第十讲 弧弦圆心角圆周角.docx

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第十讲弧弦圆心角圆周角

第十讲-弧、弦、圆心角、圆周角．

弧、弦、圆心角、圆周角第十讲

知识点一弧、弦、圆心角的关系、如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做【定义】．

BB'AAA

'O

旋转到∠绕圆心O′将圆心角∠O中，分别作相等的圆心角∠AOB?

和∠A?

′OB?

AOB【探究】如图所示的⊙OB′的位置，你能发现哪些等量关系？

为什么？

A′相等的弦：

；相等的弧：

【探究】在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？

′OO滚动一个圆，使与2OO在⊙O和⊙′中，?

分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′′B′得到如图，，如图1′OA′重合．重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OAAO（OOO（'B

你能发现哪些等量关系？

说一说你的理由？

因此，我们可以得到下面的定理：

【归纳】，所对的弦在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧。

几何语言：

?

所对的在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，也相等．几何语言：

也相等．相等，?

所对的在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的

几何语言：

【辨析】定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？

为什么？

你能举出反例吗？

【拓展】CACD是两条弦．O如图，在⊙中，AB、F______,________1（）如果AB=CD，那么E______,_______CD，那么AB=2（）如果弧弧DO______,_______COD∠，那么（3）如果∠AOB=B4（）如果OFCD,OE与相等吗？

OFABAB=CD,OE⊥，⊥?

?

ABCD与CDABOE=OF5（）如果，那么的大小有什么关系？

与的大小有什么COD呢？

AOB?

关系？

为什么？

∠与∠在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的【归纳】:

。

其余各组量也

2

【应用】

AOC∠AOB=∠BOC=∠ACB=60°，求证∠例、如图，在⊙O中，AB=AC

.

__________方法小结：

圆中证明圆心角相等，可通过证明

°，COD=35的直径，∠=，如图，AB是⊙O=?

?

oCDBCDE例、的度数。

求∠AOE

___________

方法小结：

同圆中，弧相等的关系可转化为ODABC上，例、已知：

如图，在⊙、、、DOBAOCABCD．==．求证：

∠∠

_______方法小结：

同圆中，由弦相等可得_____________,弧之间可进行加或【自我检测】．如果两个圆心角相等，那么（）1．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等A

D．以上说法都不对C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等CD和与CD的关系是（）两条弦AB2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB．AB>2CDC．AB<2CDD．不能确定的关系是（）A.AB=2CDB_

________、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的3，DEAC∥和4、如图，ABDE是⊙O的直径，弦CE=________．若弦BE=3，则弦。

GBA交圆于延长EADA平行四边形ABCD中，以为圆心，AB为半径的圆分别交、BC于、F，、如图所示，5?

?

EGEF=求证：

因此，____________相等，和弧证弧思路导航：

EFGE可通过证明两条弧所对的相等，________

可作辅助线

3

HGOAOCPEFOBPAOB上的一点，⊙与，相交于的角平分线相交于，、已知：

如图，6点，是∠点，与GHEF与试确定线段之间的大小关系，并证明你的结论．

________思路导航：

由角平线线可联想_____________________,因此可添加辅且线

EF和GH相等。

由同圆中_______相等，可得出弦

知识点二、圆周角定理

，他们的视角靠墙的位置C【探究】：

同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的

ACB和∠（∠AOB）有什么关系＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

相同吗？

AEB和E，他们的视角∠ADB和∠丁分别站在其他靠墙的位置【探究】：

如果同学丙、D________________________，并且两边∠ADB和∠AEB的共同特征是，顶点在_______∠ACB,

的角叫做圆周角。

【辨析】识别图形：

判断下列各图中的角是否是圆周角？

【探究】所对的圆心角、BCAB如图，为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是、（３）中∠BAC（２）的度数．圆周角，求出图（１）、

通过计算发现：

∠BAC＝＿＿∠BOC．试证明这个结论

【探究】如图，BC所对的圆心角有多少个？

BC所对的圆周角有多少个？

在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？

你能证明刚才的结论吗？

圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论:

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

[辨析]：

在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？

【小结】：

圆周角定理的前提条件是：

____________________

【应用】

4

例1、图中分别相等的圆周角有________________________________________

例2、如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠OAC=20°，

.∠则的度数是_______AOB

________实现转化。

方法小结：

求圆中的圆周角可利用______所对

ACB=2:

∠∠AOB=2∠BOC．求证O3、如图，OA、OB、OC都是圆的半径,例BAC

∠

与_________________所对的可圆心角的关系，通过个方法小结：

已知两的关系联系已知与未知。

_________

BD与CD的大小有什么关系？

为什么？

O的弦，延长BD到C，使AC=AB，AB例4、如图，是⊙O的直径，BD是⊙

，垂直可结合等腰三角形_________的性质。

方法小结：

直径所对的圆周角是_______BAD=______ACD=42度，则∠O为圆的直径，CD为圆O的弦，∠例5、如图，AB________解题。

方法小结：

圆中出现直径，求圆周角时，可构造直径所对

【自我检测】BCD=__ABD=52°，则∠在⊙ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点CO上，且∠如图，△1、

=______AOB=50弧AC，∠°，则∠ADC的度数AB=2、如图，在⊙O中，弧______的度数为°，则∠A的直径，∠如图，3、BD是⊙OCBD=30都是圆上的点，则∠、EDCOBA44、如图，、是⊙的直径，、

?

2=_______∠1+．5

【经典例题】

于点E，例、如图，四边形ABCD的四个顶点在圆O上，且对角线AC⊥BD,OE⊥BC1AD求证：

OE=2

思路导航：

由倍分关系，联系________________，由OE和BC的位置关系，由垂径定可知点E是BC的____,又由圆的性质知点O为直径的中点，故可作辅助线__________

本题知识点：

______________,_________________,______________

知识点三、圆内接四边形的性质

【定义】如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

例如，图1中，四边形ABCD是⊙O的内接四边形；⊙O是四边形ABCD的外接圆。

圆内接四边形有以下性质：

性质定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。

[应用]

例1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=100°，则∠BCD=______度

例2、如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于

例3、如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为

方法小结：

圆中求角的问题可利用圆内接四边形_______________的性质解题，未出现基本图形时，可构造圆内接边形解题。

例4、如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）

例5、如图，已知AB=AC=AD，，∠BAC=44°，则∠BDC的度数为（）

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的距离5中出现到定点A，方法小结：

弧中点的条件可转化为_____________________,见直径应想到___________例

相等的线段，可构造辅助圆。

F．的外角平分线交⊙O于E，EF⊥AB，垂足为AB[经典例题]如图，△ABC内接于⊙O，且＞AC．∠BAC；

（1）求证：

EB=EC

ACABABAC-+的和2（）分别求式子值BFAF（3）若EF=AC=3，AB=5，求△AEF的面积

[妙题巧解]

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠DAB=60°，BD=6cm，求对角线AC的长．

【自我检测】

1、如图12，四边形ABCD内接于圆，∠DCE=70°，则∠BOD=____．

2、如图，A、B、C在⊙O上，∠OAB=22.5°，则∠ACB=_______

3、如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=62°，则∠CAO=_______

4、已知A，B，C是⊙O上不同的三个点，∠AOB=60°，则∠ACB=_________

5、如图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的=_______

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第5题2第1题第题第3题

如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为弧BC上一点，CE⊥AD6、于E，

求证：

AE=BD+DE．

7、如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．

（1）求证：

AB为⊙C直径．

（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．

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