中垂线练习题图片.docx
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中垂线练习题图片
中垂线练习题图片
一条直线经过线段中点且与该线段垂直,则称该直线为线段的垂直平分线.线段的垂直平分线是一条直线,它是到线段两端距离相等的点的集合.关于这一点需从两个方面去说明,1.定理:
垂直平分线上的点到线段两端距离相等,2.它的逆定理:
到线段两端距离相等的点在线段中垂线上.关于1的证明,利用了全等三角形,而有关2的证明则利用等腰三角形的“三线合一”的性质.本节重点难点在于对“垂直平分线上的点是到线段两端距离相等的点的集合”这句话的两层含义的理解与掌握上.通过本节学习,要能很好的用中垂线解决问题.例1已知△ABC中,AB,BC,CA的中垂线分别为l1,l2,l3.求证l1,l2,l3三线共点.图3.14-1分析可考虑先设l1,l2,交于点O,再设法证明O在l3上,从而达到证l1,l2,l3共点的目的.证设l1,l2交于O,连OA,OB,OC.∵l1为AB中垂线∴OA=OB,同理OB=OC∴OA=OC∴O在AC中垂线上.即O在l3上,∴,l1l2l3共点.注:
该点叫三角形的“外心”,它与三条中线的交点重心,三条高的交点垂心及内角平分线交点内心称为“三角形的四心”例若三角形三边的中垂线的交点在某一边上,则该三角形一定是A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形图3.14-2分析如图3,14-P为中垂线交点,且在AB上,连PC,则PA=PB=PC.∴∠1=∠A∠2=∠B.∠1+∠2=∠A+∠B=∴∠ACB=90°故选C例如图3.14-3,△ABC中∠A=120°AB=AC,AB的中垂线交AB于D,BC于F.则BEBC180?
=90°图3.14-3分析∠A=120°AB=AC∴∠B=∠C=30°又DE为中垂线AE∴EA=EB∠EBA=∠EAB=30°∠EAC=90°∠C=30°∴AE=BE=1BE1EC∴=BC3例如图3.14-4,AD为△ABC的角平分线,AD的中垂线交AB于E,BC延长线于F,求证∠CAF=∠B.图3.14-4分析本题从结论入手较困难,应从EF为AD中垂线这一条件入手,得到FA=FD,即△ADF为等腰三角形,∴∠2+∠3=∠4,而∠4为△ABD的外角,∴∠4=∠B+∠1,再由已知∠1=∠2可得结论∠3=∠B.证∵EF为AD中垂线∴AF=DF∴∠2+∠3=∠4,又∠4=∠1+∠B∴∠2+∠3=∠1+∠B∵∠1=∠2∴∠3=∠B即∠CAF=∠B.例1△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D、E、F分别在AB,AC,BC上,且AD=AE,CD为EF中垂线,求证BF=2AD.图3.14-5分析由已知CD为EF的中垂线,可知△CEF为等腰三角形,∴∠1=∠2.D为∠ACB平分线上一点,可利用角平分线性质,作D⊥BC于G.∠A=90°∴DA⊥AC∴AD=DG,将线段AD转移到线段DG上,又由于∠B=45°∴△BDG为等腰直角三角形∴DG=BG下面只需证明DG=GF,即可.证DG=GF,可考虑证△DGF≌△ADE.证连DE,DF,作DG⊥BC于G.∵DC为EF的中垂线∴DE=DF,CE=CF.DC⊥EF∴∠1=∠2.又∠A=90°∴DA⊥AC,DG⊥BC∴DA=DG.又DG=DF∴Rt△ADE≌Rt△GDF∴GF=AE又AE=AD∴AD=DG=GF.∠A=90°AB=AC∴∠B=45°在△BDG中∠B=45°∠DGB=90°∴∠BDG=45°11∴DG=BG∴DG=BG=GF∴DG=BFAD=BF.2例如图3.14-6,AD为△ABC的高,∠B=2∠C,BD=5,BC=20,求AB.图3.14-6分析本题巧妙地利用中垂线将线段、角进行转移,考虑AD⊥BC,BD<DC.,在DC上取DE=BD,利用中垂线将求AB长转化为求AE的长,再利用∠B=∠1及已知∠B=2∠C,将求AE的长巧妙地转移到求EC的长.解∵BD=BC=20在DC上取DE=BD=5,连AE,∵AD⊥BE,BD=DE∴AD为BE中垂线∴AB=AE∠B=∠1=∠2+∠C=2∠C∴∠C=∠AE=EC∴AB=EC又∵BD=DE=BC=20∴EC=10∴AB=10一、判断1.三角形两边的垂直平分线交点在三角形一边上,则该三角形为等边三角形.2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形内.3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点.4.四边形ABCD中共有一点P,使PA=PB=PC=PD,则∠A+∠C=180°.5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点.6.和线段两端相等的点不一定在线段上.二、选择题1.到三角形三个顶点距离相等的是A.三条中线交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三条中垂线的交点2.线段AB外有两点C,D使CA=CB,DA=DB,∠ADB=80°,∠CAD=10°,则∠ACB=A.90°B.100°C.110°D.120°3.BD为CE的中垂线,A在CB延长线上,∠C=34°,则∠ABE=A.17°B.34°C.68°D.136°4.O为△ABC三边中垂线的交点,则O称为△ABC的A.外心B.内心C.垂心D.重心5.若三角形一边中垂线过另一边中点,则该三角形必为A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形图3.14-76.△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°AC的中垂线交AC于E.交AB于D,则图中60°的角共有A.6个B.5个C.4个D3个三、填空1.△ABC中,AB=AC,P为形内一点,PB=PC,则P在的中垂线上,P还在∠的平分线上.2.△ABC中,AB=AC=14,腰AB的中垂线交AC于D,△BCD周长为4cm,则BC=.3.△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB中垂线交BC于E,则BE=.BC4.正△ABC内一点O到三边距离相等,且OA=OB=OC.则∠BOC=.5.△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O,且OC=BC,则∠A=.6.若PA=PB,DA=DB,则PD是AB的.线段的垂直平分线一、选择题1、如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于的AB的长为半径画孤,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为A、B、14C、1D、202、如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,BE平分∠ABC,ED垂直平分AB于D.若AC=9,则AE的值是A、B、4C、D、43、如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB的长度为A、B、5C、D、34、如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则∠CBE等于----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------A、80°C、60°B、70°D、50°5、如图,直线CP是AB的中垂线且交AB于P,其中AP=2CP.甲、乙两人想在AB上取两点D、E,使得AD=DC=CE=EB,其作法如下:
作∠ACP、∠BCP之角平分线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求;作AC、BC之中垂线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求.对于甲、乙两?
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///fanwen/shuoshuodaquan/”target=“_blank”class=“keylink”>说淖鞣ǎ铝信卸虾握哒罚?
)A、两人都正确C、甲正确,乙错误B、两人都错误D、甲错误,乙正确6、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,则下列结论不正确的是A、AE=BEC、CE=DEB、AC=BED、∠CAE=∠B7、如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在A、△ABC的三条中线的交点B、△ABC三边的中垂线的交点C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高所在直线的交点8、如图,AC=AD,BC=BD,则有----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------A、AB垂直平分CDB、CD垂直平分ABC、AB与CD互相垂直平分D、CD平分∠ACB二、填空题9、如图,在△ABC中,∠B=30°,ED垂直平分BC,ED=3.则CE长为_________.10、如图,△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE=度.11、如图,等腰三角形ABC中,已知AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于D,则∠CBD的度数为_________°.12、如图,在△ABC中,BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为_________.13、如图,在菱形ABCD中,∠ADC=72°,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CP,则∠CPB=_________度.14、如图,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点D,那么∠ADC=度.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15、如图,∠ABC=50°,AD垂直且平分BC于点D,∠ABC的平分线BE交AD于点E,连接EC,则∠AEC的度数是_________度.16、如图,有一腰长为5cm,底边长为4cm的等腰三角形纸片,沿着底边上的中线将纸片剪开,得到两个全等的直角三角形纸片,用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有_________个不同的四边形.17、已知如图,在△ABC中,BC=8,AB的中垂线交BC于D,AC的中垂线交BC与E,则△ADE的周长等于.18、如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,若AC平分∠DAB,且AB=AC,AC=AD,有如下四个结论:
①AC⊥BD;②BC=DE;③∠DBC=∠DAC;④△ABC是正三角形.请写出正确结论的序号_________19、如图,△ABC的周长为19cm,AC的垂直平分线DE交BC于D,E为垂足,AE=3cm,则△ABD的周长为_________cm.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------20、在△ABC中,∠A=50°,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于D,则∠DBC的度数是_________°.三、解答题21、如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足,连接EC.求∠ECD的度数;若CE=5,求BC长.22、如图,在直角△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线AD交BC于D,若DE垂直平分AB,求∠B的度数.23、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:
FC=AD;AB=BC+AD.24、如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.尺规作图:
作线段AB的垂直平分线l;在已作的图形中,若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F,连接BE.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1、如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于的AB的长为半径画孤,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为A、B、1C、1D、20、如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,BE平分∠ABC,ED垂直平分AB于D.若AC=9,则AE的值是A、6B、4C、6D、43、如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB的长度为A、6B、5C、4D、34、如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则∠CBE等于A、80°B、70°C、60°D、50°5、如图,直线CP是AB的中垂线且交AB于P,其中AP=2CP.甲、乙两人想在AB上取两点D、E,使得AD=DC=CE=EB,其作法如下:
作∠ACP、∠BCP之角平分线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求;作AC、BC之中垂线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求.对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确A、两人都正确B、两人都错误C、甲正确,乙错误D、甲错误,乙正确、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,则下列结论不正确的是A、AE=BEB、AC=BEC、CE=DED、∠CAE=∠B7、如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在A、△ABC的三条中线的交点B、△ABC三边的中垂线的交点C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高所在直线的交点8、如图,AC=AD,BC=BD,则有A、AB垂直平分CDB、CD垂直平分ABC、AB与CD互相垂直平分D、CD平分∠ACB二、填空题、如图,在△ABC中,∠B=30°,ED垂直平分BC,ED=3.则CE长为______.10、如图,△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,∠ACB=80°,∠BCE=_____11、如图,等腰三角形ABC中,已知AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于D,则∠CBD的度数为_______12、如图,在△ABC中,BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为_________.13、如图,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点D,那么∠ADC=_________度.14、如图,∠ABC=50°,AD垂直且平分BC于点D,∠ABC的平分线BE交AD于点E,连接EC,则∠AEC的度数是_________度.17、已知如图,在△ABC中,BC=8,AB的中垂线交BC于D,AC的中垂线交BC与E,则△ADE的周长等于_________.18、如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,若AC平分∠DAB,且AB=AC,AC=AD,有如下四个结论:
①AC⊥BD;②BC=DE;③∠DBC=∠DAC;④△ABC是正三角形.请写出正确结论的序号_______19、如图,△ABC的周长为19cm,AC的垂直平分线DE交BC于D,E为垂足,AE=3cm,则△ABD的周长为.20、在△ABC中,∠A=50°,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于D,则∠DBC的度数是°.三、解答题21、如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足,连接EC.求∠ECD的度数;若CE=5,求BC长.22、如图,在直角△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线AD交BC于D,若DE垂直平分AB,求∠B的度数.23、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:
FC=AD;AB=BC+AD.24、如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.尺规作图:
作线段AB的垂直平分线l;在已作的图形中,若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F,连接BE.求证:
EF=2DE.25、如图,已知线段AB,分别以A、B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧相交于点C、Q,连接CQ与AB相交于点D,连接AC,BC.那么:
∠ADC=_________度;当线段AB=4,∠ACB=60°时,∠ACD=30度,△ABC的面积等于.26、如图,在△ABC中,已知BC=7,AC=16,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,求△BEC的周长.
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