《线性代数理》综合复习资料doc.docx
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《线性代数(理)》综合复习资料
填空题
ax1入C]
2冏b、cx+勺
1、已知行列式
a2b2c2
=4,则
2a2b2c2+b2
a3b3c3
2a3伙c3+h3
(11、
2、2阶方阵力=的逆矩阵为A"二
匕3丿
<0>
々)、
0
&2=
2
0
则Q=
1
9
1
用线性表示的表达式
4、行列式D=
5=2,
/表示B的转置,贝卜
Q2
6、已知4=03
J°
0、
2,齐次方程组Ar=0有非零解,贝畀=
atb、c}
4舛2$-qC]
7、若
a2b2c2
—1,则
4a22b2一c2c2
a3”3C3
4曲2b3—c3C3
5
兀-1
0x
行列式
00
ab
0
-1
X
c
0
的第4行第3列元素C的代数余子式
-1
43
9、若徐冬是线性方程组Ax=b的两个解,则A(5+$2)=
alb\
q
2a{2b{2q
10、设
a2b2
C2
=a,则
2a22b22c2
a3/?
3
2禺2优2c3
%
11、设a2
a.
*b2$
b、
b2
2a
1
1
1
<1
0
-n
/、
12、齐次方程组
0
1
i
兀2
0 o丿 a3 为 0的通解(即所有解)可表示 二.选择题 <11 1) /、 (1> 1、要使非齐次方程组 01 1 兀2 — 1 有无穷多个解,必须 <00 <7-2, / 丿 3一3丿 A.a=2,b=3 B.a=2,b主3 C.aH2,b=3 D.dH2,b壬3 2、假设人B皆为〃阶可逆方阵,则卜•列式子不成立的是 A.(AB)'1=8^~] B.(仙尸=川矿】 c.\ab\=\a\\b D.\AB\^O 3、设4阶方阵A的秩为3,则下列说法正确的是 A.A的所有3阶子式都为零 B.A的所有3阶子式都不为零 c.|a|ho D・|a|=o,但至少有一个3阶子式不为零 4、设A为“阶可逆方阵,则A的秩厂必定满足; A.r=n B.r=n-l C.r D.r 5、设为农阶方阵,则下列等式成立的是; A.AB—BA B.\a+b\=\a\+\b\ C.若AB=0则A=0或B=0 D.若\AB\=0则|A|=0或0|=0 6、设3维向量maj9a2,a3线性相关,则下列说法不正确的是 A.其中的任意两个向量都线性相关 B.对于任意一个3维向量0,向量组0,少,42,^3必线性相关 C.6^,03小必有一个向量可以用其余两个线性表示 D.存在不全为零的你込,心,使得k{a{+k2a2+k3a3=0 7、设A,B为同阶方阵,则必有: A.\a+b\=\a\+\b B.AB=BA C.\ab\=\a\\b D.(A+B)-1=A_1+5_, 8、若A为”阶方阵,且同乂0,贝ij非齐次方程组Ax=b的解的情况为— A.无解 B.不能断定冇解 C.有唯一解 D.有无穷多个解 rl 1 1 r 9、矩阵 2 2 2 2 的秩为 <3 3 3 3 / A.1 B.2 C.3 D.4 1()、设A为加xn阶矩阵,则线性方程组Ax=b有解的充分必要条件为; A.7? (A)=m B./? (A)=n C.R(A,b)=m D.R(A,b)=R(A) 这里R(A),R(A,b)分别表示矩阵A,增广矩阵(A,b)的秩 11、设4是斤阶可逆矩阵,4*是伴随矩阵,则下列等式成立的是; A.\A\=A* B.|矿 c.|a|h=A* D.WW 12、设A是斤阶方阵,则它的〃个列向量匕,也,・・・,色线性无关的充分必要条件 为: A.列向量组中任何一个向量都不能由其余的兀一1个向量线性表示 B.ava2,...,an均不为零向量 C.列向量组中任何两个向量的对应分量不成比例 d.|a|=0 三、计算题 2411 43-11 1、计算行列式D= 0024 <1 1 P 3、已知A= 12 1 <1 1 3丿 (2)给出分别与爲,§2对应的特征值人,人; 4、 求矩阵X,使得4(E+X)=E; 0013 <-4 -1() ()、 了-2、 2>已知A= 1 3 0 '*51- -1 '§2- 1 <3 6 1; k_3> <0> (1)求码,街2 © 了3、 已知向最组©= -i 也= 3 0 &4= -i /丿 <0> (1)求向量组的秩; (2)求向量组的一个授大无关组; 3330 22025、计算行列式D= 1011 0111 -1-1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 <1-1 —11 6、已知A= 求屮; -1) -3,求 ‘1-1 7、已知4=2-1 <-34 ‘1〕 〔1) 8、已知向量组Q]= 1 也= -1 心= 3 夠= -1, (1)求向量组的秩; 2100 0210 9、计算行列式0=“ 0021 100/1 <12、 'ab' 10、己知矩阵A= 与3= 可交换,即AB=BA,求a,b; L1-1; 32; \y 1-n 11、已知A= 0 11 且满足A~+AX—E=0, <0 ()—i丿 (1)求A-1; (2) 求矩阵X; <1 -1 1 -1、 12、已知矩阵人= 1 2 3 1 <3 3 7 1) 7 (1)求A的秩; (2) 求A的列向最组的一个最人无关组; -1 0 -1 4 100 —020 13、已知£)= 003 123 求其第4行元素的代数余了式Z和,即求A41+A42+A43+A44; <0 1 0、 14、已知人= -1 0 1 求从屮+2A: <0 -1 0> <0 1 2、 15、已知A= 1 1 4, 求4二 <2 -1 °丿 -2、 -6 1() 2 ‘1-13 1-32 16、已知矩阵人= 15-1 《线性代数(理)》综合复习资料参考答案 填空题 1、8 (3—1) 2、 1-21 11 4、-24 5、4 8 6、—— 3 7、8 8、X2 9、2b 10>Sa 11、-2a2 12、Jt(l,-l,l)r 选择题 题目 1 ? 3 4 5 6 答案 A B D A D A 题目 7 8 9 1() 11 12 答案 C C A D B A 三、计算题 1 -1 2 1 1 1 4 3 24 43 1、计算行列式D= 00 00 2 4 41 3- 解: D= 0 0 2 0 0 1 124 10-5 4~00 300 1 -3 2 1 1-5 -3-1 24=-20 13 (2)给出分别与§2对应的特征值人,人; ⑵码=—2鼻 (11 3、已知A=12 J1 1) 1,求矩阵X,使得A(E+X)=E; 3; / 解: X=A~[-E <-4 -10 ()、 <5> 了-2、 2、己知人= 1 3 0 -1 '§2- 1 <3 6 1丿 <_3> <0> (1)求码,街2 一0、 解: (1)対=2 3丿 '-2、 (A£)= (1 1 所以X=A^]-E 5 2 -1 ~2 '3 2 : -1 -1 -1 7 ~2 0 1 2) _n ~2 0 _丄 ~2> <1、 (0) r、 已知向量组©= -1 = 3 s= 0 &4= -i /丿 <0> 0 ~2 %1 a 0 3 1、 <1 0 3 1) 解: 3 0 -1 T 0 3 3 0 <4 2 14 0丿 <0 2 2 一4丿 ‘1031、 t0110 ()00—2, \7 所以, (1)向量纟R的秩为3 (2)alya2,a4(或)为其一个最大无关组 3330 22025、计算行列式D= 1011 0111 解: 对行列式进行初等变换,然后展开化为3阶行列式 33 22D= 10 01 1 0 1 1 0 2 -2 0 0 3 0 -3 0 1 1 1 3 0 1 1 2 =-3 1 -20 0-3=-18 11 6、 -1-1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 <1-1 —11 已知A= 求屮; <1 -1 解: A2= -1 1 _1 -1 <-1 -1 -1 _1) -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1丿 — -1 -1 -1 1 -1 —1、 -1 -1 0、 0 =4E 0 所以,A10=(A2)5=210E (1-1-1] 求川; 7>已知A=2—1-3 曰44丿 <1 -1 -1 1 0 0> <1 -1 -1 1 0 ()) 解: (A,E)= 2 -1 -3 0 1 0 0 1 -1 -2 1 0 <-3 4 4 0 0 1丿 <0 1 1 3 0 01 i_丄 22 j_1 ~2L 2、 1 p0 所以丄11 2 (5_1 丁 <1> <0 8、已知向量组e= 1 &2= -1 S= 3 也= -1, 丄 <1; .-1 \7 (1)求向量组的秩; (2)求向量组的一个最大无关组,并将其余向量用这个最大无关组线性表示; <11 1 1、 q 1 1 1) 解: 1-1 3 -1 0 -2 2 -2 J1 1 -1 <0 0 0 -2 / 所以,向量组的秩为3 a^a2.a4为其一个最大无关组 仃111、 <1020> 继续初等行变换得 1-13-1 —> 01-1() J11T丿 J)001丿 由此,=2ax-a2 2 0 1 2 0 1 0 0 9、计算行列式D= • • 0 0 A 1 1 0 0 2 解: 利用性质进行行变换后再展开,化为3阶行列式 21 0AD= 00 10 000 10_0 A1-0 0A1 10-才 210 021 002 10-才 210=A4-1 021 (\ 1()、已知矩阵4= 11 b\ 可交换,即AB=BAf求q,b 2丿 (a+6b+4、解: AB= —3b_2丿 (a+b2a-b\BA= 54 比较,得a-3=5. /? -2=4,所以q=&b=6 11、已知A -1] 1,FL满足+AX—E=O, (1)求A1; -I 求矩 解: (1)(A,E)= <1 0 <0 -1 -1 —2、 所以,A-1 rl 0 <0 ‘0 0 T丿 -2 0 0 -r o o> p-11-1] 12、已知矩阵A=1231 、3371丿 <1 一1 1 -1、 <1 -1 1 -1] 解: A: 二 1 2 3 1 T 0 3 2 2 3 7 1 <0 6 4 4丿 7 \ 7 <1 —- -1 1 -1、 T 0 3 2 2 0 0 0丿 (1)求A的秩; (2)求A的列向量组的一个授大无关组; 所以,A的秩为2 A的任意两列都是列向量组的一个最大无关组 100-1 0200 13、已知/)= 003-1 1234 求其第4行元素的代数余子式之和, 即求A4I+A42+A43+A44; 10 02解: A41+A42+A43+= 0 -1 0 0 3 -1 1 1 11 10 按第2行展开 =203 11 -1 -1 1 <0 1 0 14、已知A= -1 0 1 <0 -1 0 求A? A’+24; =14 了0 1 0、 厂0 1 0、 <-l 0 解: A2= -1 0 1 -1 0 1 = 0 -2 0 -1 0> -1 0丿 <1 0 -b ’01()、 (-101、 ‘0-20、 川= -101 0-20 = 20-2 <0-1 」oi丿 <020, -2A 所以A3+2A=O 15、已知A -1 解: (A,E)= -1 -1 -1 -1 -2 1 2> O' 所以,A"1 1 2> <1 —2、 已知矩阵4= 10 (3 (1)求A的秩; (2)求A的列向量组的一个最大无关组; <1 -1 3 -2、 <1 -1 3 -2、 1 -3 2 -6 0 -2 -1 -4 解: A= 1 5 -I 10 0 6 -4 12 <3 1 4 2丿 <0 4 -5 8丿 ‘1-13 0-2-1 T001 、000 -2、 -4 0 所以, (1)A的秩为3 (2)第1,2,3列(或第1,3,4列)为列向量组的一个最大无关组
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