有等腰三角形时常用的辅助线.docx
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有等腰三角形时常用的辅助线.docx
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有等腰三角形时常用的辅助线
有等腰三角形时常用的辅助线
⑴作顶角的平分线,底边中线,底边高线
例:
已知,如图,AB=AC,BD⊥AC于D,
求证:
∠BAC=2∠DBC
证明:
(方法一)作∠BAC的平分线AE,交BC于E,则∠1=∠2=
∠BAC
又∵AB=AC
∴AE⊥BC
∴∠2+∠ACB=90o
∵BD⊥AC
∴∠DBC+∠ACB=90o
∴∠2=∠DBC
∴∠BAC=2∠DBC
(方法二)过A作AE⊥BC于E(过程略)
(方法三)取BC中点E,连结AE(过程略)
⑵有底边中点时,常作底边中线
例:
已知,如图,△ABC中,AB=AC,D为BC中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
求证:
DE=DF
证明:
连结AD.
∵D为BC中点,
∴BD=CD
又∵AB=AC
∴AD平分∠BAC
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴DE=DF
⑶将腰延长一倍,构造直角三角形解题
例:
已知,如图,△ABC中,AB=AC,在BA延长线和AC上各取一点E、F,使AE=AF,
求证:
EF⊥BC
证明:
延长BE到N,使AN=AB,连结CN,则AB=AN=AC
∴∠B=∠ACB,∠ACN=∠ANC
∵∠B+∠ACB+∠ACN+∠ANC=180o
∴2∠BCA+2∠ACN=180o
∴∠BCA+∠ACN=90o
即∠BCN=90o
∴NC⊥BC
∵AE=AF
∴∠AEF=∠AFE
又∵∠BAC=∠AEF+∠AFE
∠BAC=∠ACN+∠ANC
∴∠BAC=2∠AEF=2∠ANC
∴∠AEF=∠ANC
∴EF∥NC
∴EF⊥BC
⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线
例:
已知,如图,在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC延长线上,且BD=CE,连结DE交BC于F
求证:
DF=EF
证明:
(证法一)过D作DN∥AE,交BC于N,则∠DNB=∠ACB,∠NDE=∠E,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB
∴∠B=∠DNB
∴BD=DN
又∵BD=CE
∴DN=EC
在△DNF和△ECF中
∠1=∠2
∠NDF=∠E
DN=EC
∴△DNF≌△ECF
∴DF=EF
(证法二)过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB=∠B(过程略)
⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线
例:
已知,如图,△ABC中,AB=AC,E在AC上,D在BA延长线上,且AD=AE,连结DE
求证:
DE⊥BC
证明:
(证法一)过点E作EF∥BC交AB于F,则
∠AFE=∠B
∠AEF=∠C
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴∠AFE=∠AEF
∵AD=AE
∴∠AED=∠ADE
又∵∠AFE+∠AEF+∠AED+∠ADE=180o
∴2∠AEF+2∠AED=90o
即∠FED=90o
∴DE⊥FE
又∵EF∥BC
∴DE⊥BC
(证法二)过点D作DN∥BC交CA的延长线于N,(过程略)
(证法三)过点A作AM∥BC交DE于M,(过程略)
⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形
例:
已知,如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=80o,P为形内一点,若∠PBC=10o∠PCB=30o求∠PAB的度数.
解法一:
以AB为一边作等边三角形,连结CE
则∠BAE=∠ABE=60o
AE=AB=BE
∵AB=AC
∴AE=AC∠ABC=∠ACB
∴∠AEC=∠ACE
∵∠EAC=∠BAC-∠BAE
=80o-60o=20o
∴∠ACE=
(180o-∠EAC)=80o
∵∠ACB=
(180o-∠BAC)=50o
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB
=80o-50o=30o
∵∠PCB=30o
∴∠PCB=∠BCE
∵∠ABC=∠ACB=50o,∠ABE=60o
∴∠EBC=∠ABE-∠ABC=60o-50o=10o
∵∠PBC=10o
∴∠PBC=∠EBC
在△PBC和△EBC中
∠PBC=∠EBC
BC=BC
∠PCB=∠BCE
∴△PBC≌△EBC
∴BP=BE
∵AB=BE
∴AB=BP
∴∠BAP=∠BPA
∵∠ABP=∠ABC-∠PBC=50o-10o=40o
∴∠PAB=
(180o-∠ABP)=70o
解法二:
以AC为一边作等边三角形,证法同一。
解法三:
以BC为一边作等边三角形△BCE,连结AE,则
EB=EC=BC,∠BEC=∠EBC=60o
∵EB=EC
∴E在BC的中垂线上
同理A在BC的中垂线上
∴EA所在的直线是BC的中垂线
∴EA⊥BC
∠AEB=
∠BEC=30o=∠PCB
由解法一知:
∠ABC=50o
∴∠ABE=∠EBC-∠ABC=10o=∠PBC
∵∠ABE=∠PBC,BE=BC,∠AEB=∠PCB
∴△ABE≌△PBC
∴AB=BP∴∠BAP=∠BPA
∵∠ABP=∠ABC-∠PBC=50o-10o=40o
∴∠PAB=
(180o-∠ABP)=
(180o-40o)=70o
有等腰三角形时常用的辅助线
⑴作顶角的平分线,底边中线,底边高线
例:
已知,如图,AB=AC,BD⊥AC于D,
求证:
∠BAC=2∠DBC
⑵有底边中点时,常作底边中线
例:
已知,如图,△ABC中,AB=AC,D为BC中点,DE⊥AB于E,
DF⊥AC于F,
求证:
DE=DF
⑶将腰延长一倍,构造直角三角形解题
例:
已知,如图,△ABC中,AB=AC,在BA延长线和AC上各取一点E、F,使AE=AF,
求证:
EF⊥BC
⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线
例:
已知,如图,在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC延长线上,且BD=CE,连结DE交BC于F
求证:
DF=EF
⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线
例:
已知,如图,△ABC中,AB=AC,F在AC上,E在BA延长线上,且AE=AF,连结DE
求证:
EF⊥BC
⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形
例:
已知,如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=80o,P为形内一点,若∠PBC=10o,
∠PCB=30o求∠PAB的度数.
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