第6章 图形与坐标.docx

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第6章图形与坐标

6.1探索确定位置的方法

一、背景介绍及教学资料

有序数对法确定点的位置在生活中有着广泛的应用，如电影票，海上搜救，地球仪上的经纬法等等。

本教材一改过去有老师马上给出平面直角坐标系的做法，而是给出一些实际情境，以小学里曾学过的数对法确定位置为基础，让学生在探索中，亲身体验知识的发生过程，为下一课时平面直角坐标系的提出打下基础。

其他教材中提及的区域定位法在教师也可以酌情加以介绍。

教学内容分析：

本节课一开始，让学生拿着票找座位，使学生在在实际情景中，亲身体会用数对表示位置的必要性，通过探索明白如何用有序数对定位。

接着，以海上搜救工作为例，说明方向、距离定位法的广泛应用，并体会两种定位法的异同，再结合本地地图，综合应用这两种方法为自己所在地定位，进一步巩固两种定位法，最后以探究活动：

球面上点的经纬定位法把本节课提升到更高的境界。

教学目标：

1、探索确定平面上物体位置的方法；

2、体验用有序实数对表示平面上点的位置的坐标思想，体验用方向和距离表示平面上点的位置的坐标思想；

3、初步会用有序实数对和方向、距离表示平面上点的位置.

教学重点与难点：

教学重点：

探索在平面上确定位置的两种常用方法.

教学难点：

本节“合作学习”涉及两种确定方法的运用，还涉及测量、比例计算等方面，是本节教学的难点.

教学准备：

刻度尺方格纸量角器

教学过程：

教学设计

设计说明

环节一（有序数对定位）

1、创设情景，合作学习。

（1）分给每位学生一张座位票，其中个别学生拿到的票只有排号或序号，有两位学生的座位号是一样的；

　3号　　　3排　

　　5排2号　　　　5排2号　

（2）不规定班级位置中的排号或序号，让学生自己找位置，在这过程中产生问题：

哪一排是第一排，哪一个位置是第一号呢？

（3）让学生规定排法：

学生1：

　　　　　　　　　　　　　　　学生2：

　1号2号2号1号

第一排　○　○　○　○　○第一排○　○　○　○　○

第二排　○　○　○　○　○第二排○　○　○　○　○

　…　　○　○　○　○　○　…　○　○　○　○　○

　…　　○　○　○　○　○…　○　○　○　○　○

学生3：

……

（4）然后老师选取其中一种排法，如第一种排法，给出多媒体画面，让学生根据画面上规定的排法找位置。

（5）大部分同学能找到自己的位置，但有个别同学找不到自己的位置。

让找不到座位的同学自己说说原因，其他同学帮他决。

（6）讨论原因：

原来是票弄错，只有排号或序号；有两张票的座位号相同。

（让学生体会平面上确定位置需2个数据）

（7）结合刚才寻找座位的过程，确定自己的座位需几个数据？

哪两个数据？

（8）如果将你的座位3排2号简记为（3,2），那么2排3号如何表示？

（5,6）表示什么含义？

（2，7）的位置在哪里？

你能用这种方法表示出自己的座位吗？

（9）在座位票上，“3排2号”与“2排3号”中的“3”的含义相同吗？

有什么不同？

这说明了什么？

（10）一对数如（5,2）所表示的座位有几个？

一个位置用几个数对来表示？

这说明了什么？

2．小结：

为了表示的简便，把第…排第…号记为数对形式，习惯上把排数写在前，号数写在后，再两头括号，中间逗号。

如果把地面看成一个平面，把座位看成平面上的点，那么平面上每一个点都对应着一个有序数对，每一个有序数对都对应着一个点，因此可用有序数对确定平面上点的位置，称之为有序数对定位法。

3．练习1：

如下图所示是甲乙两位同学五子棋的对弈图，现轮到黑棋下。

黑棋在哪个位置上落子，才能在最短时间内获胜？

请4位同学上台表演，2位对对弈，但只需说出落子的位置，另2位分别为这2个同学走棋。

环节二（方向、距离定位）

1．创设情景，合作学习

以班长为观测点，怎样确定老师的位置？

如下图所示，怎样描述老师的位置？

确定老师的位置需要几个数据？

一个行吗？

为什么？

把这种方法叫方向、距离定位法。

2．练习2：

如下图，8月30日江苏省4艘渔船在回港途中，突遭9级强风，船上共35名船员遇险，岛上边防战士接到命令后立即出发，进行拉网式搜救。

以小岛为观测点，你能告诉边防战士渔船A、B、C、D位置吗？

小岛南偏西60°方向的15km处是什么？

…

练习3：

某渔船8：

00从小岛出发向西航行，10：

00折向北航行，平均航速均为20千米？

时。

问11：

30该渔船在什么位置？

请先画出航线示意图（比例尺1：

），然后量出渔船相对于小岛的方位，并量出距离。

环节三两种方法，灵活运用

乐清于1993年经国务院批准撤县设市后，便开始编制现代化中等城市的总体规划，原先若即若离的城镇，大多成了新市区的一部分。

乐成片为政治文化中心，柳市、北白象片为工业中心，虹桥片为商贸中心，七里港片为储运中心，翁洋片为石化中心，雁荡山为旅游渡假中心。

如今，一个集工贸、旅游、港口为一体的现代化中等城市，正悄然崛起于东海之滨。

如图是乐清市局部示意图，请借助刻度尺、量角器，设计描述各城镇位置的方法。

（比例尺为1：

）

环节四（经纬定位法）

1．创设情景，合作学习

平面上的点可用这两种方法来定位，那么球面上的点呢？

例如，怎样在地球仪上确定温州的位置呢？

你能描述温州的位置吗？

把经度写在前，纬度写在后，两头括号，中间逗号，写成数对形式就叫做经纬法。

2．练习5：

如下图，今年第5号台风“海棠”，7月17日晚上8时中心位置在台湾省台北市东南方向大约795公里的洋面上，即北纬20.7度，东经127.7度，中心气压910百帕，近中心最大风力12级以上（65米/秒）。

而后台风中心向西北方向移动，并于18日夜间到19日中午在福建到浙江南部一带沿海登陆。

请用数对的形式表示台风中心位置，并在图上标出台风中心。

（130，30）（120，25）是否位于台风移动的主要路径上？

环节五归纳小结，梳理知识

这节课你有什么收获和体会？

环节六布置作业

书本127页作业体A组，B组选做

创设情景，激发学生的兴趣，使他们体验到数学就在生活中。

让学生自主探索新知，充分调动积极性，，比单纯由教师讲授新知更能培养学生的能力。

让学生体会到：

在平面内确定一个座位需2个数据。

让学生体会到，平面上的点与实数对是一一对应的，渗透对应思想和数形结合思想。

智力游戏五子棋不但可以吸引学生的注意力，激发学习兴趣，无形中还巩固了新知识。

从身边的例子着手，让学生更容易理解。

用几何画板分别演示角度、距离变化，更能体现动感。

运用生活中的实际例子更能说明数学来源于生活，又服

务于生活。

锻炼学生的画图能力是为了提高学生的审题水平。

以本地地图为载体，不仅可以激发学习的兴趣，也使学生在数学课堂上得到热爱家乡的道德教育。

从平面到球面是一个跳跃，

要使学生在探究中明白球面上的点也需要有序数对来定位。

适度的练习能使新知识及时得到巩固。

在教师的引导下，学生自主进行归纳，能够使所学的知识及时地纳入学生的认知结构。

这里教师适时的修正、补充、强调也必不可少。

设计说明：

1．本课时是按“问题情境——数学活动——概括——巩固、应用和拓展”的模式呈现，这种方式符合学生的认知规律和学习规律，因此也是课堂教学设计的立足点，就是根据这一模式进行设计的。

2．学生的学习态度决定了学习效果，一堂课成功与否与学生的参与度紧密相连。

本案用大量的实际例子，内容贴近学生的生活实际，充满生活气息，更好地激发了学生的学习兴趣，吸引了注意力。

3．每个教学环节之间环环相扣，衔接自然，整堂课思路清晰又显得十分流畅。

4．注重知识点的联系与区别，每一个知识点后都附有相应的练习，使新知识及时得到落实。

6.2平面直角坐标系

（1）

〖教学目标〗

◆1、认识并能画出平面直角坐标系．

◆2、在给定的直角坐标系中，会根据坐标描画点的位置，由点的位置定出它的坐标．

〖教学重点与难点〗

◆教学重点：

确定坐标平面内点的坐标和根据坐标在坐标平面内确定点的位置．

◆教学难点：

平面直角坐标系包含着许多概念学生要完整地认识直角坐标系需要一个较长的过程．

〖教学过程〗

一、创设情境，导入新课

某市旅游景点示意图，如果把“人民广场”

的位置作为起始点，记为（0，0）分别记

向北为正，向东为正。

（1）“镇海楼”的位置在人民广场“东多少

格，北多少格？

用有序数对表示“镇海楼”的位置，“玉泉”的位置在“人民广场”西多少格，南多少格？

用有序数对表示“玉泉”的位置；

（2）“灵石塔”的位置在“人民广场”西多少格，北多少格？

怎样用有序数对表示“灵石塔”的位置？

二、合作交流，感知问题

1、让学生两次经历用有序实数对表示点的位置；

2、规定东西的格数写在前机，并规定向北为正，向东为正；

（让学生分组完成，并记录交流结果）

三、理性概括，纳入系统

结合上面的问题情境，讲解直角坐标系的概念；

（1）直角坐标系由两条具有原点，且互相垂直的数轴组成；

（2）两条数轴把平面划分成四个部分，依次叫做第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，如课本图6-5,数轴上的点不属于任一象限。

（3）如图确定直角坐标系中点的坐标，如图

根据点的坐标在直角坐标系中画出点。

（4）各个象限内点的横坐标，纵坐标的符号让

学生概括。

（5）坐标平面内点与坐标之间的点一一对应关系。

四、做一做

五、应用新知，学以致用

例1

（1）如图6-7，写出平面直角坐标中点M，N，L，O，P的坐标；

（2）在平面直角坐标中画出点A（2，4），B（5，2），C（-3.5，0），D（-3.5，-2）。

本例是关于直角坐标系的两个基本问题

一、是已知点的位置，确定点的坐标；

二、是已知点的坐标，确定点的位置。

提示学生

（1）写点的坐标时，先根据象限确定符号，x轴上的点纵坐标为零；y轴上的横坐标为零；

（2）画点时，先根据坐标符号确定点的象限位置。

再点，纵坐标为零的点在x轴上，横坐标为零的点在y轴上

六、练一练

如下图.

（1）写出图中六边形各个顶点的坐标；它们各在什么象限内或坐标轴上？

哪些点的横坐标相同？

哪些点的纵坐

标相同？

（2）作出点（-2，）

（第

（1）题请几位学生口答，第

（2）题

让学生到黑板上演示。

）

七、小结回顾，反思提高

让学生谈谈本节课有哪些收获和疑问

1、平面直角坐标系：

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴。

x轴和y轴总称坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标的原点。

3、坐标轴上的点不在任何一个象限内

4、坐标的表示方法

八、布置作业，深入体会

课本作业题

6.2平面直角坐标系

（2）

〖教学目标〗

◆1、会在实际情景中，用坐标表示地点的位置．

◆2、会根据所要表示的图形的需要建立直角坐标系，并用坐标表示图形上的点．

◆3、会用确定坐标、描点、连线的方法在直角坐标系中作出简单图形．

〖教学重点与难点〗

◆教学重点：

本节教学的重点是根据要表示的图形的需要建立适当的直角坐标系，并在直角坐标系中画出图形．

◆教学难点：

例3的思路比较复杂，需要学生有较高的综合运用知识的能力，是本节教学的难点．

〖教具准备〗

◆小黑板、直角三角板

〖教学过程〗

一、复习提问

引导学生回忆：

（演示小黑板上的练习）

（1）两条相交的数轴一定能组成平面直角坐标系吗？

（2）坐标平面内的每一个点的位置由_______________________来确定。

（3）（2，3）与（3，2）所表示的两个点相同吗？

（4）一条水平数轴上的点的坐标与平面直角坐标系中X轴上的点的坐标表示的形式一样吗？

（5）、坐标轴上的点有何特征？

（6）、每个象限上的点有何特征？

　二、讲授新课

　1．创设问题情境

我们已经学过如何建立平面直角坐标系及怎样确定坐标平面内点的坐标和根据坐标在坐标平面内确定点的位置。

今天，我们将进一步学习如何利用直角坐标系解决实际问题。

而在生活中还常常遇到需要确定点在平面内的位置的情况．比如：

（演示小黑板上的例1）

例1某公园中有“音乐喷泉”“绣湖”“游乐场”“蜡像馆”“蝴蝶园”等景点，如图6-9，以“音乐喷泉”为原点，取正东方向为x轴的正方向，取正北方向为y轴的正方向，一个方格的边长作为一个单位长度，建立直角坐标系。

分别写出图中“绣湖”“游乐场”“蜡像馆”“蝴蝶园”的坐标。

（1）分析：

例1的主要目的是复习巩固上一课时的内容——由点的位置写出它的坐标。

在这个例题中我们要理解两个问题：

①何为原点；②坐标轴方向的实际意义是什么？

（学生可以小组讨论，然后派代表发言。

）

（2）由一名学生到上面，在小黑板上按要求建立平面直角坐标系，然后同学们集体加以点评，教师强调建立平面直角坐标系时应注意的几个问题。

（3）教师板演，学生读出坐标系内四个景点的坐标。

解：

以“音乐喷泉”为原点，以过“蜡象馆”“音乐喷泉”的直线为x轴，过“音乐喷泉”，垂直于x轴的直线为y轴，建立直角坐标系（如图6—10）。

则“绣湖”“游乐场”“蜡象馆”“蝴蝶园”的坐标分别为（4，-1），（-3，3），（-4，0），（-3，-2）。

小结：

在建立直角坐标系表示给定的点或图形的位置时，一般应选择适当的点作为原点，适当的距离为单位长度，这样往往有助于表示和解决有关问题。

【引申拓展】

如果坐标系的长度单位为1km，分别求“游乐场”“绣湖”到“音乐喷泉”的距离。

分析：

在计算坐标平面内点到原点的实际距离时，应先根据坐标长度单位的取法进行单位换算。

长度单位为1km，“游乐场”的坐标为（-3，3），即表示

“游乐场”在原点（“音乐喷泉”）的西3km、北3km处。

求坐标平面内点到原点的距离的依据是勾股定理。

其实利用坐标确定点的位置的作图过程就已经构造了一个求到原点距离的直角三角形，如图。

例2

一个直四棱柱的俯视图如图6-11所示。

请建立适当的坐标系。

在直角坐标系中作出俯视图，并标出各顶点的坐标。

（演示小黑板上的例2）

（1）分析：

要在直角坐标系中画出所给俯视图，并标出四个顶点的坐标，首先考虑这个俯视图在直角坐标系中怎样放，才能使确定各顶点的坐标的过程简单（应使四个顶点尽可能多的落在数轴上）。

即如何在这个俯视图所在的平面建立一个直角坐标系，使得确定四边形ABCD的各个顶点的坐标变得简单。

建立起合理的直角坐标系后，确定各个顶点的坐标，利用求得的各顶点的坐标，在给定的直角坐标系中画出各个顶点，依次连结各个顶点，就能作出所求作的俯视图。

（2）问：

①为较方便地确定点A，点B在坐标系中的坐标，可怎样选择x轴？

为较方便地确定点D的坐标，如何选择y轴？

②根据所标注的尺寸，如何选择坐标轴的单位长度？

（3）强调：

为了使画图方便，所给定的直角坐标系的单位长度应与上述分析过程中的单位相同，即1单位长度为100mm。

要求每位学生在草稿纸上画一画，教师巡视加以指导，然后请一位学生板演。

（学生一起口述解答过程，教师板演。

）

解：

建立直角坐标系如图，选择比例为1：

10。

取点E为直角坐标系的原点，使俯视图中的线段AB在x轴上，则可得A，B，C，D各点的坐标分别为（-1，0），（2，0），（2.5，1.5），（0，3.5）。

根据上述坐标在直角坐标系中作点A，B，C，D，并用线段依次连结各点，如图6-12中的四边形就是所求作的俯视图。

三、巩固练习（讲与练结合方式进行教学）

课内练习

四、小结

由学生自己讨论进行

五、作业

作业本

（1），课后练习A组；

有能力的同学加上完成B组练习．

6.3坐标平面内的图形变换

背景介绍及教学资料

七年级下册第2章图形和变换中已从几何的角度了解了轴对称变换与几何变换，本章从坐标的角度来研究这两种变换,并利用图形变换与坐标之间的关系来作图。

虽然但就作图而言，可能不如几何画法方便，但这种画法在计算机制图等方面有着广泛的实际应用。

此外对这两种变换的学习，为下一章函数当中的相关应用奠定了基础。

第1课时

教学内容分析：

本节开头是让学生通过动手画图，自己探索，找出关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系，得出一般规律，再依据这种关系，求作已知点关于坐标轴的对称点。

因为两个端点可以确定一条线段，所以只要作出各个转折点关于对称轴的对称点，依此连接就得到一个多边形关于对称轴的对称图形。

最后，与同伴合作学习，在方格纸上，按自己认为合适的比例，建立适当的坐标系，利用轴对称特点画出一个零件的主视图。

教学目标：

1、感受坐标平面内图形变换的坐标变换；

2、了解关于坐标轴对称的两个点的坐标变换；

3、会求与已知点关于坐标轴对称点的坐标；

4、利用图形变换与坐标之间的关系来作图；

5、进一步培养坐标意识与数形结合的数学思想。

教学重点与难点：

教学重点：

关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系。

教学难点：

利用关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系，在平面直角坐标系内作轴对称图形。

教学准备：

刻度尺、方格纸

教学过程：

教学设计

设计说明

一、合作交流，寻找规律

A

（1）如图，在方格纸上任画点A，写出它的坐标；

（2）分别作出点A关x轴，y轴的对称点，并写出它们的坐标。

（3）与同伴交流，比较点A与它关于x轴的对称点的坐标，点A关于y轴的对称点的坐标，你发现什么规律？

二、总结规律，运用提高

1．从上面的合作学习中得到：

在直角坐标系中，点（a,b）关于x轴的对称点的坐标为（a,-b），关于y轴的对称点的坐标为（-a,b）

2．练习：

已知平面上有6个点，坐标分别为A（-2，3）、

B（2，3）、C（-2，-3）、D（2，0）、E（1，-

）、

F（0，1.5），其中，

点D关于y轴的对称点是-----------，

点F关于X轴的对称点是-----------，

点E关于X轴的对称点是-------，关于y轴的对称点是---，

点A与点B关于------------轴对称，

点A与点C关于------------轴对称。

3．例题：

课本137页

4．练习：

课内练习1

三、综合运用，服务实际

课本13页合作学习

2．练习：

课内练习2

四、梳理知识，纳入体系

通过这节课，你学到了什么？

五、家庭作业，巩固提高

课本作业题A组，B组选做。

让每人任选一点，赋予学生充分的自主性，通过小组内各成员的合作交流，共同发现规律。

用字母表示有一定的难度，这里特别指出这个规律与点在哪一象限无关。

基础练习利于性质的掌握。

虽然但就作图而言，可能不如几何画法方便，但这种画法在计算机制图等方面有着广泛的实际应用。

不同的同学选取不同的比例，建立不同的坐标系，呈现出思维的多样化，通过比较发现，选取不同的比例得到的大小不同的图形，相当与对原来图形作不同的相似变换。

这样一来，不但节约了时间，又锻炼了自主能力。

不要去深入研究相似变换中坐标的规律。

让学生自己、概括，无形中复习了一次，比听老师总结更能培养数学语言及归纳能

力。

设计思路：

1．教学改革主要是学习方式的改革，过去习惯于用灌输法，整堂课都由老师告诉学生该怎么做，学生只是被动接受，老师讲得累死，学生学习效果却不好。

这节课安排了两处的合作学习，充分调动学生的积极性，让学生主动探索，经历思维的发生过程。

2．本课给出一些非常美丽的图案以及在生活中能碰到的实物的图案，在数学课中实施美育，在数学课上融入生活。

3．图形变换是培养数形结合思想发展空间观念的有效载体，很多题目可以让学生发挥想象力，而不一定借助于图形。

6.3坐标平面内的图形变换

（2）

教学内容分析：

本节开头是让学生动手画图，通过列表比较，，找出关于点平移时的坐标变化的规律，学会求已知点左右，上下平移后所得像的坐标，并能根据平移后对应点之间的坐标关系，分析已知点的平移关系。

在此基础之上，研究线段经平移后所得的像，最后上升到一个图形的多种平移的组合。

教学目标：

3、感受坐标平面内图形变换时的坐标变换；

4、了解坐标平面内图形左、右或上、下平移时的对应点之间的坐标关系；

3、会求与已知点左、右或上、下平移后的像的坐标；

4、利用平移（左、右或上、下）后对应点之间的坐标关系，分析已知图形的平移关系；

5、进一步培养坐标意识与数形结合的数学思想及空间想象能力。

教学重点与难点：

教学重点：

坐标平面内图形左、右或上、下平移时的对应点之间的坐标关系。

教学难点：

利用平移（左、右或上、下）后对应点之间的坐标关系，分析已知图形的平移关系。

教学准备：

刻度尺、方格纸

教学过程：

教学设计

设计说明

二、

合作交流，寻找规律

A

（3）如图，在方格纸上任画点A，写出它的坐标；

（4）分别把A点向左、向右平移5个单位，并写出它们的坐标。

（5）分别把A点向上、向下平移3个单位，并写出它们的坐标。

（6）与同伴交流，比较点A与它的像坐标，你发现什么规律？

二、总结规律，灵活运用

a）从上面的合作学习中得到：

坐标平面内的点与平移h（h

0）个单位后所得的像的坐标的关系如下：

（a,b+h）

向上

向左向右

（a+h,b）（a,b）（a-h,b）

向下

（a,b-h）

2．练习：

已知平面上有6个点，坐标分别为A（-2，3）、

B（2，3）、C（-2，-3）、D（2，0）、E（1，-

）、

F（0，1.5），其中，

点D向下点平移2个单位后的像的坐标是-----------，

点E向右点平移2个单位后的像的坐标是是-----------，

点F向左点平移2个单位后的像的坐标是-----------，所得的像再向上平移2个单位后的像的坐标是-----------，

点A向------------平移-----------单位得到点B，

点A向------------平移-----------单位得到点C，

点B向先向------------平移-----------单位，再向------------平移-----------单位得到点C.

3．课本142页例2

4．练习：

在直角坐标系中，长方形ABCD的边AB可表示成（2，y）（-1

y

3）,边BC可表示成（x，3）（2

x

5），则点D的坐标是什么？

边CD该如何表示？

四边形ABCD的面积为多少？

并在直角坐标系中画出这个长方形。

三、综合运用，提高创新

1．课本142页例3图

（1）分别求出A、

、B

、

的坐标，并比较A与

，B与

的坐标变化；

（2）从图甲到图乙可以看做经过怎样的图形变换？

（3）从图甲平移到图乙，可以看做只经过一次平移变换吗?

请描述这个变换.

（4）把图甲平移,使点A移至点O,求点B的对应点的坐标,并画出图甲平移后的像.

四、梳理知识，纳入体系

通过这节课，你学到了什么？

五、家庭作业，巩固提高

课本作业题A组，B组选做。

让每人任选一点，赋予学生充分的自主性，通过观察、填表、比较，小组内各成员的合作交流，共同发现规律。

用字母表示有一定的难度，这里特别指出这个规律的记忆方法：

左右对应加减，上下对应加减。

基础练习利于性质的掌握。

题干中先给出平行于坐标轴的线段上的点的表示方法，这类“新定义”题型属第一次出现，难度较大，适当加以练习。

第

（1）题要着重引导学生注意A

，B

的横坐改变量，