高中数学 第三章《方程的根与函数的零点》教案 新人教A版必修1.docx
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高中数学第三章《方程的根与函数的零点》教案新人教A版必修1
2019-2020年高中数学第三章《方程的根与函数的零点》教案新人教A版必修1
教学目标:
知识与技能理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程要的关系,掌握零点存在的判定条件.
过程与方法零点存在性的判定.
情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.
教学重点:
重点零点的概念及存在性的判定.
难点零点的确定.
教学程序与环节设计:
研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号,并尝试进行系统的总结.
教学过程与操作设计:
环节
教学内容设置
师生双边互动
创
设
情
境
先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象:
方程与函数
方程与函数
方程与函数
师:
引导学生解方程,画函数图象,分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系,引出零点的概念.
生:
独立思考完成解答,观察、思考、总结、概括得出结论,并进行交流.
师:
上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样?
组
织
探
究
函数零点的概念:
对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点.
函数零点的意义:
函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标.
即:
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
函数零点的求法:
求函数的零点:
(代数法)求方程的实数根;
(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
师:
引导学生仔细体会左边的这段文字,感悟其中的思想方法.
生:
认真理解函数零点的意义,并根据函数零点的意义探索其求法:
代数法;
几何法.
二次函数的零点:
二次函数
.
1)△>0,方程有两不等
师:
引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况.
环节
教学内容设置
师生双边互动
组
织
探
究
实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点.
生:
根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况,并进行交流,总结概括形成结论.
零点存在性的探索:
(Ⅰ)观察二次函数的图象:
在区间上有零点______;
_______,_______,
·_____0(<或>).
在区间上有零点______;
·____0(<或>).
(Ⅱ)观察下面函数的图象
在区间上______(有/无)零点;
·_____0(<或>).
在区间上______(有/无)零点;
·_____0(<或>).
在区间上______(有/无)零点;
·_____0(<或>).
由以上两步探索,你可以得出什么样的结论?
怎样利用函数零点存在性定理,断定函数在某给定区间上是否存在零点.
生:
分析函数,按提示探索,完成解答,并认真思考.
师:
引导学生结合函数图象,分析函数在区间端点上的函数值的符号情况,与函数零点是否存在之间的关系.
生:
结合函数图象,思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评析.
师:
引导学生理解函数零点存在定理,分析其中各条件的作用.
环节
教学内容设置
师生互动设计
例
题
研
究
例1.求函数的零点个数.
问题:
1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数?
2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性?
例2.求函数,并画出它的大致图象.
师:
引导学生探索判断函数零点的方法,指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象,结合图象对函数有一个零点形成直观的认识.
生:
借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点所在的区间,然后利用函数单调性判断零点的个数.
尝
试
练
习
1.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根:
(1);
(2);
(3);
(4).
2.利用函数的图象,指出下列函数零点所在的大致区间:
(1);
(2);
(3);
(4)
.
师:
结合图象考察零点所在的大致区间与个数,结合函数的单调性说明零点的个数;让学生认识到函数的图象及基本性质(特别是单调性)在确定函数零点中的重要作用.
探
究
与
发
现
1.已知
,请探究方程的根.如果方程有根,指出每个根所在的区间(区间长度不超过1).
2.设函数.
(1)利用计算机探求和时函数的零点个数;
(2)当时,函数的零点是怎样分布的?
环节
教学内容设置
师生互动设计
作
业
回
馈
1.教材P108习题3.1(A组)第1、2题;
2.求下列函数的零点:
(1);
(2);
(3)
.
3.求下列函数的零点,图象顶点的坐标,画出各自的简图,并指出函数值在哪些区间上大于零,哪些区间上小于零:
(1);
(2).
4.已知
:
(1)为何值时,函数的图象与轴有两个零点;
(2)如果函数至少有一个零点在原点右侧,求的值.
5.求下列函数的定义域:
(1);
(2);
(3)
课
外
活
动
研究,,
,的相互关系,以零点作为研究出发点,并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达.
考虑列表,建议画出图象帮助分析.
收
获
与
体
会
说说方程的根与函数的零点的关系,并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤.
2019-2020年高中数学第三章《概率》教案新人教A版必修3
一、教学目标:
1、知识与技能:
(1)了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念;
(2)正确理解事件A出现的频率的意义;(3)正确理解概率的概念和意义,明确事件A发生的频率fn(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系;(3)利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.
2、过程与方法:
(1)发现法教学,通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,真正做到在探索中学习,在探索中提高;
(2)通过对现实生活中的“掷币”,“游戏的公平性”,、“彩票中奖”等问题的探究,感知应用数学知识解决数学问题的方法,理解逻辑推理的数学方法.
3、情感态度与价值观:
(1)通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识,体会数学知识与现实世界的联系;
(2)培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的科学意识.
二、重点与难点:
(1)教学重点:
事件的分类;概率的定义以及和频率的区别与联系;
(2)教学难点:
用概率的知识解释现实生活中的具体问题.
三、学法与教学用具:
1、引导学生对身边的事件加以注意、分析,结果可定性地分为三类事件:
必然事件,不可能事件,随机事件;指导学生做简单易行的实验,让学生无意识地发现随机事件的某一结果发生的规律性;2、教学用具:
硬币数枚,投灯片,计算机及多媒体教学.
四、教学设想:
1、创设情境:
日常生活中,有些问题是很难给予准确无误的回答的。
例如,你明天什么时间起床?
7:
20在某公共汽车站候车的人有多少?
你购买本期福利彩票是否能中奖?
等等。
2、基本概念:
(1)必然事件:
在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件;
(2)不可能事件:
在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件;
(3)确定事件:
必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;
(4)随机事件:
在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件;
(5)频数与频率:
在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的概率:
对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率。
(6)频率与概率的区别与联系:
随机事件的频率,指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
(7)似然法与极大似然法:
见课本P111
3、例题分析:
例1判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件?
(1)“抛一石块,下落”.
(2)“在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化”;
(3)“某人射击一次,中靶”;
(4)“如果a>b,那么a-b>0”;
(5)“掷一枚硬币,出现正面”;
(6)“导体通电后,发热”;
(7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”;
(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”;
(9)“没有水份,种子能发芽”;
(10)“在常温下,焊锡熔化”.
答:
根据定义,事件
(1)、(4)、(6)是必然事件;事件
(2)、(9)、(10)是不可能事件;事件(3)、(5)、(7)、(8)是随机事件.
例2某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率;
(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么?
分析:
事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为事件A的频率,当事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上时,这个常数即为事件A的概率。
解:
(1)表中依次填入的数据为:
0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是0.89。
小结:
概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。
练习:
一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下:
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5544
9607
13520
17190
男婴数
2883
4970
6994
8892
男婴出生的频率
(1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第3位);
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少?
答案:
(1)表中依次填入的数据为:
0.520,0.517,0.517,0.517.
(2)由表中的已知数据及公式fn(A)=即可求出相应的频率,而各个频率均稳定在常数0.518上,所以这一地区男婴出生的概率约是0.518.
例3某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次环中9环,有4次中8环,有1次未中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击1次,试问中靶的概率约为多大?
中10环的概率约为多大?
分析:
中靶的频数为9,试验次数为10,所以靶的频率为=0.9,所以中靶的概率约为0.9.
解:
此人中靶的概率约为0.9;此人射击1次,中靶的概率为0.9;中10环的概率约为0.2.
例4如果某种彩票中奖的概率为,那么买1000张彩票一定能中奖吗?
请用概率的意义解释。
分析:
买1000张彩票,相当于1000次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做1000次试验的结果也是随机的,也就是说,买1000张彩票有可能没有一张中奖。
解:
不一定能中奖,因为,买1000张彩票相当于做1000次试验,因为每次试验的结果都是随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1000张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一张、两张乃至多张中奖。
例5在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,请用概率的知识解释其公平性。
分析:
这个规则是公平的,因为每个运动员先发球的概率为0.5,即每个运动员取得先发球权的概率是0.5。
解:
这个规则是公平的,因为抽签上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5,因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5,也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。
小结:
事实上,只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。
4、课堂小结:
概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学,正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键,学习过程中应有意识形成概率意识,并用这种意识来理解现实世界,主动参与对事件发生的概率的感受和探索。
5、自我评价与课堂练习:
1.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是()
A.必然事件B.随机事件
C.不可能事件D.无法确定
2.下列说法正确的是()
A.任一事件的概率总在(0.1)内
B.不可能事件的概率不一定为0
C.必然事件的概率一定为1D.以上均不对
3.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答题。
每批粒数
2
5
10
70
130
700
1500
xx
3000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
282
639
1339
2715
发芽的频率
(1)完成上面表格:
(2)该油菜子发芽的概率约是多少?
4.某篮球运动员,在同一条件下进行投篮练习,结果如下表如示。
投篮次数
进球次数m
进球频率
(1)计算表中进球的频率;
(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少?
5.生活中,我们经常听到这样的议论:
“天气预报说昨天降水概率为90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了。
”学了概率后,你能给出解释吗?
6、评价标准:
1.B[提示:
正面向上恰有5次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随机事件。
]
2.C[提示:
任一事件的概率总在[0,1]内,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1.]
3.解:
(1)填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.
(2)该油菜子发芽的概率约为0.897。
4.解:
(1)填入表中的数据依次为0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.
(2)由于上述频率接近0.80,因此,进球的概率约为0.80。
5.解:
天气预报的“降水”是一个随机事件,概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率,我们知道:
在一次试验中,概率为90%的事件也可能不出现,因此,“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的。
7、作业:
根据情况安排
3.1.3概率的基本性质(第三课时)
一、教学目标:
1、知识与技能:
(1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念;
(2)概率的几个基本性质:
1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1;2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:
P(A∪B)=P(A)+P(B);3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)
(3)正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系.
2、过程与方法:
通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生的类化与归纳的数学思想。
3、情感态度与价值观:
通过数学活动,了解教学与实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界的具体情境,从而激发学习数学的情趣。
二、重点与难点:
概率的加法公式及其应用,事件的关系与运算。
三、学法与教学用具:
1、讨论法,师生共同讨论,从而使加深学生对概率基本性质的理解和认识;2、教学用具:
投灯片
四、教学设计:
1、创设情境:
(1)集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4}С{2,3,4,5}等;
(2)在掷骰子试验中,可以定义许多事件如:
C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现1点或2点},C4={出现的点数为偶数}……
师生共同讨论:
观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算吗?
2、基本概念:
(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115;
(2)若A∩B为不可能事件,即A∩B=ф,那么称事件A与事件B互斥;
(3)若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件;
(4)当事件A与B互斥时,满足加法公式:
P(A∪B)=P(A)+P(B);若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B).
3、例题分析:
例1一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?
哪些是对立事件?
事件A:
命中环数大于7环;事件B:
命中环数为10环;
事件C:
命中环数小于6环;事件D:
命中环数为6、7、8、9、10环.
分析:
要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生。
解:
A与C互斥(不可能同时发生),B与C互斥,C与D互斥,C与D是对立事件(至少一个发生).
例2抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”,B为“出现偶数点”,已知P(A)=,P(B)=,求出“出现奇数点或偶数点”.
分析:
抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的,可用运用概率的加法公式求解.
解:
记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事件,所以P(C)=P(A)+P(B)=+=1
答:
出现奇数点或偶数点的概率为1
例3如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是,取到方块(事件B)的概率是,问:
(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少?
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?
分析:
事件C是事件A与事件B的并,且A与B互斥,因此可用互斥事件的概率和公式求解,事件C与事件D是对立事件,因此P(D)=1—P(C).
解:
(1)P(C)=P(A)+P(B)=
(2)P(D)=1—P(C)=
例4袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少?
分析:
利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解.
解:
从袋中任取一球,记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、C、D,则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=;P(C∪D)=P(C)+P(D)=;P(B∪C∪D)=1-P(A)=1-=,解的P(B)=,P(C)=,P(D)=
答:
得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是、、.
4、课堂小结:
概率的基本性质:
1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1;2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:
P(A∪B)=P(A)+P(B);3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B);3)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形:
(1)事件A发生且事件B不发生;
(2)事件A不发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不发生,而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形;
(1)事件A发生B不发生;
(2)事件B发生事件A不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。
5、自我评价与课堂练习:
1.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件,观察正品件数与次品件数,判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件。
(1)恰好有1件次品恰好有2件次品;
(2)至少有1件次品和全是次品;
(3)至少有1件正品和至少有1件次品;
(4)至少有1件次品和全是正品;
2.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件A为出现奇数,事件B为出现2点,已知P(A)=,P(B)=,求出现奇数点或2点的概率之和。
3.某射手在一次射击训练中,射中10环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算该射手在一次射击中:
(1)射中10环或9环的概率;
(2)少于7环的概率。
4.已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是,从中取出2粒都是白子的概率是,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少?
6、评价标准:
1.解:
依据互斥事件的定义,即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知:
(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件,又因为它们的并不是必然事件,所以它们不是对立事件,同理可以判断:
(2)中的2个事件不是互斥事件,也不是对立事件。
(3)中的2个事件既是互斥事件也是对立事件。
2.解:
“出现奇数点”的概率是事件A,“出现2点”的概率是事件B,“出现奇数点或2点”的概率之和为P(C)=P(A)+P(B)=+=
3.解:
(1)该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和,即为0.21+0.23=0.44。
(2)射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和,即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件,所以射中少于7环的概率为1-0.97=0.03。
4.解:
从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和,即为+=
7、作业:
根据情况安排
3.2古典概型(第四、五课时)
3.2.1—3.2.2古典概型及随机数的产生
一、教学目标:
1、知识与技能:
(1)正确理解古典概型的两大特点:
1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2)每个基本事件出现的可能性相等;
(2)掌握古典概型的概率计算公式:
P(A)=
(3)了解随机数的概念;
(4)利用计算机产生随机数,并能直接统计出频数与频率。
2、过程与方法:
(1)通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力;
(2)通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观:
通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.
二、重点与难点:
1、正确理解掌握古典概型及其概率公式;2、正确理解随机数的概念,并能应用计算机产生随机数.
三、学法与教学用具:
1、与学生共同探讨,应用数学解决现实问题;2、通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯.
四、教学设想:
1、创设情境:
(1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有2个,即“正面朝上”或“反面朝上”,它们都是随机事件。
(2)一个盒子中有10个完全相同的球,分别标以号码1,2,3,…,10,从中任取一球,只有10种不同的结果
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