运筹学习题N.docx

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运筹学习题N

第一章线性规划习题

1.将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。

1）minZ＝－3x1＋4x2－2x3＋5x4

s.t.

2）maxS＝zx／pk

s.t.

2.分别用单纯法中的大M法和两阶段法求解下述线性规划问题：

minZ＝2x1＋3x2＋x3

s.t.

并指出该问题的解属哪一类解。

3.【表1-6】是某求极大化线性规划问题计算得到单纯形表。

表中无人工变量，a1,a2,a3,d,c1,c2为待定常数。

试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立。

1）表中解为唯一最优解；

2）表中解为最优解，但存在无穷多最优解；

3）该线性规划问题具有无界解；

4）表中解非最优，为对解进行改进，换入变量为x1，换出变量为x6。

表1-6

基

b

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x3

x4

x6

d

2

3

4

－1

a3

a1

－3

－5

1

0

0

0

1

0

a2

－1

－4

0

0

1

c1

c2

0

0

－3

0

4.某饲料厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的饲料甲、乙、丙。

已知各种牌号饲料中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号的饲料的单位加工费及售价如【表1-7】所示。

表1-7

甲

乙

丙

原料成本

（元/千克）

每月限制用量（千克）

A

B

C

≥60%

≤20%

≥15%

≤60%

≤50%

2.00

1.50

1.00

2000

2500

1200

加工费

（元/千克）

0.50

0.40

0.30

售价

3.40

2.85

2.25

问该厂每月应生产这三种牌号饲料各多少千克，使该厂获利最大？

试建立这个问题的的线性规划的数学模型。

5.考虑下列问题

1）建立此问题的对偶问题，然后以观察法求出其最优解。

2）使用主对偶原理及对偶问题的最优解求出原问题的最优解目标函数值。

3）假设原问题中x1的系数为c1（c1可为任意实数）。

当c1为何值时，此对偶问题无可行解？

对这些值而言，原问题的解有什么意义？

6.求下列问题的对偶问题

1）

2）

7.某织带厂生产A、B两种纱线和C、D两种纱带，纱带由专门纱线加工而成。

这四种产品的产值、成本、加工工时等资料列表如下：

表1-8

产品

项目

A

B

C

D

单位产值（元）

168

140

1050

406

单位成本（元）

42

28

350

140

单位纺纱用时（h）

3

2

10

4

单位织带用时（h）

0

0

2

0.5

工厂有供纺纱的总工时7200h，织带的总工时1200h。

1）列出线性规划模型，以便确定产品的数量使总利润最大；

2）如果组织这次生产具有一次性的投入20万元，模型有什么变化？

对模型的解是否有影响？

8.将下列线性规划化为极大化的标准形式

9.用单纯形法解下面的线性规划

10.用两阶段法解下面问题：

11.用大M法解下面问题，并讨论问题的解

12.写出下列线性规划问题的对偶问题

1）

2）

13.写出下问题的对偶问题，解对偶问题，并证明原问题无可行解

14.用对偶单纯形法求下面问题

15.下表是一线性规划最优解的单纯形表

Cj

21

9

4

0

0

0

CB

XB

b

x1

x2

x3

x4

x5

x6

21

x1

4

1

0

1/3

2/3

0

1/3

0

x5

2

0

0

2/3

4/3

1

1/3

9

x2

23

0

1

1/3

1/3

0

2/3

zj

21

9

10

11

0

1

cjzj

0

0

6

11

0

1

原问题为max型，x4，x5为松驰变量，x6为剩余变量，回答下列问题：

1）资源1、2、3的边际值各是多少？

（x4，x5是资源1、2的松驰变量，x6是资源3的剩余变量）

2）求C1,C2和C3的灵敏度范围；

3）求b1，b2的灵敏度范围。

第二章动态规划习题

1.用动态规划求解下题动态规划

2.一个设备由三个元件串联，其可靠性可由每种元件上装得并联得备用元件来改进。

设总投资为10，对第i中（i＝1,2,3）元件配

个并联单件（

＝1,2,3）后得可靠性

与成本

的数据如【表2-1】所示，求在投资范围内得总可靠性达到最高。

表2-1

3.资源分配问题

某工厂共有5单位的资源供给3个车间，由于各车间的设备条件不同，使用资源获得的收益的情况也不同，具体数据如【表2-2】所示，为使工厂获得收益最大，每个车间应分配的资源数为多少？

表2-2

4.设某厂生产A、B两种产品，由于条件限制，这两种产品日产量分别为x1和x2，日生产成本为

；

，两产品的销售单价分别为10元和5元，工时消耗定额均为1小时每件，若每天工作不超过8小时，求产品A、B每天各应生产多少小时才能使总利润最大？

5.用动态规划求解

6.带回收得资源分配问题

某厂新购某种新机床125台。

据估计，该设备5年后将被其他心设备所代替，此机床如在高负荷下工作，年损坏率为1/2，年利润为10万元，如在低负荷下工作，年损坏率为1/5，年利润为6万元。

问应如何安排这些机床的生产，才能使5年内获得的利润最大？

7.用动态规划求解下面非线性规划问题

8.某公司将在一个竞争激烈的市场推出一种新产品。

该公司已经决定分三个阶段进行营销策略。

第一阶段以低价向大家推销，以吸引初买者；第二阶段大举从事广告，以促使初买者以正常价格购买该产品，约于第二阶段末期另一公司将推出一种竞争性新产品，故在第三阶段从事加强性广告策略，以使购买者不转而购买竞争对手的产品。

该公司已经拨出四百万元的预算用于此项活动。

现求如何在这三个阶段分配款项使该产品获得最大的市场占有率。

令m表示第一阶段达成的最初市场占有率，f2、f3分别为第二、三阶段策略对市场占有率的影响，也即求得mf2f3最大。

1）假定该款项以一百万元的整数倍用于每一阶段，【表2-3】表示各阶段的支出效果。

表2-3

2）假定在四百万元预算额度内各阶段支出额可以为任意实数，而在阶段k（k＝1,2,3）支出xk百万元的支出效果为：

9.用动态规划求解下面极大值问题。

10.用动态规划求解下面非线性规划问题。

11.某厂生产一种产品，以后四个月的订单如【表2-4】所示。

合同规定在月底前缴获，生产每批产品的固定成本为3千元，每批生长的产品件数不限。

每件产品的可变成本为1千元，每批产品的最大生产能力是5件。

产品每级每月的存储费为0.5千元。

设1约初又库存产品1件，4月底不再留下产品。

试求在满足需求的前提下，如何组织生产才能使总的成本费用最低。

表2-4

月份

1月

2月

3月

4月

订货量bk（个）

3

3

2

4

12.某公司有9个推销员在全国三个不同市场里推销货物，这三个市场里推销员人数与收益的关系如下表，做出各市场推销人员数的分配方案，使总收益最大。

表2-5

推销员

市场

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

20

32

47

57

66

71

82

90

100

110

2

40

50

60

71

82

93

104

115

125

135

3

50

61

72

84

97

109

120

131

140

150

13.设某工厂要在一台机器上生产两种产品，机器的总运转时间为5小时。

生产这两种产品的任何一件都需占用机器一小时。

设两种产品的售价与产品产量成线性关系，分别为（12-x1）和（13-2x2）。

这里x1和x2分别为两种产品的产量。

假设两种产品的生产费用分别是4x1和3x2，问如何安排两种产品的生产量使该机器在5小时内获利最大。

（要求用连续变量的动态规划方法求解）

第三章匹配问题

判断题

1.任务分配问题效率矩阵的每一个元素都乘上同一个常数k，将不影响最优分配方案。

（）

2.任务分配问题数学模型的形式同运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。

（）

练习题

1.用匈牙利算法求解下述任务分配问题。

1）

2）

3）

4）

2.有四个工人。

要指派他们分别完成四项工作。

每人做各项工作所消耗的时间（h）如下表，问如何分派工作，使总的消耗时间最少？

（以前的习题）

表3-1

工作

工人

A

B

C

D

甲

3

3

5

3

乙

3

2

5

2

丙

1

5

1

6

丁

4

6

4

10

3.学生A，B，C，D的各门成绩如下表，现将此4名学生派去参加各门课的单项竞赛。

据竞赛同时举行，每人只能参加一项。

若以他们的成绩为选派依据，应如何指派最有利？

表3-2

课程

学生

数学

物理

化学

外语

A

89

92

68

81

B

87

88

65

78

C

95

90

85

72

D

75

78

89

96

4.下表给出了使用各台设备完成各种工作的生产费用。

试确定最优的指派方案，使总的生产费用最低。

表3-3

工作

设备

甲

乙

丙

丁

A

25

29

31

42

B

22

19

35

18

C

39

38

26

20

D

34

37

28

40

E

24

42

36

23

5.某设备公司有三台设备可以租给A，B，C和D四项工程使用，各台设备用于各工程创造的利润如下表所示，问怎样分配设备才能使创造的总利润最大？

表3-4

工程

设备

A

B

C

D

M1

4

10

8

5

M2

9

8

2

M3

12

3

7

4

6.已知下列五名运动员各种姿势的游泳成绩（各为50米）如下表所示，试问如何从中选拔一个参加200米混合泳的接力队，使预期比赛成绩为最好。

表3-5

赵

钱

孙

李

周

仰泳

37.7

32.9

33.8

37.0

35.4

蛙泳

43.4

33.1

42.2

34.7

41.8

蝶泳

33.3

28.5

38.9

30.4

33.6

自由泳

29.2

26.4

29.6

28.5

31.1

7.现在有五项任务让甲、乙、丙、丁四个人去完成。

其中一个人要完成两项任务，每人完成各项任务的时间如下表所示。

试确定总的花费时间为最少的分配方案。

表3-6

工作

工人

A

B

C

D

E

甲

25

29

31

42

37

乙

39

38

26

20

33

丙

34

27

28

40

32

丁

24

42

36

23

45

8.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中挑选四个人去完成四项工作。

已知每人完成各项工作的时间如下表所示。

规定每项工作只能有一个人去单独完成，每个人最多承担一项任务。

又假定对甲必须保证分配一项任务，丁因为某种原因决定不同意承担第四项任务，在满足上述条件下，如何分配工作，使完成四项工作的总的花费时间为最少。

表3-7

工人

工作

甲

乙

丙

丁

戊

1

10

2

3

15

9

2

5

10

15

2

4

3

15

5

14

7

15

4

20

15

13

6

8

9.6个人完成4项工作任务，由于个人的技术专长不同，他们完成4项工作任务所获得的收益如下表所示，且规定每人只能做一项工作，一项工作任务只需要1人操作，试求使总收益最大的指派方案？

表3-8

工人

工作

A

B

C

D

E

F

1

3

6

8

10

12

13

2

5

7

9

10

11

12

3

4

6

8

9

10

11

4

5

8

10

11

12

13

10.有四项工作要交给甲、乙、丙、丁四个人去完成，以致每个人完成各项工作的时间如下表所示，问应该怎样指派才能使总的消耗时间为最少。

表3-9

工作

工人

A

B

C

D

甲

15

18

21

24

乙

19

23

22

18

丙

26

17

16

19

丁

19

21

23

17

第四章网络图论

4.1图与网路的基本概念

1.证明：

任何G＝（V,E）图中，所有节点次数之和必然是所有边数的2倍。

2.证明：

任何图G＝（V,E）中，如果图中有奇点必为偶数个。

3.写出下图4-1-1的开链、闭链、初等链、回路各2条。

图4-1-1

4.证明如下序列不可能是某个简单图的次的序列。

1）7,6,3,4,3,2

2）6,5,5,4,3,2,1

4.2树图及最小生成树

1.证明：

若树图T中点的最大次大于等于k，则T中至少有k个悬挂点。

2.分别用广探法和深探法求下图的一颗生成树。

图4-2-1

3.分别用Kruskal算法（避圈法）和Prim算法求下图的最小生成树。

图4-2-4

4.已知9个人v1,v2,…,v9，其中v1与两个人握过手，v2,v3各与4个人握过手，v4,v5,v6,v7各与5个人握过手，v8,v9各与6个人握过手，证明：

9个人中至少有3个人相互握过手。

5.证明：

把网络中的节点划分成两个集合V和V’，两部分节点的连线中最短的边必定在最小树中。

6.已知世界六大城市：

Pe,N,PA,L,T,M，试在由【表4-2-1】所示交通网络的数据中确定最小树。

表4-2-1

Pe

T

PA

M

N

L

Pe

X

13

51

77

68

50

T

13

X

60

70

67

59

PA

51

60

X

57

36

2

M

77

70

57

X

20

55

N

68

67

36

20

X

34

L

50

59

2

55

34

X

7.求下图中v1到所有点的最短路径及其长度。

（要求最短路用双线在图中标出，保留图中的标记值）

图4-2-9

8.将上图看作无向图，写出边权邻接矩阵，用Prim算法求最大生成树，并画出该树图。

4.3最短路问题

1.试述Dijkstra算法的基本思路。

2.在下图4-3-1中，求v1到其他各点的最短路（要过程）。

图4-3-1

3.某软件公司生产4种系统的软件，每种软件的型号、计算速度、需求量及生产一件的可变费用（元/件）如下表所示。

不同规格的软件生产时需调整设备，其固定费用Cd为2000万元。

当某种软件不能满足需求时，可用更新型号的软件替代。

问在满足需求的情况下如何组织生产，使总费用最小。

表4-3-2

软件型号

A

B

C

D

计算速度S（次/秒）

15000

25000

40000

60000

需求量D（万件）

1000

1200

2700

1800

可变费用C（元/件）

4

5

6

10

4.4网路的最大流、最小截集

1.试述什么是截集、截量以及最大流最小截量定理。

2.在下图中，已给出流值为6的f流，试判断它是否为最小费用流？

若不是，求出该流值下的最小费用流。

（图中，弧上所标的三个数值分别为容量、流量和费用）

3.下图给出网络上各弧的容量和已有的流量（cij,fij）

1）确定所有的截集；

2）求最小截集的容量；

3）证明指出的流是最大流。

4.运输公司接到任务需将产地P1，P2两地所产的物质经S1，S2，S3三个中转站运往用户U1，U2两处；公司所获利润与运输总量成正比。

已知P1，P2有物资分别为120吨和240吨，U1，U2各需180吨和200吨，全部交通网络布置与交通干线容量见下图4-4-4，问：

运输公司应如何制定运输方案？

图4-4-4

5.下图中，给出现有流（边旁边的数值分别表示容量和实际流量），试用标号法求出最大流。

图4-4-8

6.求出如图4-4-12所示的网络最小费用最大流，每条弧旁边的数值为（dij,cij）（分别代表费用和容量）。

图4-4-12

7.下述判断正确与否：

可行流f的流量为零，即V（f）＝0，当且仅当f是零流。

8.求下面网络s到t的最大流和最小截，从给定的可行流开始标号法。

（要求每得到一个可行流后，即每次增广之后，重新画一个图，标上增广后的可行流，再进行标号法）

图4-4-17

4.5欧拉回路和中国邮递员问题

1.何为欧拉回路？

2.何为中国邮递员问题？

4.6哈密尔顿回路和旅行售货员问题

1.什么是哈密尔顿回路？

其特点是什么？

4.7选址问题

1.如下图所示网路，节点之间的距离已标在图上，试求网络的中心和一般中心。

图4-7-1

2.如上题网路，试求其网路的中位点和一般中位点。

第五章存储理论

5.1确定性存储模型

1.不允许缺货模型

1.一自动化工厂的组装车间从本厂的配件车间订购零件，估计下一年度的某种零件的需求量为20000单位，车间年存储费为其存储量价值的20%，该零件每单位的价值为20元，所有订货均可及时送货。

一次订货的费用是100元，车间每年的工作日为250天。

1）计算经济订货批量EOQ；

2）每年订货多少次；

3）如果从订货到交货的时间为10个工作日，产出是一致连续的，并设安全存储量为50个单位，求订货点。

2.某厂的自动装配线每年要用480000个某种型号的电子管。

生产该电子管的成本是每个5元，而每开工一次，生产的准备费用为1000元。

估计每年该电子管的保管费用为成本的25%。

若不允许缺货，

1）每次的生产批量应该多大；

2）每年开工几次？

3.某工厂生产中，每年需要某种机器配件5000件，不允许缺货，每件价格为20元，每次订购费用200元，年度存储费用为库存物资资金的10%，试求：

1）经济订购批量及最小平均总费用；

2）如果每次订购费用为10元，每次订购多少为佳，最小平均总费用是多少？

4.某公司有扩充业务的计划，每年需要招聘和培训新的工作人员60名，培训采用办训练班的做法，开班一次需要费用1000元（不论学员多少），每位应聘人员一年的薪金约540元，所以公司不愿意在不需要时招聘并训练这些人员，另一方面，在需要他们时却又不能延误。

这要求事先进行成批训练，在训练期间，虽未正式使用，但仍要支付薪金，问每次应训练几名工作人员才经济？

隔多长时间办一期训练班？

全年费用为多少？

5.一家公司的现金主要以短期存款形式存入银行，其利率为4.2%。

可是，为了支付工资并满足其他现金需要，又必须定期取款。

取一次款的手续费为50元。

如果每天需要现金3000元，那么多长时间取一次款为宜？

6.某电视机厂生产需要集成电路元件，采购此种元件合同规定边入库边出库，但不允许缺货，每天可进库200件，每天生产需要100件，每次采购费用200元，每个元件的库存费用为5元/（件·天），求经济订购批量和最小存储费用。

7.有一个生产和销售图书馆设备的公司，经营一种图书专用书架，基于以往的销售记录和今后市场的预测，估计今年一年的需求量为4900个，由于占有资金的利息以及存储库房及其他人力物力的费用，存储一个书架的一年花费为1000元，这种书架每年的生产能力为9800个，而组织一次生产花费设备调试等生产准备费为500元，为了使成本最低，应如何组织生产？

求出最优生产批量,相应的周期，最少的每年总费用及生产次数。

8.高登公司以每月500件的速度生产电冰箱零件，这些部件以每月100件的速度送到长岭公司，直接和间接成本为每件6.25元，年存储费为总成本的20%，高登公司每次为开工而调整设备的花费为6元。

那么，对高登公司来说，为使其存储系统的总费用最小，最佳的生产批量应为多少，相应的最低总费用是多少，生产周期及最大存储量是多少。

9.某电视机厂自行生产扬声器用以装配本厂生产的电视机，该厂每天生产100部电视机，而扬声器生产车间每天可以生产5000个扬声器。

已知该厂每批电视机装备的生产准备费为5000元，而每个扬声器每天的存储费为0.02元。

试确定该厂扬声器的最佳生产批量、生产时间和电视机的安装周期。

10.某产品每月用量为4件，装配费为每次50元，存储费为每月每件8元，若生产速度为每月10件，不允许缺货，求产品每次最佳生产量及最小费用。

2.允许缺货模型

1.某公司每年需要某种零件10000个，假定定期订购且订购后供货单位能及时供应，每次订购费为25元，每个零件每年的存储费为0.125元。

1）不允许缺货，求最优订购批量及年订购次数；

2）允许缺货，问单位缺货损失费为多少时，一年只需订购3次？

2.市场对某公司产品的总需求量为每年2000件。

已知每件每年的平均存储费用为1.25镑，订购费为10镑/次，，如果库存水平低于40件，每件每年则会发生60镑的缺货损失。

试就该公司的库存策略提出建议。

3.某企业为满足生产的需要，定期向外单位定购一种零件，这种零件的日需求量为800个，每个零件的日存储费用为0.02元，每次的定购费用为620元。

若允许缺货，就应等到货后补足，每个零件缺货后一天的损失费为0.07元。

试确定最佳订货量、最大缺货量、订货周期和单位时间的最低总费用。

若拖后时间为3天，订货点为多少？

4.某电子设备厂对一种元件的需求为每年2000件，订货提前期为零，每次订货费为25元，该元件每件的成本为50元，年存储费为成本的20%。

如果发生供应短缺，可在下批货到达时补上，但缺货损失费为每件每年30元。

求：

1）经济订货批量及全年的总费用；

2）如果不允许发生供应短缺，重新求经济订货批量，并同结果1）进行比较。

5.某物资每月需供应50箱，每次订货费为60元，每月每箱的存储费为40元。

1）若不允许缺货，且一订货就可提货，试问每隔多少时间定购一次，每次应定购多少箱？

2）若一个周期中缺一箱的缺货损失费为40元，缺货不要补。

问每隔多少时间定购一次，每次应定购多少？

6.为了满足生产的需要，某企业定期的向外协单位定购一种零件，这种零件的日需求量为100件，每件每天的存储费用为0.02元，每次的定购费用为100元，协作单位每天的供货能力为200个。

允许缺货，每天的缺货损失费为0.08元。

试求最佳的经济订货批量、最大缺货量、订货周期和单位时间的最低总费用。

3.不允许缺货，批量折扣模型

1.王女士退休后成了家庭主妇，采购、烧饭是她每天的主要任务。

在主食方面，全家人喜食米饭，因此每过一段时间就要去集市购米。

王女士体弱，丈夫和子女工作忙，因此像购米这样的体力活总是请