高考数学理科一轮复习导数的综合应用学习型教学案有答案.docx
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高考数学理科一轮复习导数的综合应用学习型教学案有答案
高考数学理科一轮复习导数的综合应用学案(有答案)
本资料为woRD文档,请点击下载地址下载全文下载地址 学案15 导数的综合应用
导学目标:
1.应用导数讨论函数的单调性,并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题.
自主梳理
.函数的最值
函数f在[a,b]上必有最值的条件
如果函数y=f的图象在区间[a,b]上________,那么它必有最大值和最小值.
求函数y=f在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
①求函数y=f在内的________;
②将函数y=f的各极值与________比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
2.实际应用问题:
首先要充分理解题意,列出适当的函数关系式,再利用导数求出该函数的最大值或最小值,最后回到实际问题中,得出最优解.
自我检测
.函数f=x3-3ax-a在内有最小值,则a的取值范围为
A.0≤a<1
B.0<a<1
c.-1<a<1
D.0<a<12
2.设f′是函数f的导函数,将y=f和y=f′的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是
3.对于R上可导的任意函数f,若满足f′≥0,则必有
A.f+f<2f
B.f+f≤2f
c.f+f≥2f
D.f+f>2f
4.函数f=12ex在区间0,π2上的值域为______________.
5.f=x2在x=2处有极大值,则常数c的值为________.
探究点一 求含参数的函数的最值
例1 已知函数f=x2e-ax,求函数在[1,2]上的最大值.
变式迁移1 设a>0,函数f=alnxx.
讨论f的单调性;
求f在区间[a,2a]上的最小值.
探究点二 用导数证明不等式
例2 已知f=12x2-alnx,
求函数f的单调区间;
求证:
当x>1时,12x2+lnx<23x3.
变式迁移2 设a为实数,函数f=ex-2x+2a,x∈R.
求f的单调区间与极值;
求证:
当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.
探究点三 实际生活中的优化问题
例3 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元的管理费,预计当每件产品的售价为x元时,一年的销售量为2万件.
求分公司一年的利润L与每件产品的售价x的函数关系式;
当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q.
变式迁移3 甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x与年产量t满足函数关系x=XXt.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元.
将乙方的年利润ω表示为年产量t的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;
甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2,在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格S是多少?
转化与化归思想的应用
例 已知函数f=lnx-x+1.
若xf′≤x2+ax+1,求a的取值范围;
证明:
f≥0.
【答题模板】
解 ∵f′=x+1x+ln
x-1=lnx+1x,x>0,
∴xf′=xlnx+1.由xf′≤x2+ax+1,
得a≥lnx-x,令g=lnx-x,则g′=1x-1,[2分]
当0<x<1时,g′>0;
当x>1时,g′<0,[4分]
∴x=1是最大值点,gmax=g=-1,∴a≥-1,
∴a的取值范围为[-1,+∞).[6分]
证明 由知g=lnx-x≤g=-1,∴lnx-x+1≤0.是快速解决的关键.)[8分]
当0<x<1时,x-1<0,f=lnx-x+1=xlnx+lnx-x+1≤0,
∴f≥0.
当x≥1时,x-1>0,f=lnx-x+1
=lnx+xlnx-x+1
=lnx-xln1x-1x+1≥0,
∴f≥0.[11分]
综上,f≥0.[12分]
【突破思维障碍】
本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力,同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.通过转化,本题实质还是利用单调性求最值问题.
.求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要分类讨论参数的范围.若已知函数单调性求参数范围时,隐含恒成立思想.
2.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:
分析实际问题中各变量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出相应的函数关系式y=f;
求函数的导数f′,解方程f′=0;
比较函数的区间端点对应的函数值和极值,确定最值;
回到实际问题,作出解答.
一、选择题
.已知曲线c:
y=2x2-x3,点P,直线l过点P且与曲线c相切于点Q,则点Q的横坐标为
A.-1
B.1
c.-2
D.2
2.已知函数y=f,y=g的导函数的图象如图所示,那么y=f,y=g的图象可能是
3.设f′是函数f的导函数,y=f′的图象如图所示,则y=f的图象最有可能是
4.函数f=-x3+x2+tx+t在上是增函数,则t的取值范围是
A.t>5
B.t<5
c.t≥5
D.t≤5
5.若函数f=sinxx,且0<x1<x2<1,设a=sinx1x1,b=sinx2x2,则a,b的大小关系是
A.a>b
B.a<b
c.a=b
D.a、b的大小不能确定
题号
2
3
4
5
答案
二、填空题
6.在直径为d的圆木中,截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁,则矩形面的长为________.
7.要建造一个长方体形状的仓库,其内部的高为3m,长和宽的和为20m,则仓库容积的最大值为_____________________________________________________________m3.
8.若函数f=4xx2+1在区间上是单调递增函数,则实数m的取值范围为________.
三、解答题
9.已知函数f=122-ln.
求f的单调区间;
若x∈[1e-1,e-1]时,f<m恒成立,求m的取值范围.
0.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用c与隔热层厚度x满足关系:
c=k3x+5,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
求k的值及f的表达式;
隔热层修建多厚时,总费用f达到最小,并求最小值.
1.设函数f=lnx,g=ax+bx,函数f的图象与x轴的交点也在函数g的图象上,且在此点有公共切线.
求a、b的值;
对任意x>0,试比较f与g的大小.
答案
自主梳理
.连续 ①极值 ②端点值
自我检测
.B 2.D 3.c
4.12,12eπ2 5.6
课堂活动区
例1 解题导引 求函数在闭区间上的最值,首先应判断函数在闭区间上的单调性,一般方法是令f′=0,求出x值后,再判断函数在各区间上的单调性,在这里一般要用到分类讨论的思想,讨论的标准通常是极值点与区间端点的大小关系,确定单调性或具体情况.
解 ∵f=x2e-ax,
∴f′=2xe-ax+x2•e-ax=e-ax.
令f′>0,即e-ax>0,
得0<x<2a.
∴f在,2a,+∞上是减函数,
在0,2a上是增函数.
①当0<2a<1,即a>2时,f在[1,2]上是减函数,
∴fmax=f=e-a.
②当1≤2a≤2,即1≤a≤2时,f在1,2a上是增函数,在2a,2上是减函数,
∴fmax=f2a=4a-2e-2.
③当2a>2,即0<a<1时,f在[1,2]上是增函数,
∴fmax=f=4e-2a.
综上所述,
当0<a<1时,f的最大值为4e-2a;
当1≤a≤2时,f的最大值为4a-2e-2;
当a>2时,f的最大值为e-a.
变式迁移1 解 函数f的定义域为,
f′=a•1-lnxx2,
由f′=a•1-lnxx2>0,得0<x<e;
由f′<0,得x>e.
故f在上单调递增,在上单调递减.
∵f在上单调递增,在上单调递减,
∴f在[a,2a]上的最小值[f]min=min{f,f}.∵f-f=12lna2,
∴当0<a≤2时,[f]min=lna;
当a>2时,[f]min=ln2a2.
例2 解题导引 利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数,通过研究函数的性质进而解决不等式问题.
解 f′=x-ax=x2-ax,
若a≤0时,f′>0恒成立,
∴函数f的单调增区间为.
若a>0时,令f′>0,得x>a,
∴函数f的单调增区间为,减区间为.
证明 设F=23x3-,
故F′=2x2-x-1x.
∴F′=x-12x2+x+1x.
∵x>1,∴F′>0.
∴F在上为增函数.
又F在上连续,F=16>0,
∴F>16在上恒成立.∴F>0.
∴当x>1时,12x2+lnx<23x3.
变式迁移2 解 由f=ex-2x+2a,x∈R,
知f′=ex-2,x∈R.
令f′=0,得x=ln2.于是当x变化时,
f′,f的变化情况如下表:
x
ln2
f′
-
0
+
f
极小值
故f的单调递减区间是,
单调递增区间是,
f在x=ln2处取得极小值,极小值为
f=eln2-2ln2+2a=2.
证明 设g=ex-x2+2ax-1,x∈R.
于是g′=ex-2x+2a,x∈R.
由知当a>ln2-1时,
g′最小值为g′=2>0.
于是对任意x∈R,都有g′>0,
所以g在R内单调递增,于是当a>ln2-1时,
对任意x∈,都有g>g.
而g=0,从而对任意x∈,都有g>0,
即ex-x2+2ax-1>0,
故ex>x2-2ax+1.
例3 解 分公司一年的利润L与售价x的函数关系式为L=2,x∈[9,11].
L′=2-2
=.
令L′=0,得x=6+23a或x=12.
∵3≤a≤5,∴8≤6+23a≤283.
在x=6+23a两侧L′的值由正变负.
∴①当8≤6+23a<9,即3≤a<92时,
Lmax=L=2=9.
②当9≤6+23a≤283,即92≤a≤5时,
Lmax=L=[12-]2
=43.
所以Q=96-a, 3≤a<92,43-13a3,
92≤a≤5.
综上,若3≤a<92,则当每件售价为9元时,分公司一年的利润L最大,最大值Q=9;
若92≤a≤5,则当每件售价为元时,分公司一年的利润L最大,最大值Q=43.
变式迁移3 解 因为赔付价格为S元/吨,
所以乙方的实际年利润为ω=XXt-St.
由ω′=1000t-S=1000-Stt,
令ω′=0,得t=t0=2.
当t<t0时,ω′>0;当t>t0时,ω′<0.
所以当t=t0时,ω取得最大值.
因此乙方获得最大利润的年产量为2吨.
设甲方净收入为v元,则v=St-0.002t2.
将t=2代入上式,得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式:
v=10002S-2×10003S4.
又v′=-10002S2+8×10003S5=10002×8000-S3S5,
令v′=0,得S=20.
当S<20时,v′>0;
当S>20时,v′<0,
所以S=20时,v取得最大值.
因此甲方向乙方要求赔付价格S=20元/吨时,可获得最大净收入.
课后练习区
.A 2.D 3.c 4.c 5.A
6.63d
解析 如图所示,为圆木的横截面,
由b2+h2=d2,
∴bh2=b.
设f=b,
∴f′=-3b2+d2.
令f′=0,由b>0,
∴b=33d,且在上f′>0,在[33d,d]上f′<0.
∴函数f在b=33d处取极大值,也是最大值,即抗弯强度最大,此时长h=63d.
7.300
解析 设长为xm,则宽为m,仓库的容积为V,则V=x•3=-3x2+60x,V′=-6x+60,
令V′=0得x=10.
当0<x<10时,V′>0;当x>10时,V′<0,
∴x=10时,V最大=300.
8.=41-x2x2+12≥0,解得-1≤x≤1.
由已知得⊆[-1,1],即m≥-12m+1≤1m<2m+1,
解得-1<m≤0.
9.解 ∵f=122-ln,
∴f′=-11+x=x2+x1+x.
……………………………………………………………………………………………
∴f在上单调递增,
在上单调递减.…………………………………………………………………
令f′=0,即x=0,则
x
0
f′
-
0
+
f
极小值
……………………………………………………………………………………………
又∵f=12e2+1,f=12e2-1>12e2+1,
又f<m在x∈[1e-1,e-1]上恒成立,
∴m>12e2-1.………………………………………………………………………………
0.解 设隔热层厚度为xcm,由题设,
每年能源消耗费用为c=k3x+5,
再由c=8,得k=40,因此c=403x+5,…………………………………………
而建造费用为c1=6x.…………………………………………………………………
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f=20c+c1=20×403x+5+6x
=8003x+5+6x.………………………………………………………………
f′=6-24003x+52,令f′=0,
即24003x+52=6,解得x=5,x=-253.…………………………………………
当0<x<5时,f′<0,
当5<x<10时,f′>0,………………………………………………………………
故x=5是f的最小值点,
对应的最小值为f=6×5+80015+5=70.
当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值70万元.
……………………………………………………………………………………………
1.解 f=lnx的图象与x轴的交点坐标是,
依题意,得g=a+b=0.①……………………………………………………………
又f′=1x,g′=a-bx2,
且f与g在点处有公共切线,
∴g′=f′=1,即a-b=1.②……………………………………………………
由①②得a=12,b=-12.…………………………………………………………………
令F=f-g,则
F=lnx-=lnx-12x+12x,
∴F′=1x-12-12x2=-122≤0.
∴F在上为减函数.………………………………………………………
当0<x<1时,F>F=0,即f>g;
当x=1时,F=0,即f=g;
当x>1时,F<F=0,即f<g.
综上,0<x<1时,f>g;
x=1时,f=g;
x>1时f<g.…………………………………………………………………………
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