大学物理上海交通大学下册11章课后习题答案.docx
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大学物理上海交通大学下册11章课后习题答案
习题11
11-1.直角三角形ABC的A点上,有电荷q1
1.8109C,B点上有电荷
q24.8
109C,试求C点的电场强度(设BC
0.04m
,AC
0.03m)。
E1
q1
i,
解:
q1
在C点产生的场强:
4
0rAC2
E2
q2
j
q2在C点产生的场强:
4
0rBC2
,
∴C点的电场强度:
E
E1
E2
2.7
10
4
i
1.8
10
4
j;
j
C点的合场强:
E
E12
E22
3.24104V
i
arctan1.8
m,
33.7
3342'
方向如图:
2.7
。
11-2.用细的塑料棒弯成半径为
50cm的圆环,两端间空隙为2cm,电量为3.12
109C的
正电荷均匀分布在棒上,求圆心处电场强度的大小和方向。
解:
∵棒长为l
2
r
d
3.12m,
O
R
x
q
1.0
10
9
Cm
1
2cm
∴电荷线密度:
l
可利用补偿法,若有一均匀带电闭合线圈,则圆心处的合场强为
0,有一段空隙,则圆
心处场强等于闭合线圈产生电场再减去
d
0.02m
长的带电棒在该点产生的场强,即所求
问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在
O点产生的场强。
解法1:
利用微元积分:
dEOx
1
Rd
cos
4
R2
0
,
EO
cos
d
2sin
2
d
4
0R
4
0R
4
0R2
0.72Vm1
∴
;
解法2:
直接利用点电荷场强公式:
由于d
r,该小段可看成点电荷:
q
d
2.0
1011C,
EO
q
9.010
9
2.0
1011
0.72V
m
1
则圆心处场强:
4
0R2
(0.5)2
。
方向由圆心指向缝隙处。
11-3.将一“无限长”带电细线弯成图示形状,设电荷均匀分布,电荷线密度为,四分之
一圆弧AB的半径为R,试求圆心O点的场强。
解:
以O为坐标原点建立xOy坐标,如图所示。
①对于半无限长导线A在O点的场强:
EAx
4
0R
(cos
2
cos
)
EAy
4
0R
(sin
2
sin
)
x
有:
B
在O点的场强:
②对于半无限长导线
EBx
4
0R
(sin
sin
)
2
EBy
4
0R
(cos
2
cos
)
有:
③对于AB圆弧在O点的场强:
有:
EABx
2
cos
d
(sin
sin
)
4
4
0R
2
0
0R
EABy
2
sin
d
(cos
cos
)
4
4
0
0R
0R
2
EOx
4
0R,
EOy
4
EO
(i
j)
∴总场强:
0R,得:
40R
。
E
E
2
E
2
2
或写成场强:
Ox
Oy
4
0R,方向45。
11-4.一个半径为R的均匀带电半圆形环,均匀地带有电荷,电荷的线密度为
O点的场强E。
dE
dq
dq
解:
电荷元dq产生的场为:
4
0R2
;
根据对称性有:
dEy
0,则:
d
R
Rsin
d
E
dEx
dEsin
0
4
0R
2
2
0R,
方向沿x轴正向。
即:
E
2
0R
i
。
11-5.带电细线弯成半径为R的半圆形,电荷线密度
为
0sin
,式中
0
为一常数,
为半径R与x轴
所成的夹角,如图所示.试求环心
O处的电场强度。
E
y
,求环心处
Y
o
X
dE
dE
dl
0sin
d
40R2
4
0R
解:
如图,
,
dEx
dEcos
dEy
dEsin
考虑到对称性,有:
Ex
0;
E
dEy
dEsin
0sin2
d
0
(1cos2)d
0
4
0R
40R0
2
80R,
∴
0
方向沿y轴负向。
11-6.一半径为R的半球面,均匀地带有电荷,电荷面密度为
,求球心O处的电场强度。
解:
如图,把球面分割成许多球面环带,环带宽为
dl
Rd,所带电荷:
dq2
rdl。
dE
xdq
3
2rxdl
3
利用例
11-3结论,有:
4
0(x2
r2)2
4
0(x2
r2)2
dE
2
Rcos
Rsin
Rd
3
r
x
4
0[(Rsin
)2
(Rcos)2]
2
O
∴
,
E
20
21sin2
d
4
E
40
i
化简计算得:
02
0,∴
。
11-7.图示一厚度为
d的“无限大”均匀带电平板,电荷体密度为
。
求板
内、外的场强分布,并画出场强随坐标
x变化的图线,即E
x图线(设原点
在带电平板的中央平面上,
Ox轴垂直于平板)。
解:
在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面
S1
为高斯面,
x
d
S1EdS2ES
q2xS
E
当
2时,由
,
和
2
d
E
x
0
有:
0
;
x
d
EdS
2E
S
q
2d
S,
d
O
2时,由
2
当
S2
和
d
d
E
2
0
20
有:
。
图像见右。
11-8.在点电荷q的电场中,取一半径为
R的圆形平面(如图所示),
平面到q的距离为d,试计算通过该平面的
E的通量.
解:
通过圆平面的电通量与通过与
A为圆心、AB为半径、圆的平面
为周界的球冠面的电通量相同。
【先推导球冠的面积:
如图,令球面的半径为
r
,有r
d2
R2
,
r
rsin
球冠面一条微元同心圆带面积为:
dS
2
rsin
rd
d
O
x
S
2
rsin
rd
2
r2cos
0
d
∴球冠面的面积:
0
cos
r
2r2(1
d)
r】
r2
q
∵球面面积为:
S球面
4
,通过闭合球面的电通量为:
闭合球面
0,
球冠
S球面
球冠
1
(1d)
q
q(1
d
)
由:
球面
S球冠,∴
2
r
0
20
R2
d2
。
11-9.在半径为R的“无限长”直圆柱体内均匀带电,电荷体密度为
ρ,求圆柱体内、外的
场强分布,并作
E~r关系曲线。
d
2
E
dS
1
qi
解:
由高斯定律
S
内
,考虑以圆柱体轴为中轴,
半径为r,长为l的高斯面。
0S
2
rl
E
r2l
E
r
20;
(1)当r
R时,
0
,有
2
rl
E
R2l
E
R2
E
(2)当r
20r
R时,
0
,则:
;
R
r(r
R)
2
0
2
E
0
R2
o
r
2
(r
R)
R
即:
0r
;
图见右。
11-10.半径为R1和R2(R1
R2)的两无限长同轴圆柱面,单位长度分别带有电量
和
,
试求:
(1)r
R1;
(2)R1
r
R2;(3)r
R2处各点的场强。
EdS
1
qi
S
内
解:
利用高斯定律:
。
0S
(1)r
R1时,高斯面内不包括电荷,所以:
E1
0;
2rlE2
l
E2
(2)R1
r
R2时,利用高斯定律及对称性,有:
20r;
0,则:
(3)r
R2时,利用高斯定律及对称性,有:
2
rlE3
0,则:
E3
0;
E
0
r
R1
E
E
2
r?
R1
r
R2
0r
即:
E
0
r
R2
。
11-11.一球体内均匀分布着电荷体密度为
的正电荷,若保持电荷分布不变,
在该球体中挖去半径为r的一个小球体,球心为O,两球心间距离OO
d,
如图所示。
求:
(1)在球形空腔内,球心
O处的电场强度
E0;
(2)在球体内P点处的电场强度
E,设O、O、P三点在同一直径上,且
OPd。
解:
利用补偿法,可将其看成是带有电荷体密度为
的大球和带有电荷体密度为
的小球
的合成。
(1)以O为圆心,过O点作一个半径为
d的高斯面,根据高斯定理有:
EdS
4d3
E0
d
S1
3
30,方向从O指向O;
0
(2)过P点以O为圆心,作一个半径为d的高斯面。
根据高斯定理有:
EdS
4
d3
EP1
d
S1
0
3
30,方向从O指向P,
过P点以O为圆心,作一个半径为
2d的高斯面。
根据高斯定理有:
EdS
4
r3
EP2
r3
2
S2
0
3
3
0d
,
E
EP
EP
(d
r3
)
30
4d
2
,方向从O指向P。
∴
1
2
11-12.设真空中静电场
E的分布为E
cxi,式中c为常量,求空间电荷的分布。
解:
如图,考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面,
z
EdS
cx0
S
有:
S
S
o
E
dS
1
q
x
x0
由高斯定理:
S
0
S内
,
y
x0
Sdx
(x)
cx0
S
0
(x),有:
设空间电荷的密度为
0
x0
(x)dx
x0
0cdx,可见(x)为常数
∴0
0
0c。
11-13.如图所示,一锥顶角为
的圆台,上下底面半径分别为
R1和R2,在它的侧面上均匀
带电,电荷面密度为
,求顶点O的电势.(以无穷远处为电势零点)
解:
以顶点为原点,沿轴线方向竖直向下为
x轴,在侧面上取环面元,
dl
dx
r
xtan
2,环面圆宽:
cos
如图示,易知,环面圆半径为:
2
dS
2
r
dl2
xtan
dx
2cos
2,
利用带电量为q的圆环在垂直环轴线上x0处电势的表达式:
U环
1
q
dx
4
0
r2
x02
,
dl
dx
cos
2
xtan
r
2
1
2
cos
dU
2
tan
dx
x
4
0
(xta
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