概率论与数理统计习题含解答答案.docx
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概率论与数理统计习题含解答答案
概率论与数理统计复习题
(1)
一.填空.
1.。
若与独立,则;若已知中至少有一个事件发生的概率为,则。
2.且,则。
3.设,且,则;。
4.。
若服从泊松分布,则;若服从均匀分布,则。
5.设,则
6.则。
7.,且与独立,则(用表示),。
8.已知的期望为5,而均方差为2,估计。
9.设和均是未知参数的无偏估计量,且,则其中的统计量更有效。
10.在实际问题中求某参数的置信区间时,总是希望置信水平愈愈好,而置信区间的长度愈愈好。
但当增大置信水平时,则相应的置信区间长度总是。
二.假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处,当任一河流泛滥时,该地区即遭受水灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1;乙河流泛滥的概率为0.2;当甲河流泛滥时,乙河流泛滥的概率为0.3,试求:
(1)该时期内这个地区遭受水灾的概率;
(2)当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三.高射炮向敌机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独立),每发炮弹击中敌机的概率均为0.3,又知若敌机中一弹,其坠毁的概率是0.2,若敌机中两弹,其坠毁的概率是0.6,若敌机中三弹则必坠毁。
(1)求敌机被击落的概率;
(2)若敌机被击落,求它中两弹的概率。
四.X的概率密度为且E(X)=。
(1)求常数k和c;
(2)求X的分布函数F(x);
五.(X,Y)的概率密度。
求
(1)常数k;
(2)X与Y是否独立;(3);
六..设X,Y独立,下表列出了二维随机向量(X,Y)的分布,边缘分布的部分概率,试将其余概率值填入表中空白处.
七..某人寿保险公司每年有10000人投保,每人每年付12元的保费,如果该年内投保人死亡,保险公司应付1000元的赔偿费,已知一个人一年内死亡的概率为0.006。
用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于60000元的概率.
四、解:
由密度函数的性质及数学期望的定义,有
①即
②由①知x的密度函数为
当x;
当时
当时
五、由(x、y)联合密度的性质有:
①.即
②.由①可求出(x,y)的联合密度:
故x,y相互独立。
③.由②知相互独立。
六、略
七、解:
令x为一年内死亡人数,题中10000人投标,每人每年死亡率0.006且每人每年死亡相互独立,故x~N(10000*0.006,10000*0.006*0.994)即x~N(60,59.64)
设A:
保险公司一年内的利润不少于60000元。
即A:
10000*12-1000x60000
概率论与数理统计复习题
(2)
一.选择题(18分,每题3分)
1.设为随机事件,且,则必有
是必然事件;;;.
2.口袋中有6只红球,4只白球,任取1球,记住颜色后再放入口袋。
共进
行4次,记为红球出现的次数,则的数学期望
;;;.
3.设随机变量的分布密度函数和分布函数为和,且为偶函数,
则对任意实数,有
4.设随机变量和相互独立,且都服从区间上的均匀分布,则仍服从
均匀分布的随机变量是
5.已知随机变量和都服从正态分布:
设
,则
只对的某些值,有对任意实数,有
对任意实数,有对任意实数,有
6.设未知,则的置信度为的置信区间为
二.填空题(21分,每题3分)
1.已知随机事件,有概率,,条件概率,则.
2.已知随机变量的联合分布密度函数如下,则常数
3某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75.则射击次数的数
学期望与方差分别为=,
4.已知二维随机变量的联合分布函数为,试用表示概率
.
5.设是取自的样本,是的无偏
估计量则常数
6.设()是来自正态分布的样本,
当= 时,服从分布,= .
7.设离散型随机变量的联合分布律为
若,则 .
三.计算题(54分,每题9分)
1.某种产品分正品和次品,次品不许出厂。
出厂的产品件装一箱,并以箱为单位出售。
由于疏忽,有一批产品未经检验就直接装箱出厂,某客户打开其中的一箱,从中任意取出一件,求:
(1)取出的是件正品的概率;
(2)这一箱里没有次品的概率
2.设二维随机变量(X,Y)在区域上服从
均匀分布。
求:
边缘密度函数.
3.已知随机变量,,
试求:
方差,协方差,相关系数
4.学校某课程的考试,成绩分优秀,合格,不合格三种,优秀者得3分,合格者得2分,不合格者得1分。
根据以往的统计,每批参加考试的学生中考得优秀、合格、不合格的,各占20%、70%、10%。
现有100位学生参加考试,试用中心极限定理估计100位学生考试的总分在180至200分之间的概率。
()
5.设是取自总体的一个样本,总体
,。
试求:
(1)未知参数的矩估计量;
(2)未知参数的极大似然估计量;
(3)的极大似然估计量.
6.某种产品的一项质量指标,在5次独立的测试中,测得数
据(单位:
)1.231.221.201.261.23试检验()
(1)可否认为该指标的数学期望1.23?
(2)若指标的标准差,是否可认为这次测试的标准差显著偏大?
附分布数值表
概率论与数理统计复习题
(2)答案
一.选择题(18分,每题3分)
cbacdb
二.填空题(21分,每题3分)
1.;2.24;3.4/39/4
4.;
5.4;6.1/32;7.0,1
三.计算题(54分,每题9分)
1.解:
令A={取出为正品},={箱子中有t个正品},.
由已知条件,,,,
(1)由全概率公式,,
(2)由Bayes公式,.
2.解:
3.解:
4.解:
设为第I位学生的得分,则总得分
5.解:
(1)矩估计量
(2)极大似然估计量
(3)的极大似然估计量
7.解:
(1)假设.
当为真,检验统计量
,拒绝域
,[]
,接受.[,拒绝]
(2)假设.
当为真,检验统计量
,拒绝域.
,拒绝.
概率论与数理统计复习题(3)
一.判断题(10分,每题2分)
1.在古典概型的随机试验中,当且仅当是不可能事件()
2.连续型随机变量的密度函数与其分布函数相互唯一确定()
3.若随机变量与独立,且都服从的(0,1)分布,则()
4.设为离散型随机变量,且存在正数k使得,则的数学期望
未必存在()
5.在一个确定的假设检验中,当样本容量确定时,犯第一类错误的概率与犯第
二类错误的概率不能同时减少()
二.选择题(15分,每题3分)
1.设每次试验成功的概率为,重复进行试验直到第次才取
得次成功的概率为 .
(a);(b);
(c);(d).
2.离散型随机变量的分布函数为,则 .
(a);(b);
(c);(d).
3.设随机变量服从指数分布,则随机变量的分布函
数 .
(a)是连续函数;(b)恰好有一个间断点;
(c)是阶梯函数;(d)至少有两个间断点.
4.设随机变量的方差相关系数则
方差 .
(a)40;(b)34;(c)25.6;(d)17.6
5.设为总体的一个样本,为样本均值,则下列结论中正确的是 .
(a);(b);
(c);(d).
二.填空题(28分,每题4分)
1.一批电子元件共有100个,次品率为0.05.连续两次不放回地从中任取
一个,则第二次才取到正品的概率为
2.设连续随机变量的密度函数为,则随机变量的概率密度函数
为
3.设为总体中抽取的样本()的均值,则
=.
4.设二维随机变量的联合密度函数为
则条件密度函数为,当时,
5.设,则随机变量服从的分布为 (需写出自由度)
6.设某种保险丝熔化时间(单位:
秒),取的样本,得
样本均值和方差分别为,则的置信度为95%的单侧
置信区间上限为
7.设的分布律为
123
已知一个样本值,则参数的极大似然估计值
为
三.计算题(40分,每题8分)
1.已知一批产品中96%是合格品.检查产品时,一合格品被误认为是次品的
概率是0.02;一次品被误认为是合格品的概率是0.05.求在被检查后认
为是合格品的产品确实是合格品的概率
2.设随机变量与相互独立,,分别服从参数为的指数
分布,试求的密度函数.
3.某商店出售某种贵重商品.根据经验,该商品每周销售量服从参数为 的泊松分布.假定各周的销售量是相互独立的.用中心极限定理计算该商店一年内(52周)售出该商品件数在50件到70件之间的概率.
4.总体,为总体的一个样本.
求常数k,使为σ的无偏估计量.
5.
(1)根据长期的经验,某工厂生产的特种金属丝的折断力
(单位:
kg).已知kg,现从该厂生产的一大批特种金属丝中
随机抽取10个样品,测得样本均值kg.问这批特种金属丝的
平均折断力可否认为是570kg?
()
(2)已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布.某日抽取
5个样品,测得其纤度为:
1.31,1.55,1.34,1.40,1.45.
问这天的纤度的总体方差是否正常?
试用作假设检验.
四.证明题(7分)
设随机变量相互独立且服从同一贝努利分布.试证明随机变量与相互独立.
附表:
标准正态分布数值表分布数值表t分布数值表
概率论与数理统计复习题(3)参考答案
一.判断题(10分,每题2分)是非非非是.
二.选择题(15分,每题3分)(a)(d)(b)(c)(d).
三.填空题(28分,每题4分)
1.1/22;2.;3.0.9772;
4.当时;
5.6.上限为15.263.7.5/6.
四.计算题(40分,每题8分)
1.被查后认为是合格品的事件,抽查的产品为合格品的事件.(2分)
,(4分)
(2分)
2. (1分)
时,,从而;(1分)
时,(2分)
(2分)
所以
[](2分)
3.设为第i周的销售量,(1分)
则一年的销售量为,,.(2分)
由独立同分布的中心极限定理,所求概率为
(4分)
.(1分)
4.注意到
5.
(1)要检验的假设为(1分)
检验用的统计量,
拒绝域为.(2分)
,落在拒绝域内,
故拒绝原假设,即不能认为平均折断力为570kg.
[,落在拒绝域外,
故接受原假设,即可以认为平均折断力为571kg.](1分)
(2)要检验的假设为(1分)
[]
检验用的统计量,
拒绝域为或
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