高三数学一轮复习数列练习题.docx
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高三数学一轮复习数列练习题
第6章第4节
一、选择题
1.(文)(2010·重庆理,1)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值为( )
A.2 B.3
C.4 D.8
[答案] A
[解析] a2010=a2007·q3,故q3=8,∴q=2.
(理)(2010·黑龙江哈三中)已知数列{an}满足a1=4,an=4-(n≥2),则a5=( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] a1=4,a2=4-=3,a3=4-=,a4=4-=,a5=4-=.
2.(2010·大庆铁人中学)若“*”表示一种运算,且满足如下关系:
(1)1]N*).
则n*1=( )
A.3n-2B.3n+1
C.3nD.3n-1
[答案] A
[解析] 设n*1=an,于是有a1=1,an+1=3+an,则数列{an}是等差数列,公差d=3,所以n*1=an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2.故选A.
3.(文)(2010·安徽安庆联考)已知等比数列{an}中有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且a7=b7,则b5+b9=( )
A.2B.4
C.8D.16
[答案] C
[解析] ∵a3a11=a72=4a7,∴a7=4,∴b7=a7=4,∴b5+b9=2b7=8.
(理)(2010·昌南模拟)已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f
(1))处的切线的斜率为3,数列()的前n项和为Sn,则S2010的值为( )
A.B.
C.D.
[答案] C
[解析] 0=f′(x)=2x+b,∴0=f′
(1)=2+b=3,∴b=1,
∴f(n)=n2+n,∴==-,
∴Sn=(1-)+(-)+…+(-)=
∴S2010=.
4.(2010·浙江金华十校)已知公差不为0的等差数列{an}满足a1,a3,a4成等比数列,Sn为{an}的前n项和,则的值为( )
A.2B.3
C.D.不存在
[答案] A
[解析] 由条件a32=a1a4,∴(a1+2d)2=a1(a1+3d),∴a1d+4d2=0,
∵d≠0,∴a1=-4d,∴====2.
5.(文)(2010·马鞍山市质检)等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=3(a1+a3+…+a2n-1),a1a2a3=8,则a10等于( )
A.-512B.1024
C.-1024D.512
[答案] D
[解析] ∵{an}为等比数列,a1a2a3=8,∴a23=8,
∴a2=2,
又S2n=a1+a2+…+a2n=3(a1+a3+…+a2n-1),
∴a2+a4+a6+…+a2n=2(a1+a3+a5+…+a2n-1),
∴q=2,∴a10=a2q8=2×28=512.
(理)(2010·长沙模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S10=(1+2x)dx,S20=18,则S30为( )
A.36B.27
C.24D.21
[答案] D
[解析] S10=(1+2x)dx=(x+x2)03=12,又S20=18,且{an}等比数列,∴S10,S20-S10,S30-S20,也成等比数列,即:
12,6,S30-18成等比数列,∴S30-18=3,S30=21,故选D.
6.(2010·东北三校)在圆x2+y2=5x内,过点有n条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列的首项a1,最长弦长为an,若公差d∈,那么n的取值集合为( )
A.{4,5,6}B.{6,7,8,9}
C.{3,4,5}D.{3,4,5,6}
[答案] A
[解析] 圆心到点的距离
d==,圆半径为,
∴a1=2=4,an=5.
∴d==,∵ ∵n∈N*, ∴n=4,5,6.故选A. 7.运行如图的程序框图,则输出的结果是( ) A.2009B.2010 C.D. [答案] D [解析] 如果把第n个a值记作an,第1次运行后得到a2=,第2次运行后得到a3=,……,第n次运行后得到an+1=,则这个程序框图的功能是计算数列{an}的第2010项.将an+1=变形为=+1,故数列{}是首项为1,公差为1的等差数列,故=n,即an=,故输出结果是. 8.(2010·浙江宁波十校)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的n值是8,则S0的值为( ) A.0B.1 C.2D.3 [答案] A [解析] 由题意可知 , ∵n=8,易验证S0=0,故选A. 9.(文)(2010·海淀模拟)数列{an}的前n项和是Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列: ,,,,,,,,,,,…, 若存在正整数k,使Sk<10,Sk+1≥10,则ak=( ) A.B. C.D. [答案] C [解析] S20+1=+++++=+1++2++3=10.5 ∵>0.5, ∴S20<10,S21=10.5>10,即k=20 ∴a20=. (理)(2010·杭州质检)已知在平面直角坐标系中有一个点列: P1(1,2),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1,yn+1)(n∈N*),若点Pn(xn,yn)到点Pn+1(xn+1,yn+1)的变化关系为(n∈N*),则|P2009P2010|等于( ) A.21004B.10052 C.22010D.20102 [答案] A [解析] P1(1,2)→P2(1,3)→P3(2,4)→P4(2,6)→P5(4,8)→P6(4,12)→P7(8,16)→P8(8,24)→P9(16,32)→P10(16,48)→P11(32,64)→P12(32,96)→…. 由此可归纳出: P2n-1(2n-1,2n),p2n(2n-1,3×2n-1), 所以P2009(21004,21005),P2010(21004,3×21004), 所以|P2009P2010|=21004. 10.(文)(2010·广东罗湖区调研)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn.若a2,a10是方程x2+12x-8=0的两个根,那么S11的值为( ) A.44B.-44 C.66D.-66 [答案] D [解析] ∵a2+a10=-12,∴S11====-66. (理)(2010·衡水市模考)已知公比不为1的正项等比数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N*),记f(x)的反函数为y=f-1(x),若f-1(3)+f-1(6)=7,则数列{an}的前6项乘积为( ) A.33B.36 C.63D.183 [答案] D [解析] ∵f(x)的反函数为f-1(x),设f-1(3)=m, f-1(6)=-k,则f(m)=3,f(k)=6,即, ∵{an}为等比数列,m+k=7, ∴a1qm-1=3,a1qk-1=a1q6-m=6, 两式相乘得a12q5=18, ∴{an}的前6项乘积a1a2a3a4a5a6=a16·q15=(a12q5)3=183,故选D. 二、填空题 11.(2010·新乡市模考)设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若对任意自然数n都有=,则+的值为________. [答案] [解析] +=+== ===. 12.(2010·浙江金华十校模考)数列{an}中,Sn是前n项和,若a1=1,3Sn=4Sn-1,则an=________. [答案] [解析] ∵3Sn=4Sn-1,∴=,又S1=a1=1, ∴{Sn}是以S1=1,公比为的等比数列, ∴Sn=n-1, ∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=·n-2, ∴an=. 13.(文)(2010·浙江杭州质检)已知数列{an}满足: a1=1,如果an是自然数,则an+1=an-2,否则an+1=an+3,则a6=________. [答案] 1 [解析] a1=1∈N,∴a2=a1-2=-1,a2=-1∉N,∴a3=a2+3=2; 依次类推有: a4=0,a5=-2,a6=1. [点评] 此题若求a2010=? ,则需研究其周期,你知道其周期是几吗? (理)(2010·山东聊城联考)设集合M={m|m=7n+2n,n∈N*,且m<200},则集合M中所有元素的和为________. [答案] 450 [解析] ∵n=6时,m=7×6+26=106,n=7时,m=7×7+27=177,又28=256, ∴由m<200知,n≤7,n∈N*,故集合M中所有元素之和为S=7×(1+2+…+7)+(21+22+…+27)=450. 14.(文)(2010·上海松江区模考)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.介于1到200之间的所有“神秘数”之和为____. [答案] 2500 [解析] 设正整数x=(2n+2)2-(2n)2=8n+4, 由1≤x≤200及n∈Z知,0≤n≤24, ∴所有这样的神秘数之和为=2500. (理)已知数列{an}满足a1=,且对任意的正整数m、n都有am+n=am·an,若数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=________. [答案] 2- [解析] 令m=1,得an+1=a1·an,即=a1=,可知数列{an}是首项为a1=,公比为q=的等比数列,于是Sn== =2[1-()n]=2-. 三、解答题 15.(2010·山东滨州)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若从数列{an}中依次取出第2项、第4项、第8项,…,第2n项,…,按原来顺序组成一个新数列{bn},记该数列的前n项和为Tn,求Tn的表达式. [解析] (1)依题意得 , 解得, ∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1, 即an=2n+1. (2)由已知得,bn=a2n=2×2n+1=2n+1+1 ∴Tn=b1+b2+…+bn=(22+1)+(23+1)+…+(2n+1+1) =+n=2n+2-4+n. 16.(文)已知{an}是由正数组成的数列,a1=1,点(,an+1)(n∈N*)在函数y=x2+2的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足b1=2,bn+1=bn+2an+1,求bn. [解析] (1)由已知得an+1=an+2, 即an+1-an=2,a1=1 所以数列{an}是以1为首项,公差为2的等差数列. 故an=2n-1. (2)由 (1)知: an=2n-1,从而bn+1-bn=22n+1. ∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =22n-1+22n-3+…+23+2==. (理)(2010·山东潍坊)已知等差数列{an}的首项a1≠0,前n项和为Sn,且S4+a2=2S3;等比数列{bn}满足b1=a2,b2=a4. (1)求证: 数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的项; (2)若a1=2,设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn; (3)在 (2)的条件下,若有f(n)=log3Tn,求f(
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