多样性。

教材分析与教学建议

本课时安排的“地毯上的图形面积”是一种特殊的不规则图形。

在解决“地毯上蓝色部分的面积是多少”这一问题时，教师可以引导学生观察蓝色图形的特点（如这个图形是对称的；这个图形相当于大正方形去掉白色图形），然后探索求蓝色图形面积的方法。

体会解决这个问题的方法的多样性，可以根据提供的方格图，逐一数数，然后得出所求的面积；也可以通过将图形“化整为零”，缩小数数的范围，从而简便地数出面积；还可以采用“大面积减小面积”的方法，求得图形的面积。

当然，重点是后面的两种方法。

为加强这方面的练习，在“练一练”中，安排了多道类似的习题，由于这些图形形状的特殊性，所以学生在数图形时，将会有较大的兴趣。

当然，教学时重点是指导学生如何将图形进行分割，从而让他们体会到解决问题的多样性与简便性

教学时，可以直接出示情境图，并提出要解决的问题。

至于用什么方法来解决，教师不要过早提示。

在学生数面积的过程中，有些学生会提出采用分割的方法。

由于本题是一个轴对称图形，分割相对容易一些，对分割后1/4图形的计算，也可以请学生独立思考。

根据1/4图形的特点，不同学生会有不同的分割方法。

对每一种分割的方法，只要学生说得合理，均应给予肯定。

同样，对于“大面积减小面积”，或者学生自主探索的方法，教师都应该给予鼓励。

对于“练一练”中的面积问题，应重点讨论解决问题的方法。

如有些学生采用分割的方法，那么就应该请他说一说是如何分割的，以及为什么这样分割。

经常进行这方面的训练，会对他们今后形成解决问题的策略思想有较大的帮助。

练一练

第1题

本组的3道题都可采用直接数格子的方法（不满一格的当作半格数），也可以根据图形所围部分的基本图形（左边的图形所围部分是“6×3”,中间的图形所围部分是“5×3”，右边的图形所围部分是“5×3”），先数一数其中的空白部分格子，然后从所围的长方形面积中减去空白部分的面积。

答案：

从左到右依次是12.5cm2，10cm2，6.5cm2。

第2题

本组的每一道题都有多种解法，可以先让学生独立思考，然后再组织学生进行讨论。

左边的图形可以分为9个小三角形，数出其中一个小三角形的面积后，即可知道整个图形的面积共18cm2；或者把整个图形分为3部分，数出每部分的面积后，再乘3。

当然，也可以先求点子图上的总面积，随后减去空白部分的面积。

中间的图形可以直接数，也可以把最上面的一个三角形作为标准，那么第2个三角形分割后有4个这样的三角形，第3个三角形分割后有9个，最下面的正方形有4个，每个都是1cm2，共18cm2。

同样，也可以把图形围起来，然后数出所围图形中的空白部分面积，再从所围图形的面积中减去空白部分的面积。

右边的图形可以根据对称图形的特点，先数出一半的图形，再乘2，共22cm2；也可以数出所围图形中的空白部分，再从所围图形的面积中减去空白部分的面积。

第3题

学生在解答本组的两道题后可以有两个发现：

第

（1）题的4个图形面积分别为1，2，3，4的平方数；第

（2）题与第

（1）题进行比较，第

（2）题的3个图形面积分别是前面一组题的前3个图形面积的一半。

当然，这些发现并不是教师直接提示的，而应让学生自己在观察中发现。

动手做教学目标

1.通过动手操作，认识平行四边形、三角形与梯形的底和高。

2.会用三角板画出平行四边形、三角形与梯形的高。

3.能在方格纸上画出指定底和高的长度的平行四边形、三角形与梯形。

教材分析与教学建议

教材创设了一个“动手做”的情境，“用一块平行四边形的木板，做一个尽可能大的长方形桌面，该从哪里锯开呢？

”由于长方形的四个角都是直角，因此可以从平行四边形的一个顶点到对边画一条垂直线段，沿着直角边锯开，把锯开的三角形拼到另一边去，就是一个最大的长方形。

实际上，只要从平行四边形一边的某一点到对边画垂直线段就可以，教师可以根据本班情况让学生认识到这一点。

教学时，教师可以让学生用附页1中的图1剪一剪，试试看。

通过操作，学生认识到这条直角边就是平行四边形两条平行边之间的垂直线段，也就是平行四边形的高。

平行四边形的底和高，是今后学生学习平行四边形面积计算的基础。

教材中没有给出底和高的概念，主要是想让学生在丰富的操作活动中感受高和底及高和底的对应关系，而不要求学生会用统一的语言去描述这两个概念。

教学时，教师可以结合教具或图形指出，平行四边形高的画法，就是相当于过直线外一点画已知直线的垂线。

并说明从一条边上的任意一点都可以向它的对边画高，同时还可以说明从另一条边上的任意一点也可以向它的对边画高，但把高画在底边延长线上在小学阶段不作要求。

认一认

由平行四边形底和高的认识过渡到认识三角形与梯形的底和高。

对于三角形的底和高，教师要帮助学生理解，三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底；梯形底和高的认识，可以结合图形来进行，直接给出各个部分的名称，重要的是让学生理解梯形两条平行线之间的垂直线段是梯形的高。

教学时，教师可以引导学生用自己的语言描述底和高是如何得到的，使学生体会到底和高的对应关系，但无须让学生背诵高的定义。

试一试

第1题

使学生进一步认识图形的底和高。

第2题

通过图示，指导学生怎样用三角板画高，并鼓励学生用自己的语言叙述画高的过程。

画高时要用虚线画。

练一练

第1题

使学生体会到底和高的对应关系，画出底边上的高，就要从对着底边的顶点到底边作垂直线段。

第2题

画出底边上的高，就要画出与底边相对的两条平行线之间的垂直线段。

第3题

借助方格纸，学生将发现几个三角形的高是相等的。

教师可进一步引导学生体会到，几个三角形的大小虽然不同，但是从顶点到底边的垂直线段是一样长的，因此它们高的长度是相同的。

但此结论不需要学生掌握。

第4题

通过在方格纸上画指定尺寸的图形，学生进一步了解底和高的对应关系，同时体会到底和高的长度决定了图形的大小。

指导学生练习时，先让学生用铅笔在方格纸上画，在实践过程中体会到要先画指定长度的底和高，再画其他的边。

实践活动

通过用七巧板拼平行四边形、三角形和梯形，加深学生对这三种图形的认识，激发学生的学习兴趣，进一步体会七巧板中几个图形之间的联系。

教师应鼓励学生尽可能多地寻找拼法，并进行交流。

探索活动

（一）教学目标

1．通过操作活动，经历推导平行四边形的面积计算公式的过程。

2．能运用平行四边形的面积计算公式计算相关图形的面积并解决一些实际问题。

教材分析与教学建议

教材首先提出：

公园准备在一块平行四边形的空地上铺草坪，如何计算这块空地的面积？

这是学生在学习了长方形、正方形的面积后，提出的如何计算平行四边形面积的问题。

教材这样安排的目的是让学生面对一个新的问题，思考如何去解决。

随后，教材提供了两种提示性的方法：

一种是通过数格子的方法，数出这个平行四边形的面积；一种是通过剪与拼的活动，将平行四边形转化为长方形，然后计算出面积。

最后，教材安排了观察平行四边形与长方形的关系，从中推导出计算平行四边形面积的公式。

根据教材编写的安排，教学时要注意如下几点：

一是通过具体的情境提出计算平行四边形面积的问题。

在三年级时学生已经学习了长方形、正方形面积的计算方法，在复习这些知识时，逐步将问题转到平行四边形的面积上，从而使学生感到学习新知识的必要性，也容易引起他们认知上的冲突。

虽然教材呈现了公园中一块空地铺草坪的问题，这是一个全国大部分地区都适用的问题，但在个别农村地区，学生可能对于铺草坪并不熟悉，所以也可以结合当地的实际情况提出计算平行四边形面积的问题，这样可以使学生感到更为亲切一些。

二是在探索过程中寻找解决问题的方法。

在课前，教师可以布置学生准备一些平行四

边形纸片、方格纸以及剪刀等材料，以便学生在课堂上探索之用。

当问题提出后，教师可以请学生将事先准备的材料拿出来，并提示学生：

“如果把纸片当作草坪，那么如何计算这张纸片的面积呢？

”随后可以直接安排学生进行探索。

可以让学生独立探索，也可以以小组为单位合作探索。

对学生用什么方法探索，教师不要过早地介入暗示，要在学生自主动手并思考的基础上给予必要的指导。

对于探索后的交流与指导，教师可以先安排数格子的方法，再向学生说明数格子的基本要求，以便让学生知道当出现不满1格时，要当作半格数。

学生在介绍剪拼的方法时，要追问学生，是沿着哪一条线剪的？

因为学生在剪拼的过程中可能会出现各种各样的剪法，但无论怎样剪，如果要拼成长方形，那么需要沿着高剪，这是学生必须理解的。

同时，也应追问学生，为什么要把平行四边形转化成长方形？

让他们明白转化的目的。

三是以多种探索方法为基础，归纳计算平行四边形面积的基本方法。

学生在剪拼中，必然会呈现多种剪法，根据学生的多种剪法，教师可以组织学生讨论这些剪法的共同特点，并比较长方形与平行四边形之间的关系，从而推导出计算平行四边形面积的公式。

试一试

答案：

25×16＝400（m2）,10×18＝180（cm2）。

练一练----------------------------------------------

第2题

通过计算每个平行四边形的面积，让学生发现当平行四边形的底与高相同时，其面积也是相同的。

有条件的学校可以制作一个活动教具，通过教具的移动，逐步将平行四边形进行变形，从而使学生能形象地认识“等积变形”。

当然，在学生发现这一特点后，教师可以提供其逆命题让学生进行讨论，即“当两个平行四边形的面积相等时，它们的底与高是否也相等？

”

第3题

答案：

30×25＝750（m2），750×45=33750（元）或30×25×45＝33750（元）。

第4题

答案：

24×30＝720（cm2），60×40＝2400（cm2）。

 探索活动

（二）教学目标

1．在实际情境中，认识计算三角形面积的必要性。

2．在自主探索中，经历推导三角形面积计算公式的过程。

3．能运用三角形的面积公式，计算相关图形的面积，解决实际问题。

教材分析与教学建议

教材先提出解决一张三角形彩纸面积的问题，这是学生面临的新问题。

这样安排是为了让学生感受到学习三角形面积计算的必要性，引起他们探索问题的兴趣。

接着教材提示性地呈现了两种主要的探索方法：

一种是数格子的方法，另一种是图形转化的方法。

在学生的实际探索中，可能还会有其他的不同方法。

最后安排归纳三角形面积的计算公式。

本课时可以类比前一课时进行教学设计，即提出问题—寻找解决问题的方法—归纳基本的计算方法，并以此作为学生思维训练的一个过程，逐步让学生熟悉、形成这一解决问题的思维方法。

教学时可作如下几个方面的思考：

一是呈现解决实际问题的题材。

在复习平行四边形面积计算的知识后，逐步呈现出计算

一张三角形彩纸面积的问题（也可以根据各地的实际情况，呈现其他的题材），并询问学生如何解决这一问题。

二是自主探索解决问题的方法。

由于学生已经有了平行四边形面积计算公式的探索经

验，因此，可以把探索解决问题的方法作为独立思考的活动。

另外，为确保学生顺利开展探索活动，课前也可以让学生准备一些三角形的纸片、方格纸等材料。

对于解决问题的方法，除了数格子的方法外，就是将三角形转化为平行四边形或者长方形。

对此，应充分发挥学生的积极性，不要仅仅局限于教材所呈现的几种方法。

同时，也不要过分强调学生必须把书本中呈现的方法都一一探索出来。

因为学生在探索时有他们自己的想法，应尊重学生的选择，不必强求统一。

三是归纳三角形面积计算的方法。

在学生探索的基础上，教师可以组织学生对探索的方

法进行比较，比较的要点主要是：

不同方法的共同特点；三角形的底、高、面积与平行四边形的底、高、面积的关系；三角形面积计算公式与平行四边形面积计算公式的联系等。

需要注意的是，学生可能会利用平行四边形的图形来探索三角形面积的计算方法，即将平行四边形沿着对角线剪，可以得到两个相同三角形，从而证明三角形面积是原来平行四边形面积的一半。

这也是一种较为简洁的方法，如果学生出现这样的情况，应给予鼓励。

试一试

答案：

3×4÷2＝6（dm2），1.9×6.4÷2＝6.08（m2）。

练一练

第1题

答案：

17.5，9.6，65。

第2题

在学生计算后，可以组织学生进行讨论。

由于学生已经对平行四边形的“等积变形”有所认识，所以，认识三角形的“等积变形”时会相对容易一些。

但教师在组织讨论时，应引导学生思考“为什么它们的面积会相等”的问题，而不要采取一问一答式的“发现”。

第3题

学生在测量三角形的底与对应高时，首先应让学生知道测量的对象应是一组对应的底与

高，而不是盲目地测量。

从理论上分析，学生在测量时可以有三种选择（可能每一种测量中会出现误差）。

其次在测量前应作三角形的高，即确定一条底边后，可以先作这条底边的对应高，然后再测量底与高的长度。

由于测量时可能会有些误差，所以，应允许学生存在一些测量误差，不要过早地认定他们测量不准确，打击学生学习的积极性。

探索活动（三）教学目标

1．在实际情境中，认识计算梯形面积的必要性。

2．在自主探索活动中，经历推导梯形面积公式的过程。

3．能运用梯形面积的计算公式，解决相应的实际问题。

教材分析与教学建议

与前两个探索活动相似，本探索活动也包括3个部分。

第一部分呈现实际情境，感受学习梯形面积计算方法的必要性；第二部分是学生探索梯形面积可能出现的几种情况；第三部分是在探索的基础上，归纳梯形面积的计算公式。

教材之所以用同样的编排方式呈现这三个探索活动，其目的是让学生不仅探索解决问题的结果，而且更要体会这种探索的过程和方法。

如果说，探索活动

（一）是在教师的引导下让学生初步体验探索的过程，那么探索活动

（二）（三）则是希望学生在探索的过程中，不仅巩固这种思维的方法，而且能逐步形成这种思考问题的习惯。

因此，在本活动中，教学的重点仍应放在帮助学生形成思考问题的习惯上。

在学生探索解决梯形面积的问题时，可以让学生开展独立的自主探索，课前让学生准备的梯形纸片的大小也不要求全班统一，这样在后续的归纳中可以让学生进一步体会梯形面积公式的本质特点。

对于探索的具体方法，教材中呈现了3种，估计学生在独立探索中一般会运用第一种方法，而第二、三种方法可能只有部分学生会采用。

教学时应根据学生的实际探索情况灵活处理这几种方法，不要求所有的学生都掌握3种方法。

如果全班只有1种方法，那么也应热情鼓励学生，然后请学生阅读教材，把其他方法作为一种知识了解即可。

试一试

答案：

（4＋8）×3÷2＝18（cm2），（6＋10）×6÷2＝48（dm2。

练一练

第1题

答案：

第2题

在学生计算后，可以组织学生进行讨论。

由于学生已经对平行四边形、三角形的“等积变形”有所认识，所以，认识梯形的“等积变形”会相对容易一些。

但教师在组织讨论时，应引导学生自觉思考“为什么它们的面积会相等”的问题，而不要采用一问一答式的“发现”。

第4题

对于这个问题，可以先放手让学生尝试。

有些学生可能是一层层计算解决；有些学生可能会把这堆圆木的横截面转化成一个长方形来解决；也有些学生可能会运用梯形面积公式解决。

要在学生独立思考的基础上，组织学生认识梯形面积公式的方便性。

答案：

（3＋8）×6÷2＝33（根）。

练习二

第1题

答案：

从上到下依次是48,22.5,20,8.25,22,5.5。

第3题

教学时，教师可以先组织学生利用附页1图2，动手剪一剪，以积累图形变化的经验，然后组织学生交流图形是怎样从平行四边形变成梯形，又从梯形变化到三角形的。

对于第

（2）题，教师先引导学生体会到在图形的变化过程中面积没有发生变化，接着让学生用平行四边形的面积公式去解释梯形、三角形面积公式的合理性。

事实上，平行四边形的面积＝底×高，变化后梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，通过观察图形的变化，可以发现（上底＋下底）÷2就是原平行四边形的底，因此，梯形的面积公式是合理的。

同理，可以解释三角形面积公式的合理性。

第4题

计算草地的面积，常用的方法是大面积减去小面积，即整个平行四边形的面积减去中间长方形的面积。

教学时，教师可以先让学生独立练习，在学生练习的基础上，师生共同讨论解决问题的思路。

可能在讨论中，学生会提出图形的平移问题，即将两块被分割的草坪经平移后，合为一块完整的平行四边形，因此，其计算方法是：

（20－1）×8＝152（m2）。

这一思路比前者的思路要简洁得多，也是学生今后解决相关图形问题的重要思维方法，应帮助学生理解与掌握。

探索为让学生较充分地开展探索，教师事先可以为学生提供一张较大的方格图纸，然后根据题目的条件，逐一画出面积是16cm2的图形，随后再比较每个图形周长的大小，并确定最终符合题意的图形。

因为直接画周长尽可能小的图形，对学生来说是不现实的，他们只有通过列举的方法，才能探索出所需要的图形。