高一数学平面与平面平行的性质.docx
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第三课时 平面与平面平行的性质
一、教学目标:
1、知识与技能
掌握两个平面平行的性质定理及其应用
2、过程与方法
学生通过观察与类比,借助实物模型理解及其应用
3、情感、态度与价值观
(1)进一步提高学生空间想象能力、思维能力;
(2)进一步体会类比的作用;
(3)进一步渗透等价转化的思想。
二、教学重点、难点
重点:
平面与平面平等的性质定理难点:
平面与平面平等的运用
三、教学方法
教学过
设计意
教学内容 师生互动
程 图
1.直线和平面平行的性质
新课导
师生共同复习.教师点出 复习巩
2.平面和平面平行的性质
入 主题. 固
3.线线平等 线面平行→
讲录结合
面面平行
平面和平面平行的性 师:
请同学们思考:
质 两个平面平行,那么其中
1.思考:
(1)两个平一个平面内的直线与另一
新教材常
面平行,那么其中一个平
面内的直线与另一个面具有什么关系?
面具有什么关系?
生:
借助长方体模型可以发现,若平面AC和
常要将
面面平行转化
(2)两个平面平行,平面A′C′平行,则两面无
为线面
其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有
公共点,那么出就意味着平面AC内任一直线BD
平行讨论,但
探索新什么关系?
和平面A′C′也无公共点,没有给
知
(2)两个平面平行,即直线BD和平面A′C′平 出 结
其中一个平面内的直线与行.另一平面内的直线在什么
师:
用式子可表示为
论,故补充,
条件下不平行?
2.例1 如图,已知平面 , ,满足 // ,
a, b,证:
a∥
b.
// ,a // .
用语言表述就是:
如果两个平面平行,
那么其中一个平面内的直线平行于另一平面.(板书)
生:
由问题知直线BD
只是不
作太多强调.
加深对知识的理解
证明:
因为 r a,
r b,
所以a ,b .
又因为// ,
所以a、b没有公共
点,
又因为a、b同在平面内,
所以a∥b.3.定理
与平面A′C′平行.BD与平面A′C′没有公共点.也就是说,BD与平面
A′C′内的所有直线没有公共点.因此,直线BD与平面A′C′内的所有直线要么是异面直线,要么是平行直线.
生:
由问题2知要两条直线平行,只要他们共
如果两个平行平面面即可.
同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
师:
我们把刚才这个结论用符号表示,即是例
上述定理告诉我们,5的证明.
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行.
师生共同完成并得出性质定理.
师引导学生得出结论:
两个平行平面的判定定理与性质定理的作用,要害都集中在“平行”二字上,判定定理解决的问题是:
在什么样的条件下
两个平面平行.性质定理说明的问题是:
在什么样的条件下两条直线平行,前者给出了判定两个平面平行的一种方法,后者给出了判定两条直线平行的一种方法.
师下面以例题说明性质定理在解决问题时作
用.
例2夹在两个平行平
师投影例2并读题,
面间的平行线段相等,如图
学生写出已知求证并作图
(师投影)师生共同讨论,边分析边板书.
∥ ,AB∥CD,且A∈ ,
师:
要证两线段相等, 巩
典例分C∈ ,B∈ ,D∈ ,求析 证:
AB=CD.
已知给的条件又是平行关系,那么证两线段所在四
固所学知识,
证明:
如图,AB∥CD,边形是平行四边形,进而
培养学
AB、CD确定一个平面
AC, BD
// AC//BD
说明两线段相等是解决问题常选用的一条途径.
师投影例3并读题
生书写表达能
力和分
AB//CD AB CD
例3如图,已知平面// ,
分析:
满足怎样的条
析问题
AB、CD
是异面
件的直线与平面平行(线线平行或面面平),我们能
解决问题的能
直线,且AB分别交, 于
A、B两点,CD分别交,
于C、D两点.M、N分别在AB、CD上,且AM CN.
MB ND
求证:
MN∥
在平面 内找到一条直线 力.与MN平行吗?
能找一个
过MN且与 平行的平面
吗?
这样的直线和平面有
何特征!
构
证明:
如图,过点A
作AD′
∥CD,
交于D′,再在平面ABD′
内作ME∥BD′,交AD′
于E.则AMAE,
MB ED
又AM CN
MB ND
∴AE CN.
ED ND
连结EN、AC、D′D,平行线AD′与CD确定的平面与、的交线分别是
AC、D′D.
∵// ,∴AC∥D′D又AE CN
ED ND
∴EN∥AC∥D′D
证 明二:
利用过
MN的平面
AMN在平面 找与MN平行的直线(如图)
连AN设交 于E,连
结DE,AC为相交直线
AE、DC确定的平面与 、的交线.
∵//
∴AC∥DE
∴AN CN
NE ND
又AM CN
MB ND
∴AM AN
MB NE
∴在△ABC中MN∥
建知识体系,培养学生思维的灵活性.
∵EN
,DD , BE
∴EN∥ ,又MN∥ .
∴平面MEN∥
∴MN∥ .
又MN ,BE
∴MN∥
证明三:
利用过MN的平面CMN在平面中找出MN平行的直线.
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画
“√”号,错误的画“×”
号.
(1)如果a,b是两
学生独立完成
巩固所学知识
条直线,且a∥b,那么a
平行于经过b的任何平面.随堂练( )
参考答案:
1.
(1)×
(2)×
习
(2)如果直线a和平面 满足a∥ ,那么a与内的任何直线平行.
( )
(3)如果直线a,b
和平面 满足a∥ ,b∥
,那么a∥b.
(
(3)×(4)√
2.提示:
连结EE1,FF1,证明四边形
EFF1E1为平行四边形即可.
)
(4)如果直线a,b和平面 满足a∥b,a∥ ,b ,那么 b∥ .
( )
2.如图,正方体ABCD
–A′B′C′D′中,AE=A1E1,AF=A1F1,求证EF∥E1F1,且EF=E1F1.
回
归纳总结
1.平面和平面平行的性质
2.线线平行 线面平行 面面平行
学生先归纳,教师给予补充完善
顾、反思、归纳知识,提高自我整合知识能力.
课后作业
2.2第三课时习案 学生独立完成
固化知识
提升能
力
备选例题
例1 如图,设平面a∥平面 ,AB、CD是两异面直线,M、N分别是AB、CD的中点,且A、C ,B、D .求证:
MN∥ .
【证明】连接BC,取BC的中点E,分别连接ME、NE,则MN∥AC,∴ME∥平面 ,
又NE∥BD,∴NE∥ ,
又ME∩NE=E,∴平面MEN∥平面 ,
∵MN 平面MEN.∴MN∥ .
【评析】要证“面面平面”只要证“线面平面”,要证“线面平行”,只要证“线线平面”,故问题最终转化为证线与线的平行.
例2 ABCD是矩形,四个顶点在平面 内的射影分别为A′、B′、
C′、D′,直线A′B′与C′D′不重合,求证:
A′B′C′D′是平行四边形.
【证明】如图.
∵A′、B′、C′、D′分别是A、B、C、D在平面 内的射影.
∴BB′⊥ ,CC′⊥ ,
∴BB′∥CC′.
∵C≠C′ 平面CC′D′≠D,BB′ 平面CC′D′D,
∴BB′∥平面CC′D′D.
又∵ABCD是矩形,
∴AB∥CD,CD 平面CC′D′D,
≠
∴AB∥平面CC′D′D
∵AB,BB′是平面ABB′A′内的两条相交直线,
∴平面ABB′A′∥平面CC′D′D.
又 ∩平面ABB′A′=A′B′, ∩平面CC′D′D=C′D′,∴A′B′∥C′D′.同理,B′C′∥A′D′,∴A′B′C′D′是平行四边形.
【评析】在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后,空间平
等问题的证明,紧紧抓住“线线平行 线面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明.
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- 数学 平面 平行 性质