高中数学导数题型总结材料.docx
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高中数学导数题型总结材料
标准文档
实用文案导数
经典例题剖析
考点一:
求导公式。
例1.()fx?
是31()213fxxx?
?
?
的导函数,则
(1)f?
?
的值是
。
考点二:
导数的几何意义。
例2.已知函数()yfx?
的图象在点(1
(1))Mf,处的切线方程是122yx?
?
,则
(1)
(1)ff?
?
?
。
例3.曲线32242yxxx?
?
?
?
在点(13)?
,处的切线方程是
。
考点三:
导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线C:
xxxy2323?
?
?
,直线kxyl?
:
,且直线l与曲线C相切于点?
?
00,yx00?
x,求直线l的方程及切点坐标。
考点四:
函数的单调性。
例5.已知?
?
1323?
?
?
?
xxaxxf在R上是减函数,求a的取值范围。
例6.设函数32()2338fxxaxbxc?
?
?
?
在1x?
及2x?
时取得极值。
(1)求a、b的值;
(2)若对于任意的[03]x?
,,都有2()fxc?
成立,求c的取值范围。
点评:
本题考查利用导数求函数的极值。
求可导函数?
?
xf的极值步骤:
①求导数?
?
xf';
②求?
?
0'?
xf的根;③将?
?
0'?
xf的根在数轴上标出,得出单调区间,由?
?
xf'在各区间上取值的正负可确定并求出函数?
?
xf的极值。
例7.已知a为实数,?
?
?
?
?
?
axxxf?
?
?
42。
求导数?
?
xf';
(2)若?
?
01'?
?
f,求?
?
xf在区间?
?
2,2?
上的最大值和最小值。
解析:
(1)?
?
axaxxxf4423?
?
?
?
,?
?
?
423'2?
?
?
axxxf。
标准文档
实用文案
(2)?
?
04231'?
?
?
?
?
af,21?
?
a。
?
?
?
?
?
?
14343'2?
?
?
?
?
?
?
xxxxxf
令?
?
0'?
xf,即?
?
?
?
0143?
?
?
xx,解得1?
?
x或34?
x,则?
?
xf和?
?
xf'在区间?
?
2,2?
上随x的变化情况如下表:
x2?
?
?
1,2?
?
1?
?
?
?
?
?
?
?
34,134?
?
?
?
?
?
2,342
?
?
xf'+0—
0+
?
?
xf0
增函数极大值减函数极小值增函数0
?
?
291?
?
f,275034?
?
?
?
?
?
?
?
f。
所以,?
?
xf在区间?
?
2,2?
上的最大值为275034?
?
?
?
?
?
?
?
f,最小值为?
?
291?
?
f。
答案:
(1)?
?
423'2?
?
?
axxxf;
(2)最大值为275034?
?
?
?
?
?
?
?
f,最小值为?
?
291?
?
f。
点评:
本题考查可导函数最值的求法。
求可导函数?
?
xf在区间?
?
ba,上的最值,要先求出函数?
?
xf在区间?
?
ba,上的极值,然后与?
?
af和?
?
bf进行比较,从而得出函数的最大最小值。
考点七:
导数的综合性问题。
例8.设函数3()f
xaxbxc?
?
?
(0)a?
为奇函数,其图象在点(1,
(1))f处的切线与直线670xy?
?
?
垂直,导函数'()fx的最小值为12?
。
(1)求a,b,c的值;
(2)求函数()fx的单调递增区间,并求函数()fx在[1,3]?
上的最大值和最小值。
解析:
(1)∵()fx为奇函数,∴()()fxfx?
?
?
,即33axbxcaxbxc?
?
?
?
?
?
?
∴0c?
,∵2'()3fxaxb?
?
的最小值为12?
,∴12b?
?
,又直线670xy?
?
?
的斜率为16,因此,'
(1)36fab?
?
?
?
,∴2a?
,12b?
?
,0c?
.
(2)3()212fxxx?
?
。
2'()6126
(2)
(2)fxxxx?
?
?
?
?
,列表如下:
标准文档
实用文案
x(,2)?
?
?
2?
(2,
2)?
2(2,)
?
?
'()fx?
0?
0?
()fx增函极减函极增函数
所以函数()fx的单
调增区间
是(,2)?
?
?
和(2,)?
?
,∵
(1)10f?
?
,
(2)82f?
?
,(3)18f?
,∴()fx在[1,3]?
上的最大值是(3)18f?
,最小值是
(2)82f?
?
。
答案:
(1)2a?
,12b?
?
,0c?
;
(2)最大值是(3)18f?
,最小值是
(2)82f?
?
。
点评:
本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以及推理能力和运算能力。
导数强化训练
(一)选择题
1.已知曲线24xy?
的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为(A)
A.1
B.2
C.3D.4
2.曲线1323?
?
?
xxy在点(1,-1)处的切线方程为(B)
A.43?
?
xyB.23?
?
?
xyC.34?
?
?
xyD.54?
?
xy
3.函数)1()1(2?
?
?
xxy在1?
x处的导数等于(D)
A.1B.2C.3D.4
4.已知函数)(,31)(xfxxf则处的导数为在?
的解析式可能为(A)
A.)1(3)1()(2?
?
?
?
xxxfB.)1
(2)(?
?
xxf
C.2)1
(2)(?
?
xxfD.1)(?
?
xxf
5.函数93)(23?
?
?
?
xaxxxf,已知)(xf在3?
?
x时取得极值,则a=(D)
(A)2(B)3(C)4(D)5
6.函数32()31fxxx?
?
?
是减函数的区间为(D)
标准文档
实用文案(A)(2,)?
?
(B)(,2)?
?
(C)(,0)?
?
(D)(0,2)
7.若函数?
?
cbxxxf?
?
?
2的图象的顶点在第四象限,则函数?
?
xf'的图象是(A)
8.函数23
1()23fxx
x?
?
在区间[0,6]上的最大值是(A
)
A.323B.163C.12D.9
9.函数xxy33?
?
的极大值为m,极小值为n,则nm?
为(A)
A.0
B.1C.2D.4
10.三次函数?
?
xaxxf?
?
3在?
?
?
?
?
?
?
x内是增函数,则(A)
A.0?
aB.0?
a
C.1?
aD.31?
a
11.在函数xxy83?
?
的图象上,其切线的倾斜角小于4?
的点中,坐标为整数的点的个数是(D)
A.3
B.2
C.1
D.0
12.函数)(xf的定义域为开区间),(ba,导函数)(xf?
在),(ba内的图象如图所示,则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点(A)
A.1个B.2个
C.3个D.4个
(二)填空题
13.曲线3xy?
在点?
?
1,1处的切线与x轴、直线2?
x所围成的三角形的面积为__________。
x
y
o
Ax
y
oD
x
y
oC
x
y
oB
abxy)(xfy?
?
O
标准文档
实用文案14.已知曲线31433yx?
?
,则过点(2,4)P“改为在点(2,4)P”的切线方程是______________15.已知()()nfx是对函数()fx连续进行n次求导,若65()fxxx?
?
,对于任意xR?
,都有()()nfx=0,则n的最少值为
。
16.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x?
吨.
(三)解答题
17.已知函数?
?
cbxaxxxf?
?
?
?
23,当1?
?
x时,取得极大值7;当3?
x时,取得极小值.求这个极小值及cba,,的值.
18.已知函数.93)(23axxxxf?
?
?
?
?
(1)求)(xf的单调减区间;
(2)若)(xf在区间[-2,2].上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
19.设0?
t,点P(t,0)是函数cbxxgaxxxf?
?
?
?
23)()(与的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线。
(1)用t表示cba,,;
标准文档
实用文案
(2)若函数)()(xgxfy?
?
在(-1,3)上单调递减,求t的取值范围。
20.设函数?
?
32()fxxbxcxxR?
?
?
?
,已知()()()gxfxfx?
?
?
是奇函数。
(1)求b、c的值。
(2)求()gx的单调区间与极值。
21.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:
1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?
最大体积是多少?
22.已知函数3211()32fxxaxbx?
?
?
在区间[11)?
,,(13],内各有一个极值点.
(1)求24ab?
的最大值;
(1)当248ab?
?
时,设函数()yfx?
在点(1
(1))Af,处的切线为l,若l在点A处穿过函数()yfx?
的图象(即动点在点A附近沿曲线()yfx?
运动,经过点A时,从l的一侧进入另一侧),求函数()fx的表达式.
强化训练答案:
1.A2.B3.D4.A5.D6.D7.A8.A9.A10.A11.D12.A
(四)填空题
13.
3814.044?
?
?
xy15.716.20(五)解答题
17.解:
?
?
baxxxf?
?
?
23'2。
据题意,-1,3是方程0232?
?
?
baxx的两个根,由韦达定理得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3313231ba
标准文档
实用文案∴9,3?
?
?
?
ba
∴?
?
cxxxxf?
?
?
?
9323
∵?
?
71?
?
f,∴2?
c
极小值?
?
25239333323?
?
?
?
?
?
?
?
f
∴极小值为-25,9,3?
?
?
?
ba,2?
c。
18.解:
(1).963)(2?
?
?
?
?
xxxf令0)(?
?
xf,解得,31?
?
?
xx或
所以函数)(xf的单调递减区间为).,3(),1,(?
?
?
?
?
(2)因为,218128)2(aaf?
?
?
?
?
?
?
2218128)2(aaf?
?
?
?
?
?
?
所以).2()2(?
?
ff因为在(-1,3)上0)(?
?
xf,所以)(xf在[-1,2]上单调递增,又由于)(xf在[-2,-1]上单调递减,因此)2(f和)1(?
f分别是)(xf在区间?
?
2,2?
上的最大值和最小值.于是有2022?
?
a,解得.2?
?
a
故.293)(23?
?
?
?
?
xxxxf因此,72931)1(?
?
?
?
?
?
?
f
即函数)(xf在区间?
?
2,2?
上的最小值为-7.
19.解:
(1)因为函数)(xf,)(xg的图象都过点(t,0),所以0)(?
tf,
即03?
?
att.因为,0?
t所以2ta?
?
..,0,0)(2abccbttg?
?
?
?
所以即
又因为)(xf,)(xg在点(t,0)处有相同的切线,所以).()(tgtf?
?
?
而.23,2)(,3)(22btatbxxgaxxf?
?
?
?
?
?
?
所以
将2ta?
?
代入上式得.tb?
因此.3tabc?
?
?
故2ta?
?
,tb?
,.3tc?
?
(2)))(3(23,)()(223223txtxttxxyttxxtxxgxfy?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.
当0))(3(?
?
?
?
?
txtxy时,函数)()(xgxfy?
?
单调递减.由0?
?
y,若txtt?
?
?
?
3,0则
;若.3,0txtt?
?
?
?
则
由题意,函数)()(xgxfy?
?
在(-1,3)上单调递减,则
标准文档
实用文案
).3,()3,1(),3()3,1(tttt?
?
?
?
?
?
或
所以.39.333?
?
?
?
?
?
tttt或即或
又当39?
?
?
t时,函数)()(xgxfy?
?
在(-1,3)上单调递减.
所以t的取值范围为).,3[]9,(?
?
?
?
?
?
20.解:
(1)∵?
?
32fxxbxcx?
?
?
,∴?
?
232fxxbxc?
?
?
?
。
从而322()()()(32)gxfxfxxbxcxxbxc?
?
?
?
?
?
?
?
?
=32(3)
(2)xbxcbxc?
?
?
?
?
是一个奇函数,所以(0)0g?
得0c?
,由奇函数定义得3b?
;
(2)由(Ⅰ)知3()6gxxx?
?
,从而2()36gxx?
?
?
,由此可知,
(,2)?
?
?
和(2,)?
?
是函数()gx是单调递增区间;
(2,2)?
是函数()gx是单调递减区间;
()gx
在2x?
?
时,取得极大值,
极大值为42,()gx
在2x?
时,取得极小值,
极小值为42?
。
21.解:
设长方体的宽为x(m),则长为x2(m),高为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
230(m)35.441218<<xxxh.
故长方体的体积为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2306935.423322xmxxxxxV
从而).1(18)35.4(1818)(2xxxxxxV?
?
?
?
?
?
令?
?
0'?
xV,解得0?
x(舍去)或1?
x,因此1?
x.
当10?
?
x时,?
?
0'?
xV;当231?
?
x时,?
?
0'?
xV,
故在1?
x处?
?
xV取得极大值,并且这个极大值就是?
?
xV的最大值。
从而最大体积?
?
?
?
3321619'mxVV?
?
?
?
?
,此时长方体的长为2m,高为1.5m.
答:
当长方体的长为2m时,宽为1m,高为1.5m时,体积最大,最大体积为33m。
22.解:
(1
)因为函数3211()32fxxaxbx?
?
?
在区间[11)?
,,(13],内分别有一个极值点,所以2()fxxaxb?
?
?
?
0?
在[11)?
,,(13],内分别有一个实根,
设两实根为12xx,(12xx?
),则2214xxab?
?
?
,且2104xx?
?
≤.于是
2044ab?
?
≤,20416ab?
?
≤,且当11x?
?
,23x?
,即2a?
?
,3b?
?
时等号成立.故
标准文档
实用文案24ab?
的最大值是16.
(2)解法一:
由
(1)1fab?
?
?
?
知()fx在点(1
(1))f,处的切线l的方程是
(1)
(1)
(1)yffx?
?
?
?
,即21
(1)32yabxa?
?
?
?
?
,
因为切线l在点(1())Afx,处空过()yfx?
的图象,
所以21()()[
(1)]32gxfxabxa?
?
?
?
?
?
在1x?
两边附近的函数值异号,则
1x?
不是()gx的极值点.
而()g
x321121
(1)3232xaxbxabxa?
?
?
?
?
?
?
?
,且
22()
(1)1
(1)
(1)gxxaxbabxaxaxxa?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.
若11a?
?
?
,则1x?
和1xa?
?
?
都是()gx的极值点.
所以11a?
?
?
,即2a?
?
,又由248ab?
?
,得1b?
?
,故321()3fxxxx?
?
?
.
解法二:
同解法一得21()()[
(1)]32gxfxabxa?
?
?
?
?
?
2133
(1)[
(1)
(2)]322axxxa?
?
?
?
?
?
.
因为切线l在点(1
(1))Af,处穿过()yfx?
的图象,所以()gx在1x?
两边附近的函数值异号,于是存在12mm,(121mm?
?
).
当11mx?
?
时,()0gx?
,当21xm?
?
时,()0gx?
;
或当11mx?
?
时,()0gx?
,当21xm?
?
时,()0gx?
.
设233()1222aahxxx?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,则
当11mx?
?
时,()0hx?
,当21xm?
?
时,()0hx?
;
或当11mx?
?
时,()0hx?
,当21xm?
?
时,()0hx?
.
由
(1)0h?
知1x?
是()hx
的一个极值点,则3
(1)21102ah?
?
?
?
?
,
所以2a?
?
,又由248ab?
?
,得1b?
?
,故321()3fxxxx?
?
?
.
标准文档
实用文案
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