高中课件高三数学立体几何复习.docx
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高中课件高三数学立体几何复习
第九单元立体几何
第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图
基础梳理
1.多面体
1有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边
形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
2有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由
这些面所围成的多面体叫做棱锥.
3用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的这部分
多面体叫做棱台.2.旋转
1以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围
成的旋转体叫做圆柱.
2以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转
形成的面所围成的旋转体体叫做圆锥.
3以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成的旋转
体叫做球体,简称球.
3.三视图和直观图
1三视图是从一个几何体的正前方、正左方、正上方三个不同的
方向看这个几何体,描绘出的图形,分别称为正视图、侧视图、俯视
图.
2三视图的排列顺序:
先画正视图,俯视图放在正视图的下方,侧视
图放在正视图的右方.
3三视图的三大原则:
长对正、高平齐、宽相等.4水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法:
①在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,
把它们画成对应的x′轴和y′轴,两轴相交于O′,且使∠x′O′y′45°或135°,
用它们确定的平面表示水平面.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x′轴
或y′轴的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y
轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半.
典例分析
题型一空间几何体的结构特征
【例1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.
1由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面
都是矩形;
2一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封
闭曲面所围成的图形;
3一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成
的几何体.分析要判断几何体的类型,从各类几何体的结构特征入手,以柱、
锥、台的定义为依据,把复杂的几何体分割成几个简单的几何体.
解1如图1所示,该几何体满足有两个面平行,其余六个面都是矩
形,可使每相邻两个面的公共边都互相平行,故该几何体是正六棱柱.
2如图2所示,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯
形,每个直角梯形旋转180°形成半个圆台,故该几何体为圆台.
3如图3所示,由梯形ABCD的顶点A引AO⊥CD于O点,将直角梯形分为
一个直角三角形AOD和矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组
合体由一个圆锥和一个圆柱组成.
图1图2图3学后反思对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,要对原平面图形作
适当的分割,再根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断.
举一反三
1观察如图几何体,分析它们是由哪些基本几何体组成的,并说出主
要结构特征.
解析1是一个四棱柱和一个四棱锥组成的,它有9个面,9个顶
点,16条棱.2是由一个四棱台、一个四棱柱和一个球组成的,其
主要结构特征就是相应四棱台、四棱柱和球的结构特征.题型二柱、锥、台中的计算问题
【例2】正四棱台的高是17cm,两底面边长分别是4cm和16cm,求棱台的
侧棱长和斜高.
分析求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯形,然后构
造直角三角形,解决问题.
BC
解如图所示,设棱台的两底面的中心分别是、O,和BC的中点分别
O11
1
E
OEEO
1
是和E,连接OO、EE、OB、OB、OE、OE,则四边形OBBO和
11
11111111
都是直角梯形.
AB
11
∵4cm,AB16cm,
OE
11
22
∴2cm,OE8cm,2cm,OB8cm,OB
11
2
2
BBOOOBOB?
∴
1111
19cm,
2
2
EEOOOEOE513?
1111
∴棱台的侧棱长为19cm,斜高为cm.
513学后反思
(1)把空间问题转化为平面问题去解是解决立体几何
问题的常用方法.
(2)找出相关的直角梯形,构造直角三角形是解题的关键,正棱
台中许多元素都可以在直角梯形中求出.
举一反三
2.(2009?
上海)若等腰直角三角形的直角边长为2,则以一直角边所
在的直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是_____.
解析如图,等腰直角三角形旋转而成的旋转体为圆锥.
1
1182
2
R
VS?
hπ?
hπ××2.
2
3
333
8答案3题型三三视图与直观图
【例3】螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体,如下图,画出它的三视图.
分析螺栓是棱柱、圆柱组合而成的,按照画三视图的三大原则
“长对正,高平齐,宽相等”画出.
解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的,正视图反映正
六棱柱的三个侧面和圆柱侧面,侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆
柱侧面,俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆中心重
合.它的三视图如下图:
学后反思在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线
是它们的分界线,在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出.例
如上图中,表示上面圆柱与下面棱柱的分界线是正视图中的线段AB、
侧视图中的线段CD以及俯视图中的圆.
举一反三
3.2008?
广东将正三棱柱截去三个角如图1所示,A、B、C分别是
△GHI三边的中点得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧
视图为解析由正三棱柱的性质得,侧面AED⊥底面EFD,则侧视图必为直
角梯形,且线段BE在梯形内部.
答案A
题型四几何体的直观图
【例4】12分用斜二测法画出水平放置的等腰梯形的直观图.
分析画水平放置的直观图应遵循以下原则:
1坐标系中∠x′O′y′45°;
2横线相等,即A′B′AB,C′D′CD;
11
3竖线是原来的,即O′E′OE.
22画法1如图1,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标
系,…………………………………………………………..3′
画对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′45°……….5′
1
2以O′为中点在x′轴上取A′B′AB,在y′轴上取O′E′OE,以E′为中点画
2
C′D′‖x′轴,并使C′D′CD……………10′
3连接B′C′、D′A′,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的
直观图,如图2……………………………..12′图1图2
学后反思在原图形中要建立适当的直角坐标系,一般取图形中的某
一横线为x轴,对称轴为y轴,或取两垂直的直线为坐标轴,原点可建
在图形的某一顶点或对称中心、中点等.坐标系建得不同,但画法规
则不变,关键是画出平面图形中相对应的顶点.举一反三
4.如图所示,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中
O′A′6cm,O′C′2cm,则原图形是()
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.一般的平行四边形
解析∵在直观图中,平行于x轴的边的长度不变,平行于y轴的边
1
2
的长度变为原来的,∴原图中,OA6cm,OD4cm,
2
∴OC6cm,BCAB6cm,∴原图形为菱形.
答案C易错警示
【例】画出如图1所示零件的三视图.
错解图1的零件可看做是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合,
其三视图如图2图1图2
错解分析错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的
交线,画图时应画出其交线.
正解考点演练
ABCD
10.(2010?
潍坊模拟)如图,已知正四棱台ABCD-的上底面
1111
BC
边长为1,下底面边长为2,高为1,则线段的长是_____.
1
O
BD
解析连接上底面对角线的中点和下底面
1
11
OOBOO
BD的中点O,得棱台的高,过点作的平
111
行线交BD于点E,连接CE.在△BCE中,由BC2,
2
BE,∠CBE45°,利用余弦定理可得
2
2
10?
1014
2
BC1?
CE,故在Rt△中易得?
BEC1?
1
2
22?
14
答案211.圆台的两底面半径分别为5cm和10cm,高为8cm,有一个过圆
台两母线的截面,且上、下底面中心到截面与两底面交线的距离分
别为3cm和6cm,求截面面积.
解析如图所示截面ABCD,取AB中点F,CD中点E,连接OF,,
OE
1
EF,,OA,则为直角梯形,ABCD为等腰梯形,EF为梯形ABCD的高,
OEFO
OD
1
1
在直角梯形中,
OEFO
1
2
2EFOOOFOE73(cm),?
11
22
在Rt△中,∴DEODOE4(cm),
OED
11
1
22
同理,AFOAOF8(cm),
1
2
S?
248731273cm梯形ABCD
212.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于
2
cm
392,母线与轴的夹角是45°,求这个圆台的高、母线长和两底面半
径.
解析圆台的轴截面如图所示,设圆台上、下底面半径分别为xcm,3x
AA
cm.延长交的延长线于S,在Rt△SOA中,∠ASO45°,则
1OO
1
∠SAO45°,
∴SOAO3x,x,∴OO2x,
SOAO
1
111
1
S6x2x2x392
又,∴x7.
轴截面
2
OO
故圆台的高114cm,母线长14cm,
l
2
2OO
1
两底面半径分别为7cm,21cm.第二节空间几何体的表面积与体积
基础梳理
1.柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和;表面积是各个面
的面积之和,即侧面积与底面积之和.
2.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它
的表面积就是展开图的面积.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积
S2rl,S2rrl;?
圆柱侧柱
Srl,Srrl;?
圆锥侧锥
22
S?
r'rl,S?
r'rr'lrl?
圆台侧台4.柱、锥、台体的体积
1
3
Vabc,Va,VSh,VSh
长方体正方体柱锥
3
1
VS'SSS'h?
台
3
这是柱体、锥体、台体统一计算公式,特别地,圆柱、圆锥、圆台
还可以分别写成:
11
2222
Vrh,Vrh,V?
hr'r'rr?
圆柱圆锥圆台
33
5.球的体积及球的表面积
4
32
设球的半径为R,VR,S4R
球球
3典例分析
题型一几何体的表面积问题
【例1】已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm,且其侧
面积等于两底面面积之和,求棱台的高.
分析要求正棱台的高,首先要画出正棱台的高,使其包含在某
一个特征直角梯形中,转化为平面问题,由已知条件列出方程,
求解所需的几何元素.
ABCD
O
解如图所示,正三棱台ABC-中,O、分别为两底面中心,D、分
1111
1
BC
别为BC和中点,则为棱台的斜高.
DD
11
1
103
AB3OD
设20,AB30,则OD5,,
1111
3
13
22
SS+S
由,得
20+303DD20+30
下
侧上1
24
13
DD3
∴
1
3
2
2
OODD-ODOD43?
在直角梯形OODD中,
1111
11
∴棱台的高为4cm.
3学后反思1求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图
形,解决旋转体的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图.
(2)借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素.
举一反三
1.圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是
另一个底面半径的2倍.求两底面的半径与两底面面积之和.
解析如图,设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,∠ASO30°,
r
在Rt△SO′A′中,sin30°,∴SA′2r.
SA'
2r
在Rt△SOA中,sin30°,∴SA4r.
SA
∴SA-SA′AA′,即4r-2r2a,ra.
2
222
∴SSS?
r?
2r5r5a?
12
2
∴圆台上底面半径为a,下底面半径为2a,两底面面积之和为5a题型二几何体的体积问题
【例2】已知四棱台两底面均为正方形,边长分别为4cm,8cm,侧
棱长为8cm,求它的侧面积和体积.
分析由题意知,需求侧面等腰梯形的高和四棱台的高,然后利用平
面图形面积公式和台体体积公式求得结论.
解如图,设四棱台的侧棱延长后交于点P,则△PBC为等腰三角形,
BC
取BC中点E,连接PE交于点E,则PE⊥BC,EE为侧面等腰梯形的
11
11
高,作PO⊥底面ABCD交上底面于点O,连接OE、OE.
111
在△PBC和△PBC中,
11
PBBC41
111
PBBC82
∴,B为PB的中点,E为PE的中点.
PBBB8
11
11
2222
PEPBBE164415
在Rt△PEB中,
1
EEPE215
1
2在Rt△POE中,
2
222
POPEOE4154414cm1
OOPO214cm
1
2
1
2S4S448215?
4815cm四棱台侧梯形BCCB
11
2
VVV
四棱台四棱锥P-ABCD四棱锥PABCD
1111
11SPOSPO
四边形ABCD四边形ABCD1
1111
33
1122414
222?
8414?
4214cm?
333
学后反思
(1)求棱台的侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中的“特
征直角三角形”和“特征直角梯形”,它们是架起“求积”关系式中的未知量与满
足题设条件中几何图形元素间关系的“桥梁”.
(2)平行于棱台底面的截面分棱台的侧面积与体积比的问题,通常是“还台
为锥”,而后利用平行于棱锥底面的截面性质去解.“还台为锥”借助于轴截面,
将空间问题转化为平面问题,求出相关数据,进行计算.“还台为锥”是解决
棱台问题的重要方法和手段.举一反三
2.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方
形,且△ADE、△BCF均为正三角形,EF‖AB,EF2,则该多面体的
体积为解析如图,分别过A、B作EF的垂线,垂
足分别为G、H,连接DG、CH,易求得
3
1
EGHF,AGGDBHHC,
2
2
122SS1,AGDBHC
224VVVV
EADGFBHCAGDBHC
1211212?
1
3423424
23
2
答案3题型三组合体的体积和表面积问题
【例3】12分如图,在等腰梯形ABCD中,AB2DC2,∠DAB60°,E为AB的
中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成三棱
锥的外接球的体积.
分析易知折叠成的几何体为棱长为1的正四
面体,欲求外接球的体积,求其外接球半径即
可.
解由已知条件知,在平面图形中,
AEEBBCCDDADEEC1……………………………….1′
所以折叠后得到一个正四面体.
方法一:
如图,作AF⊥面DEC,垂足为F,F即为△DEC的中心…………3′
取EC中点G,连接DG、AG,过外接球球心O作OH⊥面AEC,则垂足H为△AEC
的中心…………………….5′
∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得.
23
3
∵AG,∴AHAG,
3
23
2?
36
1?
∴AF,?
…………7′?
33?
在△AFG和△AHO中,根据三角形相似可知,
33AGAH6…………10′
23
OA
AF4
6
3
44666
3?
OA
∴外接球体积为…………….12′
3
3348
方法二:
如图,把正四面体放在正方体中.显然,正四面体的外接球就
是正方体的外接球…………………………..4′
∵正四面体棱长为1,
2
∴正方体棱长为,………………………….6′
2
2
∴外接球直径2R,3…………………10′
2
466
3
6?
?
∴R,∴体积为………………12′
348
4学后反思1折叠问题是高考经常考查的内容之一,解决这类问题要
注意对翻折前后线线、线面的位置关系,所成角及距离加以比较.一
般来说,位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置的关系和数
量关系在翻折前后不发生变化,分别位于两个半平面内的元素其相对
位置关系和数量关系则发生变化;不变量可结合原图形求证,变化量
应在折后立体图形中求证.对某些翻折不易看清的元素,可结合原图
形去分析、计算,即将空间问题转化为平面问题.
(2)由方法二可知,有关柱、锥、台、球的组合体,经常是把正方
体、长方体、球作为载体,去求某些量.解决这类问题,首先要把这
些载体图形的形状、特点及性质掌握熟练,把问题进行转化,使运算
和推理变得更简单,体现了转化思想是立体几何中一个非常重要的思
想方法.
举一反三
3.已知正四棱锥的底面边长为a,侧棱长为a.求它的外接球的体积.
2解析设外接球的半径为R,球心为O,则OAOCOS,所以O为△SAC
的外心,即△SAC的外接圆半径就是外接球的半径,
∵ABBCa,∴ACa,
2
∵SASCACa,
2
∴△SAC为正三角形.
由正弦定理,得
AC2a26
2Ra
0
sinASCsin603
6a486
33R,V?
R?
a
球
3327易错警示
涉及组合体问题,关键是正确地作出截面图形,把立体几何问题转化
为平面问题进行解决,解此类问题时往往因不能正确地作出截面图形
而导致错误.
【例】已知球的内接正方体的体积为V,求球的表面积.
错解如图所示,作圆的内接正方形表示正方体的截面,设正方
体的棱长为x,球半径为R,则有
3V,
xx2R,
2
2
232
3
RV,S4R2V
解得
球
2
错解分析过球内接正方体的一个对角面作球的大圆截面,得到一
个矩形,矩形的对角线长为x,不是x.
3
2正解如图所示,过正方体的对角面作球的大圆截面,设正方体的
棱长为x,球半径为R,则有
3V,
xx2R3,
3
232
3
RV,S4R3V
解得
球
2
考点演练
10.(2009?
辽宁)设某几何体的三视图如下(长度单位为m):
求该几何体的体积.解析三视图所对应的立体图形如图所示.由题意可得平面
PAC⊥平面ABC,
11
3V×4×3×24.m
32
AA
11.如图,一个三棱柱形容器中盛有水,且侧棱8.若侧面水
AABB
1
11
平放置时,液面恰好过AC、BC、、的中点.当底面ABC水平放置
AC
BC
1111
时,液面高为多少?
AABB
解析当侧面水平放置时,水的
11
形状为四棱柱形,底面ABFE为梯形,设
3
SS
△ABC的面积为S,则
ABFE
43
VSAA6S
1
水
4
当底面ABC水平放置时,水的形状为三棱柱形,设水面高为h,则
V
有Sh,∴6SSh,∴h6.
水
故当底面ABC水平放置时,液面高为6.
12.(2009?
广东改编)某高速公路收费站入口处的安全标识墩
如图1所示.墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体
ABCD-EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图.
(1)请画出该安全标识墩的侧视图;
(2)求该安全标识墩的体积图1图2图3解析
(1)侧视图同正视图,如图2所示.
(2)该安全标识墩的体积为
1
22
VVV?
40604020
PEFGHABCDEFGH
3
3320003200064000cm第三节空间点、直线、平面之间的位置关系
基础梳理
1.平面的基本性质符号语言
名称文字语言图形
如果一条直线上有两个
Al,Bl,A?
点在一个平面内,那么这
公理1
Bl?
条直线在这个平面内
经过不在同一条直线上A、B、C不共线A、B、
C∈平面α且α是唯一
公理2
的三个点确定一个平面
的
如果不重合的两个平面若P∈α,P∈β,则α∩
有一个公共点,那么它们βa,且P∈a
公理3
有且只有一条过这个点
的公共直线平行于同一条直若a‖b,b‖c,
线的两条直线互则a‖c
公理4
相平行
公推经过一条直线和若点A直线a,
理论1直线外一点,有且则A和a确定一
只有一个平面个平面α
2
推两条相交直线确a∩bP有
的论2定一个平面且只有一个平
推
面α,使a论
α,b?
α
推两条平行直线确a‖b有且
论3定一个平面只有一个平面α,使aα,bα2.空间直线与直线的位置关系
1位置关系相交共面①共面与否平行异面一个公共点:
相交
②公共点个数平行无公共点异面
2公理4平行公理:
平行于同一直线的两条直线互相平行.
3定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或
互补.(4)异面直线的夹角
①定义:
已知两条异面直线a、b,经过空间任意一点O作直线a′‖a,b′‖b,
我们把两相交直线a′、b′所成的角叫做异面直线a、b所成的角(或夹角).
②范围:
θ∈(0,].特别地,如果两异面直线所成的角是,我们就?
称这两条直线垂直,记作a⊥b.
2
2
3.空间中的直线与平面的位置关系直线在平面内?
?
有无数个公共点直线与平面相交?
?
有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行?
?
无公共点4.平面与平面的位置关系
平行?
?
无公共点
相交?
?
有且只有一条公共直线
?
典例分析
题型一点、线、面的位置关系
【例1】下列命题:
①空间不同三点确定一个平面;
②有三个公共点的两个平面必重合;
③空间两两
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