八年级数学一次函数知识点总结.docx
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八年级数学一次函数知识点总结
新新教育1
一次函数知识点总结
一、函数
1.变量的定义:
在某一变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量。
注:
变量还分为自变量和因变量。
2.常量的定义:
在某一变化过程中,有些量的数值始终不变,我们称它们为常量。
3.函数的定义:
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x?
的每一个确定的值,
y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数,y的值称为函数值.
4.函数的三种表示法:
(1)表达式法(解析式法);
(2)列表法;(3)图象法.a、用数学式子表示函数的方法叫做表达式法(解析式法)。
b、由一个函数的表达式,列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。
c、把这些对应值(有序的)看成点坐标,在坐标平面内描点,进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。
5.求函数的自变量取值范围的方法.
(1)要使函数的表达式有意义:
a、整式(多项式和单项式)时为全体实数;b、分式时,让分母≠0;c、含二次根号时,让被开方数≠0。
(2)对实际问题中的函数关系,要使实际问题有意义。
注意可能含有隐含非负或大于0的条件。
6.求函数值方法:
把所给自变量的值代入函数表达式中,就可以求出相应的函数值.
7.描点法画函数图象的一般步骤如下:
Step1:
列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
Step2:
描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);
Step3:
连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来).
8.判断y是不是x的函数的题型
A、给出解析式让你判断:
可给x值来求y的值,若y的值唯一确定,则y是x的函数;否则不是。
B、给出图像让你判断:
过x轴做垂线,垂线与图像交点多余一个(≥2)时,y不是x的函数;否则y是x的函数。
二、正比例函数
1.正比例函数的定义:
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,?
其中k叫做比例系数。
注意点a、自变量x的次数是一次幂,且只含有x的一次项;b、比例系数k≠0;c、不含有常数项,只有x一次幂的单项而已。
2.正比例函数图像:
一般地,正比例函数的y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线,?
我们称它为直线y=kx.
当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限(正奇),从左向右上升,即随着x的增大y也增大。
当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限(负偶),从左向右下降,即随着x的增大y反而减小。
k>0,撇一三象限
YY
从左到右上升
Y随x的增大而增大
K<0,捺二四象限X
从左到右下降
X
Y随x的增大而减小
1
新新教育2
画正比例函数的最简单方法:
(1)先选取两点,通常选出(0,0)与点(1,k);
(2)在坐标平面内描出点(0,0)与点(1,k);(3)过点(0,0)与点(1,k)做一条直线.
这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象。
三、一次函数
1.一次函数的定义:
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数,当b=0时,
y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注意点a、自变量x的次数是一次幂,且只含有x的一次项;b、比例系数k≠0;c、常数项可有可无。
2.一次函数y=kx+b的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移│b│个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).
3.系数k的意义:
k表征直线的倾斜程度,k值相同的直线相互平行,k不同的直线相交。
系数b的意义:
b是直线与y轴交点的纵坐标。
当k>0时,直线y=kx+b从左向右上升,即随着x的增大y也增大。
当k<0时,直线y=kx+b从左向右下降,即随着x的增大y反而减小。
直线y=kx+b与y轴的交点是点(0,b)
与x轴的交点是点(-b,0)
k
4.一次函数图像和解析式的系数之间的关系
k>0,撇
k>0,撇
b>0,与y轴交点在x轴上方
b<0,与y轴交点在x轴下方
一二三象限
一三四象限
从左到右上升
从左到右上升
Y随x的增大而增大
Y随x的增大而增大
K<0,捺
K<0,捺
b<0,与y轴交点在x轴下方
b>0,与y轴交点在x轴上方
二三四象限
一二四象限
从左到右下降
从左到右下降
Y随x的增大而减小
Y随x的增大而减小
5.画一次函数图像的最简单方法:
(1)先选取两点,通常选出点(0,b)与点(-b,0);
k
(2)在坐标平面内描出点(0,0)与点(1,k);
b
k
这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象.
2
新新教育3
6.待定系数法确定一次函数解析式:
根据已知的自变量与函数的对应值,或函数图像直线上的点坐标。
步骤:
a、写出函数解析式的一般形式,其中包括未知的系数(需要确定这些系数,?
因此叫做待定系数).
b、把自变量与函数的对应值(可能是以函数图象上点的坐标的形式给出)即x、y的值代入函数解析式中,得到关于待定系数的方程或方程组.(有几个待定系数,就要有几个方程)
c、解方程或方程组,求出待定系数的值,从而写出所求函数的解析式.
7.解析式与图像上点相互求解的题型
○1求解析式:
解析式未知,但知道直线上两个点坐标,将点坐标看作x、y值代入解析式组成含有k、
b两个未知数的方程组,求出k、b的值在带回解析式中就求出解析式了。
2求直线上点坐标:
解析式已知,但点坐标只知道横纵坐标中得一个,将其代入解析式求出令一个坐○
标值即可。
四、一次函数与一元一次方程
由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)?
的形式,所以解一元一次方程可以转化为:
当某个一次函数的值y=0时,?
求相应的自变量x的值,从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x?
轴交点的横坐标的值.
五、一次函数与一元一次不等式
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看出:
当一次函数值y大(小)于0时,求自变量x相应的取值范围.
用一次函数图象来解首先找到直线中满足y>(<)0的部分,然后判断这部分线的x的取值范围。
六、一次函数与二元一次方程(组)
1.
解二元一次方程组
3x
5y
8可以看作求两个一次函数
y=-3x+8
与y=2x-1
图象的交点坐标。
2x
y
1
55
2.
求两条直线的交点的方法:
将两条直线的解析式组成方程组,求解方程组的
x、y的值即为两直线
交点坐标。
3
新新教育4
一次函数测试题姓名
(满分100分)
一、填空题(每题
2分,共20分)
1、在同一直角坐标系中,对于函数:
①
y=–x
–1;②y=x+1;③y=–x+1;④y=–2(x+1)的图象,
下列说法正确的是(
)
A、通过点(–
1,0)的是①和③
B、交点在y轴上的是②和④
C、相互平行的是①和③
D、关于x轴对称的是②和③
2x
1
1,则a的值为(
)
2、已知函数y=
,当x=a时的函数值为
x
2
A.3
B.-1
C.-3
D.1
3、函数y=kx的图象经过点P(3,-1),则k的值为(
)
A.3
B.-3
C.
D.-
4、下列函数中,图象经过原点的为()
A.y=5x+1B.y=-5x-1
x
x1
C.y=—
D.y=
5
5
5、5、点A(–5,y1)和B(–2,y2
)都在直线y=–
1
x上,则y1与y2的关系是(
)
A、、
1≤y2
、
1=y2
、1<y2
2
1>y2
D、y
y
By
C
y
6、函数y=k(x
–k)(k<0)的图象不经过(
)
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
4
4x
2
y=
4
)
7、要从y=
x的图像得到直线y=
,就要把直线
x(
3
3
3
(A)向上平移2
个单位
(B)向下平移
2
个单位
3
3
(C)向上平移
2个单位
(D)向下平移
2个单位
8、一水池蓄水
20m3,打开阀门后每小时流出
5m3,放水后池内剩下的水的立方数
Q(m3)与放水
时间t(时)的函数关系用图表示为(
)
9、已知一次函数
y=kx+b,
y随着
x的增大而减小
且
kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是
(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
新新教育5
10.星期天晚饭后,小红从家里出发去散步,图描述了她散步过程中离家s(米)与散步所用的时间t(分)之间的函
数关系.依据图象,下面描述符合小红散步情景的是()
(A)从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,就回家了(B)从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了.
(C)从家出发,到了一个公共阅报栏
看了一会报后,
(米)
S
继续向前走了一会,然后回家了.
(D)从家出发,散了一会步,就找同学去了,18分钟后
才开始返回.
18(t分)
二、填空题(每题2分,共12分)t
1.函数y5x2自变量x的取值范围是_______________.
2.若函数y=-2xm+2+n-2正比例函数,则m的值是,n的值为________.
3.若直线y=kx+b平行于直线y=5x+3,且过点(2,-1),则k=______,b=______.
4.如右图:
一次函数ykxb的图象经过A、B两点,则△AOC
的面积为___________.
5.根据下图所示的程序计算函数值,若输入的x值为
3,
2
y
6A
3B
C
O
3x
则输出的结果为.
6.观察下列各正方形图案,每条边上有n(n>2)个圆点,每个图案中圆点的总数是S.
n=2n=3n=4
S=4S=8S=12
按此规律推断出S与n的关系式为.
二、解答题(共68分)
5
新新教育6
17.(4分)已知一个一次函数,当x3时,y2;当x2时,y3,求这个一次函数的解析式已知,
直线ykxb经过点A(3,8)和B(6,4).求:
(1)k和b的值;
(2)当x3时,y的值.
19.(6分)已知y2与x成正比,且当x1时,y6.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若点(a,2)在这个函数图象上,求a.
y2x2
20.(6分)利用图象解方程组
xy5
21.(6分)已知函数y(2m1)xm3,
(1)若函数图象经过原点,求m的值;
(2)若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,求m的取值范围.
6
新新教育7
22.(6分)作出函数y2x4的图象,并根据图象回答下列问题:
(1)当-2≤x≤4时,求函数y的取值范围;
(2)当x取什么值时,y<0,y=0,y>0?
(3)当x取何值时,-4 23.(10分)图中折线ABC表示从甲地向乙地打长途电话时所需付的电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间 的关系图像. y C (1)从图像知,通话2分钟需付的电话费是 元. 5.4 (2)当t≥3时求出该图像的解析式(写出求解过程) . A B 2.4 (3)通话7分钟需付的电话费是多少元? O t 35 24.(10分)某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价 x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下 表: 若日销售量y是销售价x的一次函数. (1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式; (2)求销售价定为30元时,每日的销售利润. x( 1 2 2 ⋯ 元) 5 0 5 y( 2 2 1 ⋯ 件) 5 0 5 7 新新教育8 25.(12分)某公司在A、B两地分别有库存机器16台和12台,现要运往甲、乙两地,其中甲地15台,乙地 13台.从A地运一台到甲地的运费为500元,到乙地为400元;从B地运一台到甲地的运费为300元, 到乙地为600元. (1)设从A地运往甲地机器x台,求总费用y与x之间的函数关系式。 (2)公司应设计怎样的调运方案,能使这些机器的总运费最省? 8
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