相似三角形中考题题型类docx.docx
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相似三角形中考题题型类docx
相似三角形
1.如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是(
)
A.AD
BC
B.BC
DF
C.CD
BC
D.CD
AD
DF
CE
CE
AD
EF
BE
EF
AF
A
B
CD
EF
1题
A
2.如图所示,给出下列条件:
D
①B
ACD;
②ADC
ACB;
③AC
AB;
④AC2
ADgAB
B
C
(第2题图)
CD
BC
其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
3.已知△ABC∽△DEF,且AB:
DE=1:
2,则△ABC的面积与△DEF的面积之比为(
)
A.1:
2
B.1:
4
C.2:
1
D.4:
1
4.如图,已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线,则下面四个结论:
(1)DE=1,
(2)△CDE∽△CAB,(3)△CDE的面积与△CAB的面积之比为1:
4.
其中正确的有:
()
A.0个B.1个C.2个D.3个
【参考答案】
1.A
2.C
3.B
4.D
◆考点聚焦
1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质.
2.探索并掌握三角形相似的性质及条件,?
并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题.
3.掌握图形位似的概念,能用位似的性质将一个图形放大或缩小.
4.掌握用坐标表示图形的位置与变换,在给定的坐标系中,?
会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它
的坐标,灵活运用不同方式确定物体的位置.
◆备考兵法
1.证明三角形相似的方法常用的有三个,到底用哪个要根据具体情况而定,要注意基本图形的应用,如“A
型”“X型”“母子型”等.
2.用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题,关键是要先把实际问题转化为数学问题,识别或作出相似三角形,再利用相似三角形的性质求解,并回答实际问题,注意题目的解一定要符合题意.
3.用直角坐标系中的点描述物体的位置,用坐标的方法来研究图形的运动变换,是较为常见的考法,要注意训练.
◆考点链接
一、相似三角形的定义
三边对应成_________,三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形.二、相似三角形的判定方法
1.若DE∥BC(A型和X型)则______________.
2.射影定理:
若CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形)
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD
2
2
2
且AC=________,CD=_______,BC=______.
3.两个角对应相等的两个三角形__________.
4.两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似.
5.三边对应成比例的两个三角形___________.
三、相似三角形的性质
1.
相似三角形的对应边_________,对应角________.
2.
相似三角形的对应边的比叫做
________,一般用k表示.
3.相似三角形的对应角平分线,对应边的________线,对应边上的_______?
线的比等于_______比,周长之比也
等于________比,面积比等于
_________.
◆典例精析
例1(2009
山西太原)甲、乙两盏路灯底部间的距离是
30米,一天晚上,当小华走到距路灯乙底部
5米处时,
发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部.已知小华的身高为
1.5米,那么路灯甲的高为
米.
甲
小华乙
【答案】9.
【解析】本题考查相似的有关知识,相似三角形的应用
.设路灯高为
x米,由相似得
1.5
5,解得x9,所以路灯甲的高为
9米,故填9.
x
30
例2(2008年浙江丽水)如图,在已建立直角坐标系的
4×4正方形方格纸中,△划格点三角形(三角形的三个
顶点都是小正方形的顶点),若以格点
P,A,B为顶点的三角形与△
ABC相似(全等除外),则格点
P的坐标是
_______.
【答案】P1(1,4),P2(3,4).
点拨:
这种题常见的错误是漏解,平时要多加强这方面的训练,以培养思维的严密性.
拓展变式在Rt△ABC中,斜边AC上有一动点D(不与点A,C重合),过D点作直线截△ABC,使截得的三
角形与△ABC相似,则满足这样条件的直线共有______条.
【答案】3
例3如图,已知平行四边形ABCD中,E是AB边的中点,DE交AC于点F,AC,DE把平行四边形ABCD分成的四
部分的面积分别为S1,S2,S3,S4.下面结论:
①只有一对相似三角形;②EF:
ED=1:
2;③S1:
S2:
S3:
S4=1:
2:
4:
5.其中正确的结论是()
A.①③B.③C.①D.①②
【答案】B
【解析】∵AB∥DC,∴△AEF?
∽△CDF,?
但本题还有一对相似三角形是△ABC?
≌△CDA(全等是相似的特
例).
∴①是错的.
∵AE
EF
1
,∴②EF:
ED=1:
2是错的.
CD
DF
2
∴S△AEF:
S△CDF=1:
4,S△AEF:
S△ADF=1:
2.
∴S1:
S2:
S3:
S4=1:
2:
4:
5,③正确.
点拨①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比;(共底三角形的面积之比等于高之比)②和全等三角形一样,中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形(如等边三角形、等腰直角
三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形)中,在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段
和平行线,注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形.
拓展变式点E是YABCD的边BC延长线上的一点,AE与CD相交于点G,
则图中相似三角形共有()
A.2对B.3对C.4对D.5对
【答案】C
◆迎考精练
一、选择题
1.(2009年江苏省)如图,在55方格纸中,将图①中的三角形甲平移到图②
中所示的位置,与三角形乙拼成一个矩形,那么,下面的平移方法中,正确的是()
A.先向下平移
3格,再向右平移
1格
B.先向下平移
2格,再向右平移
1格
C.先向下平移
2格,再向右平移
2格
D.先向下平移
3格,再向右平移
2格
2.(2009年浙江杭州)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是
3和4及x,那么x的值()
A.只有1个B.可以有2个
C.有2个以上但有限D.有无数个
3.(2009年浙江宁波)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,M、N分别是边AB、AD的中点,连接OM、
ON、MN,则下列叙述正确的是(
)
A
A.△AOM和△AON都是等边三角形
M
N
B
D
B.四边形MBON和四边形MODN都是菱形
O
C.四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
C
D.四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形
4.(2009年浙江义乌)在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。
已知这本书的
长为20cm,则它的宽约为()
5.(2009年湖南娄底)小明在一次军事夏令营活动中,进行打靶训练,在用枪瞄准目标点B时,要使眼睛O、准
星A、目标B在同一条直线上,如图所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A′,若OA=0.2米,
OB=40米,AA′=0.0015米,则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为
()
A.3米B.0.3米C.0.03米D.0.2米
6.(2009年甘肃白银)如图,小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗
杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m,则旗杆的高为()
A.12mB.10mC.8mD.7m
7.(2009年天津市)在△ABC和△DEF中,AB2DE,AC2DF,AD,如果△ABC的周长
是16,面积是12,那么△DEF的周长、面积依次为()
A.8,3B.8,6C.4,3D.4,6
二、填空题
1.(2009年山东滨州)在平面直角坐标系中,△ABC顶点A的坐标为(2,3),若以原点O为位似中心,画△ABC
的位似图形△ABC,使△ABC与△ABC的相似比等于
1,则点A的坐标为
.
Rt△ABC
2
EF∥BD,AB
E,AC
G,
2.(2009年黑龙江牡丹江
)如图,
中,
ACB90°,
于点
于点
直线
交
交
交
AD于点F,若S△AEG
1S四边形EBCG,则CF
.
3
AD
A
EF
G
B
D
C
第2题
3.(2009年湖北孝感)如图,点
M是△ABC内一点,过点
M分别作直线平行于△
ABC的各边,所形成的三个小三
角形△
1、△
2、△3(图中阴影部分)的面积分别是
4,9和
49.则△ABC的面积是
.
4.(2009年山东日照)将三角形纸片(△
ABC)按如图所示的方式折叠,使点
B落在边
AC上,记为点
B′,折痕
为EF.已知
AB=AC=3,BC=4,若以点
B′,F,C为顶点的三角形与△
ABC相似,那么
BF的长度是
.
A
E
B′
B
F
C
(第4题图)
5.(2009年福建莆田)如图,
A、B两处被池塘隔开,为了测量
A、B两处的距离,在
AB外选一适当的点
C,连接AC、BC,并分别取线段AC、BC的中点E、F,测得EF=20m,则AB
=__________m.
A
E
C
F
B
第5题图
三、解答题
1.(2009年湖南郴州)如图,在
DABC中,已知DE∥BC,AD=4,DB=8,DE=3,
A
(1)求AD的值,
(2)求BC的长
AB
D
E
2.(2009年湖南常德)如图,△ABC内接于⊙O,AD是△ABC的边BC上的高,AE是⊙O的直径,连接BE,△ABE
与△ADC相似吗?
请证明你的结论.
BC
3.(2009年湖北武汉)如图1,在
Rt△ABC
中,
BAC90°AD⊥BC
于点
D
,点
O
是
AC
边上一点,
,
连接BO交AD于F,OE⊥OB交BC边于点E.
(1)求证:
△ABF∽△COE;
(2)当O为AC边中点,
AC
2时,如图2,求OF
AB
OE
(3)当O为AC边中点,
AC
n时,请直接写出
OF
AB
OE
的值;
的值.
B
B
D
D
F
F
E
E
A
C
A
O
C
O
图1
图2
4.(2009年安徽)如图,M为线段AB的中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=α,且DM交AC于F,ME
交BC于G.
(1)写出图中三对相似三角形,并证明其中的一对;
(2)连结FG,如果α=45°,AB=42,AF=3,求FG的长.
5.(2009A年吉林M省)如图B,⊙O中,弦AB、CD相交于AB的中点E,连接AD并延长至点F,使DFAD,
连接BC、BF.
FG
A
C
D
D
O第4题图E
E
C
B
F
第5题图
(1)求证:
△CBE∽△AFB;
(2)当BE
5
时,求CB的值
FB
8
AD
6.(2009年广东梅州
)如图,梯形
ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.
(1)求证:
△CDF∽△BGF;
(2)当点F是BC的中点时,过
F作EF∥CD交AD于点E,若AB
6cm,EF
4cm,求CD的长.
【参考答案】
D
C
选择题
E
F
1.D
A
B
G
6
题
2.B
3.C
4.A
5.B
6.A
7.A
填空题
1.(4,6)
2.
1
2
3.144
4.12或2;
7
5.40
解答题
1.解:
(1)∵AD=4,DB=8
∴AB=AD+DB=4+8=12
∴AD=4=1
AB123
(2)∵DE∥BC,所以△ADE∽△ABC
∴DE=ADBCAB
∵DE=3
∴3=1BC3
∴BC=9
1.△ABE与△ADC相似.理由如下:
在△ABE与△ADC中
∵
AE
是⊙
O
的直径,∴∠
=90o,
ABE
∵AD是△ABC的边BC上的高,∴∠ADC=90o,∴∠ABE=∠ADC.
又∵同弧所对的圆周角相等,∴∠BEA=∠DCA.
∴△ABE~△ADC.
3.
解:
(
1)
QAD⊥BC
,
DAC
C90°
.
Q
BAC
90°,
BAF
C.
QOE⊥OB,BOACOE90°
,
Q
BOA
ABF
90°
ABF
COE
.
,
△ABF∽△COE;
G
B
D
F
E
A
O
C
(2)解法一:
作
OG⊥AC,交AD的延长线于G.
QAC
2AB,O是AC边的中点,ABOCOA.
由
(1)有△ABF∽△COE,△ABF≌△COE,
BF
OE.
QBAD
DAC
90°,
DAB
ABD
90°,DACABD,
又
BAC
AOG
90°AB
OA
.
,
△ABC≌△OAG,OG
AC
2AB.
QOG⊥OA,
AB∥OG,
△ABF∽△GOF,
OF
OG
,
OF
OF
OG
BF
AB
OE
BF
2.
AB
B
D
F
E
A
O
C
解法二:
Q
BAC
90°,AC
2AB,AD⊥BC于D,
Rt△BAD∽Rt△BCA.
AD
AC
2
.
BD
AB
设
AB
,则AC
2,BC
5,BO
2,
1
AD
2
5,BD
1AD
1
5.
5
2
5
QBDFBOE90°,△BDF∽△BOE,
BDBO
.
DFOE
1
5
2
由
(1)知BF
OE,设OE
BF
x,
5
x10DF.
,
DF
x
在△DFB中x2
1
1
x2,
x
2
.
5
10
3
2
4
OF
4
2
OFOB
BF
2
3
2
.
3
2
2.
2
3
OE
2
3
(3)OF
n.
OE
4.
(1)证:
△
∽△
,△
∽△
,△
∽△
(写出两对即可)以下证明△
∽△
.
AMF
BGM
DMG
DBM
EMF
EAM
AMF
BGM
∵∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG,∠A=∠B
∴△AMF∽△BGM.
(2)解:
当α=45°时,可得AC⊥BC且AC=BC
∵M为AB的中点,∴AM=BM=22
又∵AMF∽△BGM,∴AF
BM
AM
BG
∴BG
AMgBM
22
2
2
8
AF
3
3
又AC
BC
42cos45o
4,∴CG
4
8
4
,CF431
3
3
∴FG
CF2
CG2
12
(4)2
5
33
5.
(1)证明:
QAEEB,ADDF,
ED是△ABF的中位线,
又CA,
(2)解:
由
(1)知,
又AF2AD,CB5
.
AD4
6.
(1)证明:
∵梯形ABCD,AB∥CD,
∴CDFFGB,DCFGBF,
∴△CDF∽△BGF.
(2)由
(1)△CDF∽△BGF,
又F是BC的中点,BFFC
∴△CDF≌△BGF,
∴DFFG,CDBG,
又∵EF∥CD,AB∥CD
∴EF∥AG,得2EFBGABBG.
∴BG2EFAB2462,
∴CDBG2cm.
DC
EF
AG
B
6题图
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