材料力学作业参考解答.docx
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材料力学作业参考解答
2-1试绘出下列各杆的轴力图
2-2(b)答:
f
Fn
vtT时
2F
2F
2-3答:
以B点为研究对象,由平面汇交力系的平衡条件
Fab97.14kN
FBC12.12kN
2-2求下列结构中指定杆内的应力。
已知
解:
(1)分析整体,作示力图
Mb(F?
)0:
(2)取部分分析,示力图见(b)
Mc(F?
)0:
(3)分析铰E,示力图见(c)
Fix0:
Fn2Fnisin0
2-3求下列各杆内的最大正应力。
Fb
Fcx
Fey
aznmc
FN2
FN2
C的横截面积为
E
(3)图(c)为变截面拉杆,上段
30mm2,杆材料的
p=78kN/m3。
解:
1.作轴力图,
BC段最大轴力在B处
AB段最大轴力在
杆件最大正应力为
400MPa,发生在B截面。
Fa
AB的横截面积为
A
12.0
2-4一直径为15mm,标距为200mm的合金钢杆,
比例极限内进行拉伸试验
B
12.0
当轴(kN)
向荷载从零缓慢地增加58.4kN时,杆伸长了0.9mm
,直径缩小了0.022mm,
确定
材料的弹性模量E、泊松比v
解:
加载至58.4kN时,杆件横截面中心正应力为
线应变:
0.9103.
200
103
4.510
弹性模量:
E
侧向线应变:
330.48MPa4.5103心103MPa
=°.°22151.467103
0.326
泊松比:
2-6图示短柱,上段为钢制,长200mm,截面尺寸为100X100mm2;下段为铝制,
长300mm,截面尺寸为200X200mm2。
当柱顶受F力作用时,柱子总长度减少了
0.4mm,试求F值。
已知E钢=200GPa,E铝=70GPa。
解:
柱中的轴力都为
F,总的变形(缩短)为:
2-7图示等直杆AC,
材料的容重为pg,弹性模量为E,
横截面积为A。
求直杆
B截面的位移△b。
解:
AB段内轴力Fn1FgAx
BC段内轴力Fn22FgAx
B点位移为杆BC的伸长量:
2-8图示结构中,AB可视为刚性杆,AD为钢杆,面积
A1=500mm2,弹性模量
Ei=200GPa;CG为铜杆,面积A?
=1500mm2,弹性模量E2=100GPa;BE为木杆,面
积A3=3000mm2,弹性模量E3=10GPa。
当G点处作用有F=60kN时,求该点的竖直
解:
(1)求①、②杆轴力
、Jk
由平衡方程可以求出:
(2)求杆的变形
Al1
E1A
FN2lCG
200109500106
601030.5
E2A
FN3lBE
100
1091500106
201031
E3A
10
109
3000106
2
FN11AD
△l2
401031
104m
104m
(压缩)
(拉伸)
6.67106m(压缩)
21
(3)由几何关系:
G42-—Al1-4尸6.89104m(下降)
33
2-9答:
任一截面上轴力为F,由
x2b
x竺得面积为
ld1d2
伸长量为
2-11图示一挡水墙示意图,其中AB杆支承着挡水墙,
若AB杆为圆截面,材料为松木,其容许应力[
径。
d-
各部彳
试求
解:
(1)求水压力的合力:
(2)作示力图(a)由平衡方程求轴力
(3)由强度条件,设计截面尺寸:
Ma
0,
1001
4001F3
20
Fix
0,
100F2
、2/20
Fiy
0,
F1F2
2/2F3
400
FN1/A1
[
c],A1
2
500mm
FN2/A2
[
c],A2
2
1414mm
Fn3/A3
[
c],A3
2
2500mm
2-12图示结构中的
CD杆为刚性杆,
=160MPa,
弹性模量
E=2.0X10
5MPa。
2-10答:
对水塔
0
求AB杆的轴力Fn
解:
(1)
试求结构的容许荷载F。
Mc(Fi)0:
(2)
由强度条件求F
2-14图示AB为刚性杆,长为3a
劄尺寸均
d=11Mpa,
示于图中。
B杆所需的直
4m
2m
FN
4_L
1
3m
*■
G>
°\
|1mImT
AB杆为钢杆,直径d=30mm,容许应力]d
A端铰接于
墙壁上,在C、B两处分别用同材料、同面积的①、②两杆拉住,使AB杆保持水平。
在D点作用荷载F后,求两杆内产生的应力。
设弹性模量为E,横截面面积为A。
解:
1•本题为超静定问题,
见图(a),设AB杆产生角位移,则
l23a,
2.由Hooke定律:
EA
FN1l1EA
a
EA
FN2121.5EA
2a
3.由平衡方程:
MaL)0:
4.由Hooke定律:
①
0.3636FA
②Fn2a0.5454FA
2-15两端固定,长度为I,横截面面积为A,弹性模量为E的正方形杆,在B、
C截面处各受一F力作用。
求B、C截面间的相对位移
解:
1.本题为超静定问题
解除A截面处约束,代之约束力Fna,见图(a)
A截面的位移为杆件的总变形量
ABBCCD
FnaI3(FnaF)l3(Fna2F)I3eaEAEA
FnaIFl
"EAEA
2.由约束条件A0得:
3.见图(b),求BC段轴力
由平衡条件可知:
所以B,C截面相对位移为
BC
FnI3
EA
A
B
C
D
Fna
F
Fna
(a)
Fn
(b)
3-1试作下列各杆的扭矩图。
径d=§0mn的圆杆,其两端受
3点处的切应力和最大切应变丿并在此三点处
10N'inN-iii
lkN-111AkNm
$企
-5'宀山_的作用而发生扭转一
画出切应力的方向\解:
横截面上切应力1大小沿半径线性分布,方向垂直半径hi1|血[|J3从直径为300mm的实心轴中镗出一个直径为Mx150mJ的通孔而成为"丄口J艸:
(kN?
m):
'
3-2
上1,
t力偶矩T=2kN
扭转o试求横截面
(G=8
3-3从直径为300mm的实心轴中镗应力增大了百分之几?
:
解:
实心轴max1性卵
;;WP1
---x
max2,c■—
10WP2
最大切应力增大了
心轴,T问最大切
x
16Mx16Mx
100%P100%
0.5.100%6.67%
10.54
100d3
3-4一端固定、一端自由的钢圆轴,其几何尺寸及受力情况如图所示(空心处有两段,内径10mm外径30mm,试求:
(1)轴的最大切应力。
⑵两端截面的相对扭转角(G=80GPa)。
解:
(1)作扭矩图,
AB段中最大切应力
max
35.56MPa
33106
C
A
B
D
CD段中最大切应力
所以轴中,max35.56MPa
(2)相对扭转角分四段计算
3-2
解:
30刃40Ji
一变截面实心圆轴,受图示外力偶矩作用,求轴的最大切应力
60j
j
300
作扭矩图,
可见最大切应力发生在AB段
100
E
;BC段为空心,外径为50mm,内
一圆轴AC如[图所
AB段为实心,直径为5om
径为35mm。
要使杆的总扭转角为0l2°,试确定bC段的长度占。
设G=80GPa。
3-5
解:
(1)作扭矩
(2)杆件A、C截面相对扭转角分两段计算
△AC△BC△BA
MxaMx0.9a
GIP14GIp
300
3-8传动轴的转速为n=500转/分,主动轮输入功率率P2=200kW,P3=300kW。
已知]T=70MPa,
⑴确定AB段的直径d1和BC段的直径d2o
⑵若AB和BC两段选用同一直径,试确定直径
P1=500
kW,
从动轮
》2、3
=
1°
/m
,(
-
10
4m
Pa。
900
分别输出功
]
Mx
do
解:
(1)由输入和输出功率求等效力偶,作扭矩图
T1
9.55
500
9.55kN
m
T2
200
9.55
500
3.82kN
m
T3
300
9.55
500
5.73kN
m
由强度条件:
Mxmax
max
WP
由刚度条件:
M
max
xmax
500
C
A
5.73
9.55Mx
M
xmax
Wp
1,91
0.4775
p
为满足强度和刚度条件,AB段的直径d取91mm;BC段的直径d取80mm。
(2)若AB和BC两段选用同一直径,直径d取91mm。
3-7图示传动轴的转速为200转/分,从主动轮3上输入的功率是80kW,由1、2、4、5
轮分别输出的功率为25、15、30和10KW。
设]T=20Mpa
(1)试按强度条件选定轴的直径。
⑵若轴改用变截面,试分别定出每一段轴的直径。
解:
1.由输入和输出功率计算等3效力偶1.91
2•作扭转图
(1
Mxmax1.91kNm,
d取79mm,适用于全轴。
(2)d;161.1937510‘,d167mm适用于1,2轮之间
2010
3
d;160.477510,d350mm适用于4,5轮之间
2010
3-14工字形薄壁截面杆,长2m,两端受0.2kNm的力偶矩作用。
设G=80GPa,求此杆的最大切应力及杆单位长度的扭转角。
解:
2-16试校核图示销钉的剪切强度。
已知F=120kN,销钉直径d=30mm,材料
的容许应力]T=70MPa。
若强度不够,应改用多大直径的销钉
解:
3
12010
2A29/4104
84.88MPa不满足强度条件
3-10(b)
解:
中心
1036.93kN
等效后:
MF(20080/3)
80
120
F
F=40kN,d=20mm
c位置人80/3
由F引起的切应力
由M引起的剪切力满足
解得FC39.8kN
C铆钉切应力最大
2-17两块钢板塔接,铆钉直径为25mm,排列如图所示。
已知[T=100MPa,[氐]=280MPa,板①的容许应力]“=160MPa,板②的容许应力]“=140MPa,求拉力F的许可值,如果铆钉排列次序相反,即自上而下,第一排是两个铆钉,第二排是三个铆钉,则F值如何改变?
解:
1•铆钉强度,求F
抗剪强度:
挤压强度
F5
bs52.51.6104280106
560kN
2.板的抗拉强度条件求F,A的截面
B截面:
综合上述结果,F的许可值取245.4kN(最小值)
3•改变铆钉排列后,求解过程与上述相同。
FN
3-6答:
3-10图(a)所示托架,受力F=40kN,铆钉直径d=20mm,铆钉为险铆钉上的切应力的大小及方向。
A
F
单剪,求最危
解:
将F等效移至铆钉群中
1.
2.
F1
由F引起的切应力(每个铆钉大小相
同,方向向下)先求由M引起的各铆钉剪力,见图(b)解得:
33kN,F211kN上部和底部铆钉中
2=33103
F1
105.04MPa(水平方向)
104
F2
心,得力偶,
-o
B
►F1
F2
切应力最大
(b)
22
4
3.最大切应力
A-2试求图形水平形心轴z的位置,并求影阴线部分面积对z轴的面积矩$。
解:
分三块计算(c)
形心轴位置
A-3试计算(b)图形对y,z轴的惯性矩和惯性积。
解:
查型钢表得
20a号工字钢几何性质:
h200mm,
Iz
2370cm4,ly158cm4
故IzIz
136
0.11.4100.10.014
2
0.107
\\
"yr
2
J
京
T
W//3//A
A2
z
IOOn14
壮兰
z^
10()*14
z
2F
弯矩M
2F
(铅直向上)
1-1
2
剪力方程
Fq(x)
Fa
B
Fq(x)
0(21
5ql/2
弯矩方程:
M(x)
Ik
o
1.251
弯矩与荷载集度之间的关系作下列各梁的剪力图和弯矩图o3ql/2
13/3kN
F
f
4Fl
m
申截面形
Fa
o
11/3
Fq
/kN
Fq
Fq
(C)支座反力
解:
支座反力
m位置距离右端13/6m
2kNm
(b)支座反力Fa29/3kN,Fa
梁分3段,6个控制面
解:
(b)自右向左分析:
1-1截面Fq1
x31)
2-2截面Fq2
5qlx
2
5ql
5ql
5-1图(a)所示钢梁(E=2.0x105MPa)具有(b)、式下梁的曲率半径,最大拉、压应力及其所在位置
688
6
2qx(0x2l)
h
11
由方程作图
注意标出最大弯矩所在截面位置及最大弯矩值。
4-3利用剪力
解:
(a)自左向右分析(这样不需要计算固定端反力性梁分3段,5个控制面
qx2(0x2l)
20kN
3
弯矩Mfl2Fl
FQ10,M14kN
m;Fq2
13一m
6
1ImInfa
11/3kN,M3
2-2截面Fq22/3kN,弯矩M212kNm
截面Fq16kN,弯矩M112kNm
6kN,M22kN
0,M13Fl;FQ20,M23Fl
A-8计算图示(a)图形的形心主惯性矩。
解:
1.首先求形心位置:
2.求惯性矩
4-1求下列各梁指定截面上的剪力和弯矩。
0,M43.5FI
F,M33.5Fl;Fq4
Mmax169/36kN
3Fl
hr1111ifrkNm4kNf3kK」m1
It—41
4-2写出下列各梁的剪力方程、弯矩方程,并作剪力图和弯矩图。
3
3ql,自左向右分析
2
由对称性,lyz0
0
5:
8
:
C
121:
r亚I5
一25ql2/16
L'丄(
」*
解:
(b)截面
M
max
Wz
14.81MPa(上拉下压)
12
0.10.18
6
(C)截面
形心位置:
18050251805014082.5mm
5-4求梁指定截面
218050
a-a上指定点D处的正应力,及梁的最大拉应力
tmax和最大压应力
cmax0
a-a截面弯矩
解:
1•求弯矩
最大弯矩:
Mmax
支座反力:
FA
3
6.67102
8207.512.91100.0754MPa
z
■i
=150
h:
2.求形心轴
截面a-a上指定点D:
max
36252.7108
4-5解:
5-5图示梁的横截面,其上受绕水平中性轴转动的弯矩。
若横截面上的最大正应力为
40MPa,试问:
工字形截面腹板和翼缘上,各承受总弯矩的百分之几解:
设工字形截面腹板上最大正应力'其承受的弯矩
h/2x
2-25dxx1041666.71
0h/2
翼缘上最大正应力应,其承受的弯矩
11
五,故腹板上承受总弯矩的百分比为
h/2
(1>)
即翼缘上承受总弯矩的百分比为84.120o
(a)整体;(b)两块上、下叠合;(c)两块并排。
试分别计算梁的最大正应力,并画出正应力沿截面高度的分布规律。
5-6一矩形截面悬臂梁,具有如下三种截面形式:
解:
(a)固定端弯矩最大最大正应力位于该截面
(b)根据变形协调,
上下两块梁上作用的分布荷载集度均为q/2
(c)两块并排时两块梁上作用的分布荷载集度均为q/25-8一槽形截面悬臂梁,长6m,受q=5kN/m的均布荷载面上,距梁顶面100mm处b-b线上的切应力及a-a线上的切应力
正应力
t
0.5m处的截
I仙
il
正应力分布规律
:
ch
9mm
b・
由正应力公式
切应力公式
My
38.21030.04
1369.92108
55.77MPa
5-10一等截面直木梁,
因翼缘宽度不够,在其左右两边各粘结一条截面为
50x50mm的木
解:
根据切应力公式fqsz,需确定横截面剪力、面积矩、形心惯性矩
Izb
(1剪力Fq55.5=27.5kN
(2)形心位置、形心惯性矩,如图
(3)b-b处切应力
(4)a-a处切应力
由于a-a位于对称轴y轴上,故aa0
5-9一梁由两个18B号槽钢背靠背组成一整体,如图所示。
在梁的a-a截面上,剪力为18kN、弯矩为55kN•m,求b-b截面中性轴以下40mm处的正应力和切应力。
解:
b-b截面的剪力、弯矩分别为18B号槽钢的几何性质
4
h180mm,Iz1369.9cm,b70mm,t10.5mm,d
试求粘结层中的切应力
条,如图所示。
若此梁危险截面上受有竖直向下的剪力20kN,
解:
求中性轴位置和Iz
5-11图示一矩形截面悬臂梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用,其横截面尺寸为b、h,长度为I。
(1)证明在距自由端为x处的横截面上的切向分布内力TdA的
合力等于该截面上的剪力;而法向分布内力odA的合力偶矩等
于该截面上的弯矩
(2)如沿梁的中性层截出梁的下半部,如图所示。
问截开面上的切应力T沿梁长度的变化
Fiy
0,
dA
A
qx0,
dA
A
qxFq
xyqx-
2
2
Mi
0,
dA
A
0,A
dAy
qx
M
2
规律如何?
该面上总的水平剪力Fq'有多大?
它由什么力来平衡?
解:
(1)取x截面左边部分,由其平衡
(2)沿梁长度剪力是线性分布的,该梁为等截面梁,因此横截面中性轴上切应力沿梁长度也是线性分布,
由切应力互等,截开面上的切应力T沿梁长度是线性分布。
沿梁长度剪力方程Fq(x)qx,横截面中性轴上切应力大小沿梁长度变化规律为
(x)譽爲,宽度方向均匀分布,故总的水平剪力
2
Fq0(x)bdxO^bdx讣,它由固定端约束力平衡
5-12试画出图示各截面的弯曲中心的大致位置,并画出切应力流的流向,设截面上剪力
Fq的方向竖直向下。
*解:
5-14图示
W84
m。
MP,
60MPa,试校
已知Iz*764X
z
弯矩图
0不对
(2)校核强度(该梁截面中性轴c截面正弯矩最大l=^jIL耳
2.5
4-13[o]=8.5MPa,求满足强度条件的最小Fmin
0.3m
面)
30kN
=1.5m,[o-]=1OMPa。
试确
_zl,I.-ZraM
定弯曲截面系数为最大时的矩形截面的高宽比q/b,以及锯成此梁所需要木料的最1.2nd。
|
5-16截面为10号工字钢的AB梁,B点由d=2omm的圆钢杆BC支承,梁及杆的容许应力
[o]=160MPa,试求容许均布荷载q。
解:
这是一个拉杆强度和梁的强度计算问题
(1)对于BC拉杆
所受轴力Fn
3q1.5
2
由强度条件
max
Fn
A
9q
4
9q4[]
40.022[]
得q22.34kN/m
(2)对于AB梁
其剪力弯矩图如图
工字钢横截面中性轴对称,危险截面为弯矩绝对值最大的截面由强度条件
Fq
M
0.28125q
得q15.68kN/m
从而确定容许均布荷载
4-13解:
Ma0,301.8F4.8FB360,
Fiy0,Fa154F30F0,
3
Fa
15
4
15-F
31f3
C截面下部受拉:
B支座负弯矩,上部受拉:
4-18用积分法求下列各梁指定截面处的转角和挠度。
EI
为已知。
在图(d)中的E=2.0X
105MPaI=1.0X104cm
解:
(a)
(1)支座反力计算
2
FAyqa,Ma0.5qa
(2)列弯矩方程
2
M^x)qax0.5qa,(0xa)
22
M2(x)qax1.5qa0.5q(xa),(ax
(3)将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程
EIw1(x)qax
2
0.5qa,(0x
a)
EIw2(x)qax
2
1.5qa0.5q(x
a)2,
(a
x2a)
6-1
解:
(4)积分一次
1:
qax
2
EI2(x)1qax2
(5)再积分一次
13
EIw1(x)qax
6
EIw2(x)1qax3
边界条件、连续光滑条件
EIi(x)
(6)
由x
(7)
0.5qa2x
1.5qa2x
1
2
1
2
0,1
a,1
从而
C1,
(0
xa)
0.5qa2x2
1.5qa2x2
3
0.5q(xa)C2,
GxD1,(0x
—0.5q(xa)4
12
0得C10;x0,w10得D10
2得C2qa;xa,w1w2得D2
B2(x)|x2a
3
qa
6EI;WcW1(x)
(a
a)
C2x
2a)
D2,(ax2a)
4
0.5qa
4
qa
12EI
用积分法求下列各梁指定截面处的转角和挠度。
设EI为已知。
(1)支座反力计算
0,FbF
(2)列弯矩方程
(c)DrM.-
M1(x)0,(0xa)
M2(x)F(xa),(ax2a)
(3)将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程
EIw1(x)0,(0xa)
Elw2(x)F(xa),(ax
2a)
(4)积分一次
El1(x)C1,(0xa)
12
EI2(x)2F(xa)2C2,
(5)再积分一次
(ax2a)
EIw1(x)C1xD1,(0x
a)
13
E
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