专题17 以三角函数为背景的应用题原卷版.docx
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专题17以三角函数为背景的应用题原卷版
专题17以三角函数为背景的应用题
1、【2019年高考江苏卷】如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥
AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路PB、QA.规划要求:
线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不.小.于.圆.O的半径.已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD(C、D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:
百米).
(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;
(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?
并说明理由;
(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:
百米).求当d最小时,P、Q两点间的距离.
2、【2018江苏卷】某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.先规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.
(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围;
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:
3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
3、【2017年江苏卷】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器
Ⅰ的底面对角线AC的长为10
cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容
器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;
(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.
一、解函数应用问题的步骤
(1)审题:
弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
(2)建模:
将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
(3)解模:
求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:
将数学问题还原为实际问题的意义.
以上过程用框图表示如下:
二、在求实际问题中的最大值或最小值时,一般先设自变量、因变量、建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合.用导数求解实际问题中的最大(小)值,如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值点.
对应用题的训练,一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点等方面进行强化,注重培养将文字语言转化为数学语言的能力,强化构建数学模型的几种方法.而江苏高考的应用题往往需结合导数知识解决相应的最值问题,因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求,需熟练掌握.
题型一、有几何或者几何体有关的问题
以几何为载体的应用题常见与圆、扇形等特色的图形,此类问题的关键是把各个线段表示出来,进二列出函数的解析式,与几何体有关的导数问题,常常涉及到表面积与体积的问题,解题关键就是通过引入参数表示表面积或者体积,然后运用导数进行求解。
例1、(江苏省如皋、如东2019-2020学年度第一学期期中考试高三数学)如图,有一块半圆形空地,开发商计划建造一个矩形游泳池ABCD及左右两侧两个大小相同的矩形休息区,其中半圆的圆心为O,半径为
R,矩形BEFG的一边BG在BC上,矩形AHIJ
的一边AH在AD上,点C,D,F,I在圆周上,E,J在直径上,且∠EOF=π,设
6
⎛ππ⎫
∠BOC=θ,θ∈ç,⎪.若每平方米游泳池的造价与休息区造价之比为:
1.
⎝62⎭
(1)记游泳池及休息区的总造价为f(θ),求f(θ)的表达式;
(2)为进行投资预算,当θ为何值时,总造价最大?
并求出总造价的最大值.
例2、(江苏省镇江八校2019_2020学年上学期2020届高三第二次大联考数学试卷)某校要在一条水泥路
边安装路灯,其中灯杆的设计如图所示,AB为地面,CD,CE为路灯灯杆,CD⊥AB,∠DCE=2π,
3
在E处安装路灯,且路灯的照明张角∠MEN=π.已知CD=4m,CE=2m.
3
(1)当M,D重合时,求路灯在路面的照明宽度MN;
(2)求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值.
例3、(江苏省启东市2020届高三上学期期中考试数学试题)如图,某登山队在山脚A处测得山顶B的仰
角为450,沿倾斜角为α(其中tanα=1)的斜坡前进
2
km后到达D处,休息后继续行驶
km到达山
顶B.
(1)求山的高度BE;
(2)现山顶处有一塔CB=
3km.从A到D的登山途中,队员在点P处测得塔的视角为θ(∠CPB=θ).
8
若点P处高度PF=xkm,则x为何值时,视角θ最大?
题型二生产、生活中的利润问题
与利润有关的问题关键是要认真审题,只有在审题的基础上才可以正确列出函数的解析式,要特别注意函数的定义域和单位的统一。
例4、(江苏省淮阴中学2020届高三期初测试).为美化校园,江苏省淮阴中学将一个半圆形的边角地
改造为花园.如图所示,O为圆心,半径为1千米,点A、B、P都在半圆弧上,设∠NOP=∠POA=θ,∠AOB=2θ,
π
且0<θ<.
4
(1)请用θ分别表示线段NA、BM的长度;
(2)若在花园内铺设一条参观线路,由线段NA、AB、BM三部分组成,则当θ取何值时,参观线路最长?
(3)若在花园内的扇.形.ONP和四边形OMBA内种满杜鹃花,则当θ取何值时,杜鹃花的种植总面积最大?
例5、(2017苏北四市期末)如图,已知A,B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处,点C
在A的正西方向1km处,tan∠BAN=3,∠BCN=π.现计划铺设一条电缆连通A,B两镇,有两种铺设方案:
44
①沿线段AB在水下铺设;②在湖岸MN上选一点P,先沿线段AP在地下铺设,再沿线段PB在水下铺设,预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元km、4万元km.
(1)求A,B两镇间的距离;
(2)应该如何铺设,使总铺设费用最低?
1、如图,在南北方向有一条公路,一半径为100m的圆形广场(圆心为O)与此公路所在直线l相切于点
A,点P为北半圆弧(弧APB)上的一点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,计划在∆PAQ内(图中阴影部分)进行绿化,设∆PAQ的面积为S(单位:
m2),
(1)设∠BOP=α(rad),将S表示为α的函数;
(2)确定点P的位置,使绿化面积最大,并求出最大面积.
2、(2019南京、盐城二模)某公园内有一块以O为圆心、半径为20米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活,现提出如下设计方案:
如图,在圆形区域内搭建露天舞台,舞台为扇形OAB区域,其中两个端点A,B分别在圆周上;观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域,其中AP=AB=BQ,∠PAB=∠QBA=120°,且AB,PQ在点O的同侧,为保证视听效果,要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超
0
,
过60米.设∠OAB=α,α∈
.问:
对于任意α,上述设计方案是否均能符合要求?
︵
3、(2019泰州期末)如图,三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上,点Q是弧AB的中点.现欲在线段
OQ上找一处开挖工作坑P(不与点O,Q重合),为小区铺设三条地下电缆管线PO,PA,PB.已知OA=2千
米,∠AOBπAPQ=θrad,地下电缆管线的总长度为y千米.
=.记∠3
(1)将y表示为θ的函数,并写出θ的范围;
(2)请确定工作坑P的位置,使地下电缆管线的总长度最小.
4、(2019常州期末)某公园要设计如图一所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得,如图二中所示多边形ABCDEFGH),整体设计方案要求:
内部井字形的两根水平横轴AF=BE=1.6m,两根竖轴CH=DG=1.2m,记景观窗格的外框(如图二实线部分,轴和边框的粗细忽略不
计)总长度为lm.
(1)若∠ABC=
2π
,且两根横轴之间的距离为
0.6m,求景观窗格的外框总长度;
3
(2)由于预算经费限制,景观窗格的外框总长度不超过5m,当景观窗格的面积(多边形ABCDEFGH的面积)最大时,给出此景观窗格的设计方案中∠ABC的大小与BC的长度.
图一)
图二)
5、(2018苏州期末)如图,B,C分别是海岸线上的两个城市,两城市间由笔直的海滨公路相连,B,C之
间的距离为100km,海岛A在城市B的正东方50km处.从海岛A到城市C,先乘船按北偏西θ角(α<θπ
≤,
2
其中锐角α的正切值为1)航行到海岸公路P处登陆,再换乘汽车到城市C.已知船速为25km/h,车速为75km/h.
2
(1)试建立由A经P到C所用时间关于θ的函数解析式;
(2)试确定登陆点P的位置,使所用时间最少,并说明理由.
6、(2017苏州暑假测试)如图,某城市小区有一个矩形休闲广场,AB=20m,广场的一角是半径为16m的扇形BCE绿化区域,为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松,现决定在广场上安置两排休闲椅,其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN(宽度不计),点M在线段AD上,并且与曲线CE相切;另一排为单人弧形椅沿曲线CN(宽度不计)摆放.已知双人靠背直排椅的造价为2a元/m,单人弧形椅的造价为a元/m,记锐角∠NBE=θ,总造价为W元.
(1)试将W表示为θ的函数W(θ),并写出cosθ的取值范围;
(2)如何选取点M的位置,能使总造价W最小?
7、(2017镇江期末)如图,某公园有三条观光大道AB,BC,AC围成的直角三角形,其中直角边BC=200
m,斜边AB=400m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC大道上嬉戏,所在位置分别记为点D,E,F.
(1)若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走,到大道的另一端时即停,乙比甲迟2分钟出发,当乙出发1分钟后,求此时甲、乙两人之间的距离;
(2)设∠CEF=θ,乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍,且∠DEF=π,请将甲、乙之间的距离
3
y表示为θ的函数,并求甲、乙之间的最小距离.
8、(2019通州、海门、启东期末)如图,某公园内有一块矩形绿地区域ABCD,已知AB=100米,BC=
80米,以AD,BC为直径的两个半圆内种花草,其它区域种植苗木.现决定在绿地区域内修建由直路BN,
MN和弧形路MD三部分组成的观赏道路,其中直路MN与绿地区域边界AB平行,直路为水泥路面,其工程造价为每米2a元,弧形路为鹅卵石路面,其工程造价为每米3a元,修建的总造价为W元,设∠NBC
0<θ
<
=θ.
(1)求W关于θ的函数关系式;
(2)如何修建道路,可使修建的总造价最少?
并求最少总造价.
9、(2018苏锡常镇调研
(一))如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.
2π︵
0<θ<
在OC上有一座观赏亭Q,其中∠AQC=
.计划在BC上再建一座观赏亭P,记∠POB=θ.
3
(1)当θπ
OPQ的大小;
=时,求∠
3
(2)
当∠OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,角θ的正弦值.
10、(2017苏州预测卷)如图1所示为一种魔豆吊灯,图2为该吊灯的框架结构图,由正六棱锥O1-ABCDEF和O2-ABCDEF构成,两个棱锥的侧棱长均相等,且棱锥底面外接圆的直径为1600mm,底面中心为O,通过连接线及吸盘固定在天花板上,使棱锥的底面呈水平状态,下顶点O2与天花板的距离为1300mm,所有的连接线都用特殊的金属条制成,设金属条的总长为y.
(1)设∠O1AO=θ(rad),将y表示成θ的函数关系式,并写出θ的范围;
(2)请你设计θ,当角θ正弦值的大小是多少时,金属条总长y最小.
11、(2017苏北三市三模)某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中
阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m,且AB≥1.设∠EOF=θ,透光区
AD2
域的面积为S.
(1)求S关于θ的函数关系式,并求出定义域;
(2)根据设计要求,透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时,求边AB的长度.
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