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群是最简单
第二章群论
群是最简单,最重要,有广泛应用的代数系统。
在本章里主要研究具有某种特殊的群存在,结构和构造等。
学习中我们从群的定义开如直到同态基本定理和不变子群,共讲十一个问题,它是以下几章的基础,本章开头提出的十一问题是:
一、群在的定义及其基本性质七、循环群;
二、单位元、逆元、消去律;八、子群;
三、有限群的另一定义;九、子群的陪集;
四、群的同态;十、不变子群、商群;
五、变换群;十一、同态与不变子群。
六、置换群;
§2.1群的定义
●课时安排约1课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P31-35
群的思想:
第一,它有满足结合律的代数运算;第二,这个代数运算具有逆运算。
定义:
一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群,则等价于下列条件:
(1)(G,·)有单位元,且G中每一个元有逆元。
(2)(G,·)有左单位元,且G中每个元有左逆元;
(3)(G,·)有右单位元,且G中每个元有右逆元;
(4)a,b∈G,方程a.x=b和y.a=b在G中都有解,是一个有限整数;不然的话,这个群叫做无限群,有限群的元素个数叫做这个群的阶。
定义:
对a,b∈G来说,满足ab=ba条件的群叫做交换群。
例1:
证明若G包含一个元g,且乘法是gg=g,则G对于这个第六法来说作成一个群。
例2:
设G是一个全体整数的集合,证明G对于普通加法来说作成一个群。
例3:
设G是所有不等于零的整数集合,证明G对于普通乘法来说不作成一个群。
习题选讲:
P381,3
●教学重点群的定义,基本特点,群的思想方法,群的判定常用的方法。
●教学难点群定义,群的判定常用的方法,利用群的定义证明性质和判定。
●教学要求理解群的定义,掌握群定义中的四个等价条件,和群的判定方法,多训练(做题)。
●布置作业P351,3
(2)
●教学辅导
一、掌握三个基本概念
(1)群的最本质的特点
(2)群的思想方法主要体现在包含的方面。
(3)代数系充(G,·)是群当且仅当(i)结合律成立(ii)方程ax=b,ya=b在G中有解,其a,b∈G.
二、精选习题:
(1)在群G中方程ax=b,ya=b,a,b∈G都有解,这个解是()乘法来说
A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)
(2)设(G,·)为半群,如果方程ax=b与ya=ba,b∈G在G中有解,(不要求唯一性)则G()。
A、也作成群B、还是半群C、不一定是群
(3)设Z为整数集,定义规则aob=a+b-2,a,b∈Z证明Z对规则“o”是群
三、考研试题集备课本上写的。
§2.2单位元、逆元、消去律
●课时安排约1课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P35-38
定理1:
在一群G里存在一个并且只存在一个元e,
能使ea-ae=a,对于G的任意元a都对。
定义:
一个群G的唯一的能使ea=ae=a(a是G的任一元)的元e叫做群G的单位元。
定理2:
对于群G的每一个元a来说,在G里存在一个而且只存在一个元a-1,能使:
a-1a=aa-1=e
定义:
唯一的能使a-1a=aa-1=e的元a-1叫做元a的逆元(有时简称逆)
例1:
全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是零,元a的逆元是-a。
定义:
群G的一个元a,能使得am=e的最小的正整数m叫做a的阶。
例3:
G刚好包含x3=1的三个根1,ε1=,ε2=,对于普通乘法来说成一个群,求这群的单位元,且每一元的逆元。
定理3:
一个群的乘法适合
III'消去律:
若ax=x',那么x=x',若ya=y'a,那么y=y'
●教学重点单位元、逆元、消去律、元的阶,并且利用这些概念。
●教学难点群的判定常用的方法。
且半群中消去律与元的可逆性之间的关系和定理的证明(例3)
●习题选讲P381,3
●教学要求理解单位元、逆元、元的阶的定义,初步地掌握利用单位元、逆元、元阶的定义证明有关的性质和定理。
●布置作业P382,4参考教材中:
P1114,7
●教学辅导
一、掌握三个基本概念。
在半群中消去律与元的可逆性之间的关系。
在半群中,消去律成立是每一个元可逆的必要条件,但不是充分条件,对于一个有限半群来说,消去律成立则是每个元可逆的充要条件。
二、关于群的元素的阶
1)关于判定元素幂相等的条件(元a的阶证为|a|)
当|a|=n时,aP=ag<=>n/P-g
当|a|=∞时,aP=ag<=>P=g
三、精选习题(侧重概念、技巧性的基本题)
1、设(G,·)是半群,满足G有右单位元e:
ae=a,a∈G;
2、设(G,·)为半群,满足,G中每一个元素a都有右逆元素a':
aa'=e
§2.3有限群的另一定义
●课时安排约1课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P38-40
定理:
一个有乘法的有限集合G,若是适合I,II和III',那么它也适合III。
有限群的另一定义:
一个有乘法的有限不空集合G作成一个群,假如I,III,III'能被满足。
例:
G={所有不等于零的整数}
对于普通乘法来说这个G适合I,II,III',可是不适合III。
●教学重点有限群的定义,利用有限群的思想,利用定义证明有关定理和例子。
●教学辅导作业下一节一起进行。
§2.4群的同态
●课时安排约1课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P40-44)
设G是一个群,G是一个不空集合,并有一个代数运算,这个代数运算叫做乘法,也用普通表示乘法的符号来表示。
定理1:
假设G与对于它们的乘法来说同态,那么也是一个群。
定理2:
假定G和是两个群,在G到的一个同态满射之下,G的单位元e的象是的单位元,G的元a的逆元a-1的象是a的象的逆元。
例1:
设A={a,b,c},A的乘法由下表夫定:
abc
aabc
bbca
ccab
的集合,G是全体整数对普加法来说作成的一个群,找出它们之间的一个同态映射?
且判断A是不是一个群。
例2:
证明乘法群G={1,-1,i,-i}和乘法群G2={-1,1}同态的。
●教学重点群的同态定义,利用群的同态定义证明由G是群可以推出G'也是群(G~G'条件下)
●教学难点掌握群同态定义中的同态映射的要求(2例题)
教学要求:
理解群同态思想,理解若群G~G'则群G的许多代数性质可以传递给它的同态象。
●布置作业P44习题
●教学辅导
一、1、同态和同构的区别
2、若G~G',则可以推出G'是群,但反之未必成立。
二、精选习题
1、规定(Z,+)到(2Z,+)的映射ф:
n→2n,n∈Z其中Z是群,证明2Z也是群。
2、群同下的同态映射的要求是()
A、单射B、映射C、满射D、一般代数运算
3、若G是一个群,是一个非空像,且G~中G同的次序掉换,则原命是()成立。
A、一定B、不一定C、不成立
§2.5变换群
●课时安排约1课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞编P44-50
集合A到A的所有变换的集合,关于变换的乘法是一个半群。
定理1:
假定G是集合A的若干个变换所作成的集合,并且G包含恒等变换ε,若是对于变换的乘法来说作成一个群,则G只包含A的--变换。
定义1:
一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换群。
定理2:
一个集合A的所有的--变换成一个变换群。
定理3:
任何一个群都同一个变换群同构。
例1:
设A={1,2}且:
τ11→1,2→1
τ21→2,2→2
τ31→1,2→2
τ41→2,2→1
都是A的所有变换,求其中的--变换。
例2:
在例1里取几个变换来算一算τ1τ2,τ2τ4的乘积。
例3:
设A是一个平面上的所有点所作成的集合,平面的一个线定点的施转可以看成A的一个双变换,设G是所有绕定点施转变换的集合,那么G关于变换乘法作成一个变换群。
(班里解,这例子中的作成变换群的原因)。
●习题选讲P502,4
●教学重点变换群的定义,Cayley定理,变换群的判定常用的方法(例1,2)
●教学难点变换群的定义,利用变换群在几何上的实际应用和群的理论上的重要性(凯莱定理和例3)
●教学要求理解变换群的定义应用几何上的实际问题,并且理解变换群在群论上的重要性,同群论中具有的普遍性,弄清楚变换群和变换群的区别。
●布置作业P502,4,5
●教学辅导
一、掌握三个基本概念
(1)所以给了一个集合A,除了全部--变换构成群外,的确还可以有别的()变换群。
(2)变换群一般()交换群。
(3)(根据凯采定理)任何一个群(有限群)都与一个变换群代数()
A、不相等B、相等C、范围小D、范围大
二、精选习题:
假定A是所有实数作成集合,证明所有A的可以写成x→ax+ba,b是有理数,a≠0形式的变换作成一个变换群。
§2.6置换群
●课时安排约1课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P50-56
定义:
一个有限集合的一个--变换叫做一个置换一个有限集合的若干个置换作成的群叫做置换群。
定义:
一个包含n个元的集合的全部置换作成的群叫做n次对称群,记作Sn
定理1:
n次对称群Sn的阶是n!
定义:
Sn的一个把ai1变到ai2,ai2变到ai3,....aiκ变到ai1,而使得其余的元,假如还有的话,不变的置换,叫做一个κ-循环置换,用符号:
(i1i2.....iκ),(i2i3....iκi1),.....或(iκi1....iκ-1)来表示。
定理2:
每一个n个元的置换π都可以写成若干个互相没有共同数字的(不相连的)循环置换的乘积。
定理3:
每一个有限群都有与一个置换群同构。
●习题选讲P561,2,5
●教学重点置换,转换群,n次对称群,循环置换的定义,利用这些概念的定义证明每一个有限群都一个置换群同构(例3,例5)
●教学难点置换群中元素是n次置换非常具体,所以n次置换,及置换乘积是本节中较难的概念,(例3,例4)习题选讲。
●教学要求理解置换群,n次对称群,循环置换的定义,搞清楚置换乘法的先后顺序是从右到左,并且搞清楚置换的循环分解,多做练习。
●布置作业P563,4
●教学辅导
一、掌握四个基本概念
(1)置换的第一种方法(n个数字的时)
(2)置换的第二种方法(i1i2...ik),(i2i3....iki1)...或(iki1...ik-1)
(3)对置换的乘积来说辅导置换乘法的先后顺序和置换的循环分解。
(4)变换群与置换群区别(普遍性来解释)。
二、精选习题
1、置换群是变换群()
A、对B、错C、不一定
2、S3中所有不能与(123)交换的元。
A、(12),(13),(23);B、
(1),(12),(123)
C、(13),(23),(132);D、
(1),(12),(13)
3、每一个有限群都与一个置换群()
A、同态B、相等C、同构D、不相等
三、考研试题集锦
§2.7循环群
●课时安排约1课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P56-61
定义:
若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方,我们就把G叫做循群;G由元a所生成的,且用符号G=a来表示,a叫做G的一个生成元。
定理:
假定G是一个由元a所生成的循环群,那么G的构造完全可以由a的阶来决定。
a的阶若是无限,那么G与整数加群同构;
a的阶若是一个有限整数n,那么G与模n乘余类加群同构。
例题:
例1:
设G是包含模n的n个乘余类,规定一个G的代数运算,把这个代数运算叫做加法,用普通表示加法的符号来表示,那么G是否作成一个群,若G作成一个群,则G是不是作成一个乘余类加群。
例2:
设G是全体整数的集合,并且G对普通的加法来说作成一个群(整数加群),那么G对这个运算来说作成一个循环群,I是生成元。
例3:
设G={.....,10-2,10-1,100,101,102,....}数的乘法是G的代数运算,那么{G,·}是一个群,判断它是否循环群。
●习题选讲P612,5
●教学重点
G=的定义,利用G=(a)的定义,证明有关的定理和命题,(即:
循环群,乘余类加群,定理)。
●教学难点
G=(a)的构选问题,利用G=(a)的定义证明若a为无限阶的,则(a)≌{Z,+};
●教学要求
理解循环群的思想,便理想循环群结构中的主要的结果(i)数量总是,(ii)构造问题,(iii)循环群的生成元。
●布置作业P611,3,5
●教学辅导
一、掌握三个基本的概念,设循环群G=(a)
(1)|a|=∞=>(a)≌(Z,+)
(2)|a|=n=>(a)≌(Zn,+)
(3)对于n阶循环群(a),有ar是(a)的生成元<=>(r,n)=1
二、精选习题
(1)同构的观点看,循环群有且只有两种,分别()
A、G=(a)与G的子群B、(Z,+)与(Zn,+)
C、变换群与置换群D、(Q,+)与(Zn,+)
(2)无限循环群(a)有且仅有两个生成元()
A、an和a-1B、an和aC、a和a-1
§2.8子群
●课时安排约1课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P61-64
子群思想
定义:
一个群G的一个集H叫做G的一个子群,假如H对于G的乘法来说作成一个群,记作:
H≤G。
定理1:
一个群G的一个不空集H作成G的一个子群的充分且必要条件是(i)a,b∈H=>ab∈H,(ii)a∈H=>a-1∈H。
推论:
假定H是群G的一个子群,那么H的单位元就是G的单位元,H的任一元a在H里的逆元就是a在G里的元。
定理2:
一个群G的一个不空子集H作成G的子群的充分必要条件是:
(iii)a,b∈H=>ab-1∈H。
定理3:
一个群G的一个非空有限子集H作成G的一个子集的充要条件是:
a,b∈H=>ab∈H。
定义:
(生成子群的定义结构过程教材上P69页中)
●习题选讲P643,6
●教学重点
子群定义,利用子群定义证明有关的问题,群的一个非空集组成子群的充要条件,即定理1,定理2,定理3和生成子群。
●教学难点
作成子群的充分必要条件的证明过程,子群的判定方法。
●教学要求
理解子群包括三层意思,理解子群的判定方法和构造群的子群的方法,多训练。
●布置作业P641,4,3
●教学要求
一、掌握四个基本概念:
规定G是群H≠ф且HG
(1)H是G的子半群<=>a,b∈H有a,b∈H。
(2)H≤G<=>a,b∈H有ab,a-1∈H
(3)H≤G<=>a,b∈Heab-1∈H
(4)当H是有限集时H≤G<=>a,b∈H有ab∈H。
二、精选题(习题)
(1)子群包含的三层意思是()
A、HG;H成群;H与G有相同的运算
B、H≠G;H是G的子半群;H有两种运算。
C、HG;H有单位元;H的运算相同。
(2)设S是群G的非空子集,G的含S的所有的子群的交仍是G的子群,这个子群称为G的由()子群。
A、G生成的B、G不作成的C、S生成的D、元0生成的。
(3)Bu={
(1),(12),(34),(13),(24),(14),(23)}
是否对称群的Su的子群。
§2.9子群的陪集
●课时安排约2课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P65-70
子群的陪集思想是:
实质上是用子群对群进行分类的问题,关于陪集的定义,有两种最基本的出发点,一种是利用子集的乘积的概念,另一种是等价关系的概念。
定义:
由等价关系~所决定的类叫做子群H的右陪集,包含元a的右陪集用符号Ha来表示。
定义:
由等价关系~'所决定的类叫做子群H的左陪集,包含元a的左陪集用符号aH来表示。
定理1:
一个子群H的右、左陪集的个数相等。
定义:
一个群G的一个子群H的右陪集(左陪集)的个数叫做H在G里的指数。
定理2:
设H是一个有限群G的子群,那么H的阶n和它在G里的指数j都能整除G的阶N,并且N=nj
定理3:
一个有限群G的任一个元a的阶n都整除G的阶。
引理:
一个子群H与H的每一个右陪集Ha之间都存在一个映射。
例题:
例1:
设置换群S3,其子群为H={
(1),(12)},求H的所有右倍集。
例2:
三次对称群S3的子群H={
(1),(12)}求H在S3中的指数。
●习题选讲P702,3
●教学重点
左、右陪集的定义,群G的子群H的阶,H在G里的指数;任两个左(右)陪集间存在双射的概念(引理P69)
●教学难点左(右)陪集的定义,利用左(右)陪集的定义掌握左(右)陪集的判别条件。
●教学要求理解左(右)陪集的思想,理解陪集定义的最基本的两种出发点。
●布置作业P701,5
●教学辅导
一、精选题
(1)当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数()
A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
(2)n阶有限群G的子群H的阶必须是n的()
A、倍数B、次数C、约数D、指数
(3)任意一个元素a所在的左陪集和右陪集是()
A、相等B、不相等C、不一定相等。
二、掌握以下概念
设H为G的子群则:
(1)若a∈bH,则aH=bH
(2)若a∈Hb,则Ha=Hb
(3)若H的任一两个左(右)陪集之间必存在一个双射;
§2.10不变子群
●课时安排约4课时
●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P70-76
定义:
群G的子群H,如果满足条件:
Na=aN,a∈G,则N称为G的不变子群。
定理1:
设N是G的子群,则以下四个条件是等价的:
(1)N是G的不变子群;
(2)aNa-1=N,a∈G
(3)aNa-1N,a∈G
(4)ana-1∈N,a∈G,n∈N
定义:
一个群G的一个不变子群N的陪集所作成的群叫做一个商群,这个群用符号G/N来表示。
商群G/N的元的个数等于N的指数,当G有限群时
=G/N的阶
例题:
例1:
任一个群G的子群G和e总是不变子群。
例2:
设G为群,令C={a∈G|an=naa∈G}证明C为G的不变子群。
例3:
一个交换群G的每一个子群H都是不变子群。
例4:
G=S3,则N={
(1),(123),(132)}是一个不变子群
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