八年级数学上册第二章实数教案北师大版.docx
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八年级数学上册第二章实数教案北师大版
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第二章实数
§2.1.1数怎么又不够用了
(一)
知识与技能目标:
1.通过拼图活动,让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.
2.能判断给出的数是否为有理数;并能说出现由.
过程与方法目标:
1.让学生亲自动手做拼图活动,感受无理数存在的必要性和合理性,培养大家的动手能力和合作精神.
2.通过回顾有理数的有关知识,能正确地进行推理和判断,识别某些数是否为有理数,训练他们的思维判断能力.
情感态度与价值观目标:
1.激励学生积极参与教学活动,提高大家学习数学的热情.
2.引导学生充分进行交流,讨论与探索等教学活动,培养他们的合作与钻研精神.
3.了解有关无理数发现的知识,鼓励学生大胆质疑,培养他们为真理而奋斗的献身精神.
教学重点
1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.
2.会判断一个数是否为有理数.
教学难点
1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.
2.判断一个数是否为有理数.
教学方法
师生共同讨论法.
教师引导,主要由学生分组讨论得出结果.
教具准备
有两个边长为1的正方形,剪刀.
投影片两张:
第一张:
做一做(记作§2.1.1A);
第二张:
补充练习(记作§2.1.1B).
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?
[生]在小学我们学过自然数、小数、分数.
[生]在初一我们还学过负数.
[师]对,我们在小学学了非负数,在初一发现数不够用了,引入了负数,即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢?
下面我们就来共同研究这个问题.
Ⅱ.讲授新课
1.问题的提出
[师]请大家四个人为一组,拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀,认真讨论之后,动手剪一剪,拼一拼,设法得到一个大的正方形,好吗?
[生]好.(学生非常高兴地投入活动中).
[师]经过大家的共同努力,每个小组都完成了任务,请同学们把自己拼的图展示一下.
同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.
[师]现在我们一齐把大家的做法总结一下:
下面再请大家共同思考一个问题,假设拼成大正方形的边长为a,则a应满足什么条件呢?
[生甲]a是正方形的边长,所以a肯定是正数.
[生乙]因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积,所以根据正方形面积公式可知a2=2.
[生丙]由a2=2可判断a应是1点几.
[师]大家说得都有道理,前面我们已经总结了有理数包括整数和分数,那么a是整数吗?
a是分数吗?
请大家分组讨论后回答.
[生甲]我们组的结论是:
因为12=1,22=4,32=9,…整数的平方越来越大,所以a应在1和2之间,故a不可能是整数.
[生乙]因为
,…两个相同因数的乘积都为分数,所以a不可能是分数.
[师]经过大家的讨论可知,在等式a2=2中,a既不是整数,也不是分数,所以a不是有理数,但在现实生活中确实存在像a这样的数,由此看来,数又不够用了.
2.做一做
投影片§2.1.1A
(1)在下图中,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?
(2)设该正方形的边长为b,则b应满足什么条件?
(3)b是有理数吗?
[师]请大家先回忆一下勾股定理的内容.
[生]在直角三角形中,若两条直角边长为a,b,斜边为c,则有a2+b2=c2.
[师]在这个题中,两条直角边分别为1和2,斜边为b,根据勾股定理得b2=12+22,即b2=5,则b是有理数吗?
请举手回答.
[生甲]因为22=4,32=9,4<5<9,所以b不可能是整数.
[生乙]没有两个相同的分数相乘得5,故b不可能是分数.
[生丙]因为没有一个整数或分数的平方为5,所以5不是有理数.
[师]大家分析得很准确,像上面讨论的数a,b都不是有理数,而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前,古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”,即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”,也就是一切现象都可用有理数去描述.后来,这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示,这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条,据说为此希伯索斯被投进了大海,他为真理而献出了宝贵的生命,但真理是不可战胜的,后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.
我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的,我们一方面应积极地学习这些经验,另一方面我们也不能死搬教条,要大胆质疑,如不这样科学就会永远停留在某处而不前进,要向古希腊的希伯索斯学习,学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P25随堂练习
如图,正三角形ABC的边长为2,高为h,ofsquareroot),其中a叫被开方数.
[师]我们共学了几种运算呢,这几种运算之间有怎样的联系呢?
请大家讨论后回答.
[生]我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算,乘与除互为逆运算,乘方与开方互为逆运算.
[师]大家非常聪明且爱动脑子,回答问题正确率极高,很值得表扬,希望你们能继续发扬下去.
2.平方根的性质
[师]请大家思考以下问题.
(1)一个正数有几个平方根.
(2)0有几个平方根?
(3)负数呢?
[生]第一个问题在前面已作过讨论,一个正数9有两个平方根3和-3;
因为只有零的平方为零,所以0有一个平方根是零.
因为任何数的平方都不是负数,所以负数没有平方根,例如-3没有平方根.
[师]太精彩了.一个正数有两个平方根,且它们互为相反数;0有一个平方根是0,负数没有平方根.
3.讲解例题
[例]求下列各数的平方根.
(1)64;
(2);(3)0.0004;(4)(-25)2;(5)11.
解:
(1)因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8,即±=±8;
(2)因为(±)2=,所以的平方根是±,即±=±;
(3)因为(±0.02)2=0.0004,所以0.0004的平方根是±0.02,即±=±0.02;
(4)因为(±25)2=(-25)2,所以(-25)2的平方根是±25,即±=±25;
(5)11的平方根是±.
[师]请大家口述上题中各数的算术平方根.
[生]64的算术平方根为8;的算术平方根为;0.0004的算术平方根为0.02;(-25)2的算术平方根为25;11的算术平方根为.
4.想一想
(1)()2等于多少?
()2等于多少?
(2)()2等于多少?
(3)对于正数a,()2等于多少?
解:
(1)()2=64;
()2=;
(2)()2=7.2;
(3)()2=a(a>0)
Ⅲ.课堂练习
(一)随堂练习
1.求下列各数的平方根
1.44,0,8,,441,196,10-4
解:
因为(±1.2)2=1.44,所以1.44的平方根是±1.2,即±=±1.2;
因为02=0,所以0的平方根是0.
即±=0;
因为(±)2=8.所以8的平方根是±;
因为,所以的平方根是±,即±;
因为(±21)2=441,所以441的平方根是±21,即±=±21;
因为(±14)2=196,所以196的平方根是±14,即±=±14;
因为10-4=,(±)=,所以的平方根是±,即±=±=±=±.
2.填空
(1)25的平方根是_________;
(2)=_________;
(3)()2=_________.
解:
(1)±5;
(2)5;(3)5.
(二)补充练习
投影片:
(§2.2.2B)
1.判断下列各数是否有平方根?
并说明理由.
(1)(-3)2;
(2)0;(3)-0.01;(4)-52;(5)-a2;(6)a2-2a+2
2.求下列各数的平方根.
(1)121;
(2)0.01;(3)2;(4)(-13)2;(5)-(-4)3.
1.分析:
一个数有没有平方根,就看它是不是负数,是负数就没有平方根;不是负数就有平方根.
解:
(1)∵(-3)2=9>0
∴(-3)2有平方根
(2)∵0的平方根是它本身
∴0有平方根
(3)∵-0.01<0
∴-0.01没有平方根
(4)∵-52=-25<0
∴-52没有平方根
(5)当a=0时,-a2=0,有平方根
当a≠0时,-a2<0,没有平方根.
(6)∵a2-2a+2=(a-1)2+1,无论a取何有理数,(a-1)2+1>0
∴a2-2a+2有平方根.
说明:
(1)负数没有平方根
(2)第(4)小题容易犯错误,-52=25>0.
2.分析:
根据平方与开平方互为逆运算,可以通过平方运算来求一个数的平方根,其中2,(-13)2=169,-(-4)3=64,把带分数化为假分数,含有乘方运算先求出它的幂.
解:
(1)∵(±11)2=121
∴121的平方根是±11
即±=±11;
(2)∵(±0.1)2=0.01
∴0.01的平方根是±0.1
即±=±0.1;
(3)∵2,(±)2=
∴2的平方根是±
即±=±;
(4)∵(-13)2=169,(±13)2=169
∴(-13)2的平方根是±13
即±=±13;
(5)∵-(-4)3=64,(±8)2=64
∴-(-4)3的平方根是±8
即±=±8.
Ⅳ.课时小结
本节课学了如下内容.
1.平方根的概念.
2.平方根的性质.
3.平方根与算术平方根的区别与联系.
4.求某些非负数的算术平方根和平方根.
Ⅴ.课后作业
习题2.4.
Ⅵ.活动与探究
1.对于任意数a,一定等于a吗?
解:
不一定
当a=2时,=2
当a=时,
当a=0时,=0
当a=-2时,=2
当a-时,=.
综上所述,当a≥0时,=a
当a<0时,=-a
2.中的被开方数a在什么情况下有意义,()2等于什么?
解:
因为任意数的平方都是非负数,也就是非负数才有平方根,所以被开方数a必须是正数或零,即非负数时有意义.
当a=1时,()2=12=1
当a=4时,()2=22=4
当a=时,
当a=时,
当a=0时,()2=0.
所以()2=a(a≥0)
板书设计
§2.2.2平方根
(二)
一、平方根的定义;
平方根的性质;
平方根与算术;
平方根的区别与联系.
二、例题讲解
三、练习
四、小结
五、作业
§2.3立方根
知识与技能目标:
1.了解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根.
2.能用立方运算求某些数的立方根,了解开立方与立方互为逆运算.
3.了解立方根的性质.
4.区分立方根与平方根的不同.
过程与方法目标:
1.在学了平方根的基础上,要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识,领会类比思想.
2.发展学生的求同求异思维,使他们能在复杂环境中明辨是非.
情感态度与价值观目标:
当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代,每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会,因此让他们会学知识比学会知识更重要,这就要从小培养良好的学习习惯,能自己解决的问题就自己解决,其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法,本节课重点训练学生的类比思想的养成.
教学重点
立方根的概念.
教学难点
1.正确理解立方根的概念.
2.会求一个数的立方根.
3.区分立方根与平方根的不同之处.
教学方法
类比学习法.
教具准备
投影片两张:
第一张:
平方根与立方根的联系与区别(记作§2.3A);
第二张:
补充练习(记作§2.3B).
教学过程
Ⅰ.新课导入
上节课我们学习了平方根的定义,若x2=a,则x叫a的平方根,即x=±.
若正方体的棱长为a,体积为8,根据正方体体积的公式得a3=8,那a叫8的什么呢?
本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论,若x3=a,则x叫a的什么呢?
Ⅱ.新课讲解
1.[师]请大家先回忆平方根的定义.
[生]若一个数x的平方等于a,即x2=a,则x叫a的平方根.
[师]在平方根定义的基础上,若x3=a,则x叫a的什么呢?
请大家自己猜想然后讨论得出结果.
[生]因为x2=a,x叫a的平方根,所以当x的立方等于a时,x叫a的立方根.
[师]当x4=a时,x叫a的什么根呢?
[生]当x的4次方等于a时,x叫a的4次方根.
[师]大家应为这位同学的精彩回答而鼓掌.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢?
[生]能.若x的平方等于a,则x叫a的平方根,记作x=±,读作x等于正、负二次根号a,简称为x等于正,负根号a.若x的立方等于a,则x叫a的立方根,记作x=±,读作x等于正、负三次根号a,简称x等于正、负根号a.
[师]请大家对这位同学的回答展开讨论,小组总结后选代表发言.
[生甲]我认为这位同学回答得不对.如果x2=a,则x=±,x3=a时,x=±也成立的话,那如何区分平方根与立方根呢?
[生乙]因为乘方与开方是互为逆运算,求立方根可通过逆运算立方来求,如x3=8,因为23=8,所以x=2,只有一个根而不是±2,所以立方根的个数不正确.
[师]大家的分析非常有道理,请认真看书第13、14页可知,若一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(cuberoot;也叫三次方根)如2是8的立方根,记为x=,读作x等于三次根号a.
开立方的定义
[师]大家先回忆开平方的定义,再类推开立方的定义.
[生]求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,则求一个数a的立方根的运算,叫做开立方,其中a叫做被开方数.
(2)立方根的性质
[师]2的立方等于多少?
是否有其他的数,它的立方也是8?
[生]2的立方等于8,(-2)3=-8,所以没有其他的数的立方等于8.
[师]-3的立方等于多少?
是否有其他的数,它的立方也是-27?
[生]-3的立方等于-27,33=27,所以没有其他的数的立方等于-27.
[师]0的立方等于多少?
0有几个立方根?
[生]0的立方等于0,0有1个立方根是0.
[师]从刚才的讨论中,大家总结一下正数有几个立方根?
0有几个立方根?
负数有几个立方根?
[生]正数有一个立方根,0有一个立方根是0,负数有一个立方根.
[师]对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根,0的立方根有一个,是0.
(3)平方根与立方根的区别与联系.
[师]我们已经学习了平方根与立方根的定义,并会求某些数的平方根和立方根,下面请大家说说它们的联系与区别.
[生]从定义来看,若一个数x的平方等于a,即x2=a,则x叫a的平方根;若一个数x的立方等于a,即x3=a,则x叫a的立方根,都是一个数x的乘方等于a,但一个是平方,另一个是立方.
[生]一个正数的平方根有两个,一个负数没有平方根,零的平方根有一个是零;一个正数的立方根有一个,并且是正数,一个负数有一个负的立方根,零的立方根有一个是零.
[生]它们的表示方法和读法不同,一个正数a的平方根表示为±,立方根表示为.
[师]很好.大家现在已经具备了一定的分析判断能力,这对大家以后的学习和工作非常有帮助,继续发扬下去,你们都将前途无量,下面我再系统地总结一下.
投影片:
(§2.3A)
平方根与立方根的联系与区别.
联系:
(1)0的平方根、立方根都有一个是0.
(2)平方根、立方根都是开方的结果.
区别:
(1)定义不同:
“如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根”;“如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根.”
(2)个数不同:
一个正数有两个平方根,一个正数有一个立方根;一个负数没有平方根,一个负数有一个立方根.
(3)表示法不同
正数a的平方根表示为±,a的立方根表示为.
(4)被开方数的取值范围不同
±中的被开方数a是非负数;中的被开方数可以是任何数.
2.例题讲解
[例1]求下列各数的立方根:
(1)-27;
(2);(3)0.216;(4)-5.
解:
(1)因为(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3,即=-3;
(2)因为()3=,所以的立方根是,即=;
(3)因为0.63=0.216,所以0.216的立方根是0.6,即=0.6;
(4)-5的立方根是.
[师]请大家思考下列问题.
表示a的立方根,则()3等于什么?
等于什么?
大家可以先举例后找规律.
[生]∵23=8,∴=2,()3=8;
∵(-2)3=-8,
∴=-2;()3=-8;
∵()3=,
∴;
∵(-)3=-,
∴
.
∴()3=a.
[师]若x3=a,则x=,∴x3=()3=a.
∴()3=a.
又∵a3是a的立方,所以a3的立方根就是a,所以=a.下面就这两个式子进行练习.
[例2]求下列各式的值:
(1);
(2);(3)-;(4)()3
解:
(1)==-2;
(2)=;
(3)=;
(4)()3=9.
Ⅲ.课堂练习
(一)随堂练习
1.求下列各式的值:
.
解:
;
2.一个正方体,它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍,这个正方体的棱长是多少?
解:
设正方体的棱长是x厘米,得
x3=8×33
∴x3=216
∴x=6(厘米)
答:
这个正方体的棱长是6厘米.
(二)补充练习
投影片:
(§2.3B)
1.求下列各数的立方根:
0,1,-,6,-,0.001
2.求下列各式的值:
3.下列说法对不对?
-4没有立方根;
1的立方根是±1;
的立方根是;
-5的立方根是-;
64的算术平方根是8.
1.解:
因为03=0,所以0的立方根为0.
即=0;
因为13=1,所以1的立方根为1.
即=1;
因为的立方根为.
即;
6的立方根为;
∵-的立方根为-,即;
∵0.13=0.001,所以0.001的立方根为0.1,即=0.1.
2.解:
;
.
3.答案:
错.因为负数也有立方根;
错.因为1的立方根是1;
错.的立方根是,平方根是±;
对.-5的立方根是,-;
对.
Ⅳ.议一议
1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐,如果它的体积是原来的8倍,那么它的半径是原储气罐半径的多少倍?
解:
设原来的球形储气罐的半径为r1,后来的储气罐的半径为r2,由球体积公式V=πr3得
8×πr13=πr23
∴8r13=r23
∴(2r1)3=r23
∴r2=2r1
即新储气罐的半径是旧储气罐半径的2倍.
2.一个正方体的体积变为原来的n倍,它的棱长变为原来的多少倍?
解:
设原正方体的棱长为a,后来的正方体的棱长为b,得
na3=b3∴
∴b=.
即后来的棱长变为原来的倍.
Ⅴ.课时小结
本节课学了如下内容:
1.立方根的定义.
2.立方根的性质.
3.开立方的定义.
4.平方根与立方根的区别与联系.
5.会求一个数的立方根.
Ⅵ.课后作业
习题2.5.
Ⅶ.活动与探究
1.求下列各式中的x.
(1)8x3+27=0;
(2)(x-1)3-0.343=0;
(3)81(x+1)4=16;
(4)32x5-1=0.
分析:
先把每一个式子都化成x3=的形式,然后再根据平方根或立方根的定义来求,
解:
(1)由8x3+27=0.∴8x3=-27
∴x3=∴x=
;
(2)由(x-1)3-0.343=0
∴(x-1)3=0.343
∴x-1==0.7
∴x=1.7;
(3)由81(x+1)4=16
∴(x+1)4=
∴x+1=±
∴x=±-1∴x=-或x=-;
(4)由32x5-1=0
∴x5=
∴x=.
2.求满足+1=x的x的值.
解:
=x-1
∴x-1=-1或x-1=0或x-1=1
∴x=0或x=1或x=2
3.计算
(1)-;
(2).
解:
(1)
;
(2)
=-.
板书设计
§2.3立方根
一、
(1)立方根开立方的定义
(2)立方根的性质
(3)立方根与平方根的联系与区别
二、例题讲解(求立方根)
三、练习
四、议一议
五、小结
六、作业
§2.4公园有多宽
知识与技能目标:
1.能通过估算检验计算结果的合理性,能估计一个无理数的大致范围,并能通过估算比较两个数的大小.
2.掌握估算的方法,形成估算的意识,发展学生的数感.
过程与方法目标:
1.能估计一个无理数的大致范围,培养学生估算的意识.
2.让学生掌握估算的方法,训练他们的估算能力.
情感态度与价值观目标:
估算也是现实生活中一种常用的解决问题的方法,比如在工厂工人师傅要做一个正方体,使它的体积为900立方米,现有边长为5米,8米,10米的三种正方形材料,问用哪一种材料作为正方体的表高比较合适,而工作师傅在领材料之前并不晓得材料的规格,那么在领材料时必须经过估算大致确定用哪一种材料,这就是估算的用处.这样的例子随处可见,有时问题是突然出现.因此有必要对学生进行这方面的训练,使他们在以后的工作中能处世不惊、沉着应战,用学到的知识去顺利解决实际生活中的难题.
教学重点
1.让学生理解估算的意义,发展学生的数感.
2.掌握估算的方法,提高学生的估算能力.
教学难点
掌握估算的方法,并能通过估算比较两个数的大小.
教学方法
指导尝试法.
教具准备
投影片三张:
第一张:
公园有多宽(记作§2.4A);
第二张:
估算的步骤(记作§2.4B);
第三张:
补充练习(记作§2.4C).
教学过程
Ⅰ.导入新课
[师]同学们,请大家说出咱们班男生和女生的平均身高.
[生]男生大约170厘米,女生大约159厘米.
[师]这位同学是怎样得出结果的呢?
[生]我猜的.
[师]猜字的意思就是根据自己的判断而估计得出的结果,它并不是准确值,但也不是无中生有,是有一定的理论根据的,本节课我们就来学习有关估算的方法.
Ⅱ.讲授新课
1.投影片:
(§2.4A)
某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园,已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400000米2.
(1)公园的宽大约是多少?
它有1000米吗?
(2)如果要求误差小于10米,它的宽大约是多少?
(3)该公园中心有一个圆形花圃,它的面积是800米2,你能估计它的半径吗?
(误差小于1米)
[师]要想知道公园的宽大约是多少,首先应根据已知条件求出已知量与未知量的关系式,那么它们之间有怎样的联系呢?
[生]因为已知长方形的长是宽的2倍,且它的面积为40000米2,根据面积公式就能找到它们的关系式.可设公园的宽为x米,则公园的长为2x米,由面积公式得:
2x2=400000
∴x2=200000
所以公园的宽x就是面积200000的算术平方根.
[师]非常精彩.在估算时我们首先要大致确定数的范围,因此有必要做一些准备工作.请大家先计算出20以内正整数的平方和10以内正整数的立方.并加以记忆,对我们的估算很有帮助.
[生]12=1;22=4;32=9;42=16;52=25;62=36;72=49;82=64;92=81;102=100;112=121;122=144;132=169;142=196;152=225;162=256;172=289;182=324;192=381;202=400.
13=1;23=8;33=27;43=64;53=125;63=216;73=343;83=512;93=729;103=1000.
[师]下面
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