高中立体几何测试题及答案理科.docx

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高中立体几何测试题及答案理科

立体几何测试题

1．如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小的余弦值；

2．已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.

（1）求证：

直线MF//平面ABCD；

（2）求证：

平面AFC1⊥平面ACC1A1；

（3）求平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小.

3、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．

（1）证明：

BD⊥平面PAC；

（2）

（2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；

4、如图，直三棱柱中，，是棱的中点，

（1）证明：

（2）求二面角的大小.

5.如图，是正四棱锥,是正方体，其中．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的大小；

（Ⅲ）求到平面的距离．

6.已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2a，AB=a，F为CD的中点.

（Ⅰ）求证：

AF⊥平面CDE；

（Ⅱ）求异面直线AC，BE所成角余弦值；

（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.

7.已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知。

（I）求证：

平面；

（II）求到平面的距离；

（III）求二面角的大小

8.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1.

（I）求证：

A1C//平面AB1D；

（II）求二面角B—AB1—D的大小；

（III）求点c到平面AB1D的距离.

参考答案

1、解：

（Ⅰ）平面ACE.

∵二面角D—AB—E为直二面角，且，

平面ABE.

（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，

∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=，

平面ACE，

由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.

是二面角B—AC—E的平面角

由（Ⅰ）AE⊥平面BCE，又，

∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.

又直角

，

，

∴二面角B—AC—E大小的余弦值等于

2、解（Ⅰ）延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.因为

F是BB1的中点，

所以F为C1N的中点，B为CN的中点.

又M是线段AC1的中点，故MF//AN.

（Ⅱ）证明：

连BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1

可知：

平面ABCD,

又∵BD平面ABCD，

四边形ABCD为菱形，

在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形.

故NA∥BD，平面ACC1A1.

ACC1A1.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知BD⊥ACC1A1，又AC1ACC1A1，

∴BD⊥AC1，∵BD//NA，∴AC1⊥NA.

又由BD⊥AC可知NA⊥AC，

∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角.

在Rt△C1AC中，，

故∠C1AC=30°.

∴平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°

3.

4.【答案】

（1）在中，

得：

同理：

得：

面

（2）面

取的中点，过点作于点，连接

，面面面

得：

点与点重合

且是二面角的平面角

设，则，

既二面角的大小为

5.解：

（Ⅰ）连结AC,交BD于点O,连结PO,则PO⊥面ABCD,又∵,∴,∵,∴．

（Ⅱ）∵AO⊥BD,AO⊥PO,∴AO⊥面PBD,过点O作OM⊥PD于点M，连结AM,则AM⊥PD,∴∠AMO就是二面角A-PD-O的平面角,

又∵,∴AO=,PO=

∴,

即二面角的大小为．

（Ⅲ）用体积法求解：

解得，

即到平面PAD的距离为

6.解：

（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD

∴DE⊥AF。

又∵AC=AD=C，F为CD中点

∴AF⊥CD，

∴AF⊥面CDE

∴AF⊥平面CDE。

（Ⅱ）∵

取DE中点M，连结AM、CM，则四边形AMEB为平行四边形

AM//BE，则∠CAM为AC与BE所成的角。

在△ACM中，AC=2a

由余弦定理得：

∴异面直线AC、AE所成的角的余弦值为。

（Ⅲ）延长DA。

EB交于点G，连结CG。

因为AB//DE，AB=DE，所以A为GD中点。

又因为F为CD中点，所以CG//AF。

因为AF⊥平面CDE，所以CG⊥平面CDE。

故∠DCE为面ACD和面BCE所成二面角的平面角易求∠DCE=45°

7.解：

（I）因为平面，

所以平面平面，

又，所以平面，

得，又

所以平面；

（II）因为，所以四边形为

菱形，

故，又为中点，知。

取中点，则平面，从而面面，

过作于，则面，

在中，，故，

即到平面的距离为。

（III）过作于，连，则，

从而为二面角的平面角，

在中，，所以，

在中，，

故二面角的大小为。

8.（I）证明：

连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE.

∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，且AA1=AB，

∴四边形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中点，

又D是BC的中点，

∴DE∥A1C.

∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D.

（II）解：

在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G，连接DG.

∵平面A1ABB1⊥平面ABC，∴DF⊥平面A1ABB1，

∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，∵FG⊥AB1，∴DG⊥AB1

∴∠FGD是二面角B—AB1—D的平面角

设A1A=AB=1，在正△ABC中，DF=

在△ABE中，，

在Rt△DFG中，，

所以，二面角B—AB1—D的大小为

（III）解：

∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，

∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.

在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H，

则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离.

由△CDH∽△B1DB，得

即点C到平面AB1D的距离是