贵州省纳雍县百兴中学届九年级上学期期中考试数学试题附答案746385.docx
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贵州省纳雍县百兴中学届九年级上学期期中考试数学试题附答案746385
百兴中学2016-2017年度第一学期半期考试试卷
九年级数学科
第I卷(选择题)
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)
1.已知菱形的面积为24cm2,一条对角线长为6cm,则这个菱形的边长是( )厘米.
A.8 B.5 C.10 D.4.8
2.在数学活动课上,老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形,下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案,其中正确的是( )
A.测量对角线是否相互平分 B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否都为直角 D.测量其中四边形的三个角都为直角
3.
如图,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使AE=AC,则∠BCE的度数是( )
A.22.5° B.25° C.23° D.20°
4.已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm,其中一个内角的平分线分长边为两部分,这两部分的长为( )
A.6cm和9cm B.5cm和10cm
C.4cm和11cm D.7cm和8cm
5.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值为( )
A.1 B.-1 C.1或-1 D.
6.下列方程①3x2-x=0;②
;③
;④2x2-1=(x-1)(x-2);⑤(5x-2)(3x-7)=15x2,其中一元二次方程有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.元旦节班上数学兴趣小组的同学,互赠新年贺卡,每两个同学都相互赠送一张,小明统计出全组共互送了90张贺年卡,那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数为x人,则可列方程为( )
A.x(x-1)=90 B.x(x-1)=2×90
C.x(x-1)=90÷2 D.x(x+1)=90
8.小王家新锁的密码是6位数,他记得前两位数是23,后两位数是32,中间两位数忘了,那么他一次按对的概率是( )
A.
B.
C.
D.
9.在四边形ABCD中,AC、BD相交于O,能判定这个四边形是正方形的是( )
A.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD B.AB∥CD,AC=BD
C.AO=BO,∠A=∠C D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
10.若实数a,b(a≠b)分别满足方程a2-7a+2=0,b2-7b+2=0,则
的值为( )
A.
B.
C.
或2 D.
或2
二、填空题(本大题共6小题,共18.0分)
11.矩形的一边长是3.6cm,两条对角线的夹角为60°,则矩形对角线长是______.
12.已知菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,则它的面积是______cm2.
13.
如图,正方形ABCD的边长为2,H在CD的延长线上,四边形CEFH也为正方形,则△DBF的面积为______.
14.第三届全国智力运动会将于2015年10月在山东枣庄隆重举行,届时滕州某初中学校将从小记者团内负责体育赛事报道的3名同学(2男1女)中任选2名前往采访,那么选出的2名同学恰好是一男一女的概率是______.
15.若△ABC的一边为4,另两边分别满足x2-5x+6=0的两根,则△ABC的周长为______.
16.
如图,正方形ABCD中,AB=3,延长BC至E,使BE=BD,则△BDE的面积为______.
三、计算题(本大题共2小题,共12.0分)
17.解方程(用配方法):
3x2-6x+1=0.
18.已知关于x的一元二次方程:
(m-1)x2+2mx+m+3=0有实数根,求m的取值范围.
四、解答题(本大题共5小题,共40.0分)
19.如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交
于点M,与BD相交于点N,连接BM,DN.
求证:
四边形BMDN是菱形.
20.端午节期间,某食品店平均每天可卖出300只粽子,卖出1只粽子的利润是1元.经调查发现,零售单价每降0.1元,每天可多卖出100只粽子.为了使每天获取的利润更多,该店决定把零售单价下降m(0<m<1)元.
(1)零售单价下降m元后,该店平均每天可卖出______只粽子,利润为______元.
(2)在不考虑其他因素的条件下,当m定为多少时,才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多?
21.某教室的开关控制板上有四个外形完全相同的开关,其中两个分别控
制A、B两盏电灯,另两个分别控制C、D两个吊扇.已知电灯、吊扇均正常,且处于不工作状态,开关与电灯、电扇的对应关系未知.
(1)若四个开关均正常,则任意按下一个开关,正好一盏灯亮的概率是多少?
(2)若其中一个控制电灯的开关坏了,则任意按下两个开关,正好一盏灯亮和一个扇转的概率是多少?
请用树状图法或列表法加以说明.
22.如图,AC是正方形ABCD的对角线,点O是AC的中点,点Q是AB上一点,连接CQ,DP⊥CQ于点E,交BC于点
P,连接OP,OQ;
求证:
(1)△BCQ≌△CDP
(2)OP=OQ.
;
23.
如图,两张宽为1cm的矩形纸条交叉叠放,其中重叠部分部分是四边形ABCD,
(1)试判断四边形ABCD的形状,并说明理由
(2)若∠BAD=30°,求重叠部分的面积.
纳雍县百兴中学2016--2017学年度第一学期九年级数学科
答案和解析
【答案】
1.B 2.D 3.A 4.B 5.B 6.B 7.A 8.D 9.A 10.A
11.7.2cm或
cm
12.3
13.2
14.
15.9
16.
17.解:
方程变形得:
x2-2x=-
,
配方得:
x2-2x+1=
,即(x-1)2=
,
开方得:
x-1=±
,
解得:
x1=1+
,x2=1-
.
18.解:
根据题意得m-1≠0且△=4m2-4(m-1)•(m+3)≥0,
解得m≤
且m≠1.
19.证明:
∵MN是BD的垂直平分线,
∴OB=OD,∠BON=∠DOM,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠OBN=∠ODM
在△BON和△DOM中,
,
∴△BON≌△DOM(ASA),
∴BN=MD,
∴四边形BMDN是平行四边形,
∵MN是BD的垂直平分线,
∴MB=MD,
∴平行四边形BMDN是菱形.
20.300+100×
;(1-m)(300+100×
)
21.解:
(1)P(正好一盏灯亮)=
.(2分)
(2)不妨设控制灯A的开关坏了.
画树状图如下:
所有出现的等可能性结果共有12种,其中满足条件的结果有4种.
∴P(正好一盏灯亮和一个扇转)=
.(6分)
方法二
列表格如下:
A
B
C
D
A
A、B
A、C
A、D
B
B、A
B、C
B、D
C
C、A
C、B
C、D
D
D、A
D、B
D、C
所有出现的等可能性结果共有12种,其中满足条件的结果有4种.
∴P(正好一盏灯亮和一个扇转)=
.(6分)
由此可知P(正好一盏灯亮和一个扇转)=
.(8分)
22.证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠PCD=90°,BC=CD,(2分)
∴∠2+∠3=90°,
又∵DP⊥CQ,
∴∠2+∠1=90°,
∴∠1=∠3,(4分)
在△BCQ和△CDP中,
.
∴△BCQ≌△CDP.(5分)
(2)连接OB.
(6分)
由
(1):
△BCQ≌△CDP可知:
BQ=PC,(7分)
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,AB=BC,
而点O是AC中点,
∴
,(9分)
在△BOQ和△CDP中,
.
∴△BOQ≌△COP,
∴OQ=OP.(10分)
23.解:
(1)四边形ABCD是菱形,
理由是:
如图1所示:
∵依题意可知AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
分别作CD,BC边上的高为AE,AF,
∵两纸条相同,
∴纸条宽度AE=AF,
∵平行四边形的面积为AE×CD=BC×AF,
∴CD=BC,
∴平行四边形ABCD为菱形;
(2)如图2所示,过B、D两点分别作BE⊥AD、DF⊥AB,垂足分别为E、F,
∵宽为1cm,
∴BE=DF=1cm,
∵∠BAD=30°,
∴AB=2cm,
∴重叠部分的面积为DF×B=1×2=2cm2.
【解析】
1.解:
设菱形的另一对角线长为xcm,
×6×x=24,
解得:
x=8,
菱形的边长为:
=5(cm),
故选:
B.
根据菱形的面积公式可得菱形的另一对角线长,再根据菱形的对角线互相垂直平分利用勾股定理可求出边长.
此题主要考查了菱形的性质,以及勾股定理的应用,关键是掌握菱形的对角线互相垂直、平分.
2.解:
A、对角线是否相互平分,能判定平行四边形;
B、两组对边是否分别相等,能判定平行四边形;
C、一组对角是否都为直角,不能判定形状;
D、其中四边形中三个角都为直角,能判定矩形.
故选D.
根据矩形的判定定理有:
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;
(2)有三个角是直角的四边形是矩形;
(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
本题考查的是矩形的判定定理,难度简单.
3.解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠CAB=∠BCA=45°;
△ACE中,AC=AE,则:
∠ACE=∠AEC=
(180°-∠CAE)=67.5°;
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°.
故选A.
根据正方形的性质,易知∠CAE=∠ACB=45°;等腰△CAE中,根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数,进而可由∠BCE=∠ACE-∠ACB得出∠BCE的度数.
此题考查了正方形的性质与等腰三角形的性质.此题难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意特殊图形的性质.
4.
解:
如图,∵矩形ABCD中,BE是角平分线.
∴∠ABE=∠EBC.
∵AD∥BC.
∴∠AEB=∠EBC.
∴∠AEB=∠ABE
∴AB=AE.
当AB=15cm时:
则AE=15cm,不满足题意.
当AB=10cm时:
AE=10cm,则DE=5cm.
故选B.
根据已知条件以及矩形性质证△ABE为等腰三角形得到AB=AE,注意“长和宽分别为15cm和10cm”说明有2种情况,需要分类讨论.
此题考查了矩形的性质与等腰三角形的判定与性质.注意出现角平分线,出现平行线时,一般出现等腰三角形,需注意等腰三角形相等边的不同.
5.解:
∵一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,
∴将x=0代入方程得:
a2-1=0,
解得:
a=1或a=-1,
将a=1代入方程得二次项系数为0,不合题意,舍去,
则a的值为-1.
故选:
B.
由一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,将x=0代入方程得到关于a的方程,求出方程的解得到a的值,将a的值代入方程进行检验,即可得到满足题意a的值.
此题考查了一元二次方程的解,以及一元二次方程的解法,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
6.解:
①符合一元二次方程的条件,故正确;
②是无理方程,故错误;
③是分式方程,故错误;
④可化为x2+3x-3=0,符合一元二次方程的条件,故正确;
⑤可化为-41x+14=0,含一个未知数,是一元一次方程,故错误;
故是一元二次方程的只有①④.
故选B.
一元二次方程必须满足三个条件:
(1)整式方程;
(2)未知数的最高次数是2;
(3)二次项系数不为0.
一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.判断是否是一元二次方程,应先化为一般形式再判断.
7.解:
设数学兴趣小组人数为x人,
每名学生送了(x-1)张,
共有x人,
根据“共互送了90张贺年卡”,
可得出方程为x(x-1)=90.
故选A.
如果设数学兴趣小组人数为x人,每名学生送了(x-1)张,共有x人,则一共送了x(x-1)张,再根据“共互送了90张贺年卡”,可得出方程为x(x-1)=90.
读清题意,找准数量关系,列出方程.
8.解:
中间两位数的可能组合如图,共100种情况,故他一次按对的概率是
.
故选D.
用列表法列举出可能出现的所有情况,让1除以总情况数即为所求的概率.
本题考查概率的求法与运用,一般方法为:
如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=
.
9.解:
A,能,因为对角线相等且互相垂直平分;
B,不能,只能判定为等腰梯形;
C,不能,不能判定为特殊的四边形;
D,不能,只能判定为菱形;
故选A.
根据正方形的判定对各个选项进行分析从而确定最后答案.
本题是考查正方形的判别方法,判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念,途经有两种:
①先说明它是矩形,再说明有一组邻边相等;②先说明它是菱形,再说明它有一个角为直角.
10.解:
由实数a,b满足条件a2-7a+2=0,b2-7b+2=0,
∴可把a,b看成是方程x2-7x+2=0的两个根,
∴a+b=7,ab=2,
∴
=
=
=
=
.
故选A.
由实数a,b满足条件a2-7a+2=0,b2-7b+2=0,可把a,b看成是方程x2-7x+2=0的两个根,再利用根与系数的关系即可求解.
本题考查了根与系数的关系,属于基础题,关键是把a,b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题.
11.解:
分两种情况:
①边长3.6cm为短边时,
∵四边形ABCD为矩形,
∴OA=OB,
∵两对角线的夹角为60°,
∴△AOB为等边三角形,
∴OA=OB=AB=3.6cm,
∴AC=BD=2OA=7.2cm;
②边长3.6cm为长边时,
∵四边形ABCD为矩形
∴OA=OB,
∵两对角线的夹角为60°,
∴△AOB为等边三角形,
∴OA=OB=AB,BD=2OB,∠ABD=60°,
∴OB=AB=
=
=
(cm),
∴BD=
cm.
综上所述:
对角线的长度为7.2cm或
cm.
分两种情况:
①边长3.6cm为短边时;②边长3.6cm为长边时;由矩形的性质和等边三角形的性质以及三角函数求出AB,即可得出结果.
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数;熟练掌握矩形的性质,证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.
12.解:
∵菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,
∴它的面积是:
×2×3=3(cm2).
故答案为:
3.
由知菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半,即可求得答案.
此题考查了菱形的性质.注意菱形的面积等于对角线乘积的一半.
13.解:
设正方形CEFH的边长为a,根据题意得:
S△BDF=S正方形ABCD+S正方形CEFH-S△ABD-S△DHF-S△BEF
=4+a2-
×4-
a(a-2)-
a(a+2)
=2+a2-
a2+a-
a2-a
=2.
故答案为:
2.
设正方形CEFH边长为a,根据S△BDF=S正方形ABCD+S正方形CEFH-S△ABD-S△DHF-S△BEF求解即可.
此题考查了正方形的性质,正确的列出阴影部分的面积式子是解本题的关键.
14.解:
画树状图得:
∵共有6种等可能的结果,选出的2名同学恰好是一男一女的有4种情况,
∴选出的2名同学恰好是一男一女的概率是:
=
.
故答案为:
.
首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2名同学恰好是一男一女的情况,再利用概率公式即可求得答案.
此题考查了树状图法与列表法求概率.用到的知识点为:
概率=所求情况数与总情况数之比.
15.解:
设x2-5x+6=0的两个根分别为x1、x2,
则有x1+x2=-
=-
=5,
△ABC的周长为x1+x2+4=5+4=9.
故答案为:
9.
设x2-5x+6=0的两个根分别为x1、x2,由根与系数的关系可得出x1+x2=5,再加上三角形的另外一边长度即可得出结论.
本题考查了根与系数的关系以及三角形的周长,解题的关键是找出三角形的两边之和.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,由根与系数的关系得出两根之和,再结合三角形的周长公式即可解决问题.
16.解:
∵四边形ABCD是正方形,AB=3,
∴BD=BE=
,
∴CE=BE-BC=
,
∴△DCE的面积=
,
∵△BCD的面积=
,
∴△BDE的面积=△DCE的面积+△BCD的面积
=
,
故答案为:
.
根据正方形的性质得出BD=
,进而根据BE=BD得出CE=
,得出△DCE的面积,再计算出△BCD的面积,两面积相加即可.
本题考查了正方形的性质,三角形面积的计算,熟记各性质并准确识图是解题的关键.
17.
方程二次项系数化为1,常数项移到右边,两边加上一次项系数一半的平方,利用完全平方公式变形后,开方即可求出解.
此题考查了解一元二次方程-配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
18.
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m-1≠0且△=4m2-4(m-1)•(m+3)≥0,然后求出两个不等式的公共部分即可.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.
19.
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OB=OD,根据两直线平行,内错角相等可得∠OBN=∠ODM,然后利用“角边角”证明△BON和△DOM全等,根据全等三角形对应边相等可得BN=MD,从而求出四边形BMDN是平行四边形,再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得MB=MD,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.
本题考查了菱形的判定,主要利用了矩形的性质,线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质,平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,熟记各性质并准确识图是解题的关键.
20.解:
(1)300+100×
,
(1-m)(300+100×
).
(2)令(1-m)(300+100×
)=420.
化简得,100m2-70m+12=0.
即,m2-0.7m+0.12=0.
解得m=0.4或m=0.3.
可得,当m=0.4时卖出的粽子更多.
答:
当m定为0.4时,才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多.
(1)每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可;利润等于销售量乘以单价即可得到;
(2)利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解.
本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是了解总利润的计算方法,并用相关的量表示出来.
21.
(1)根据概率的求法,找准两点:
①符合条件的情况数目;②全部情况的总数;二者的比值就是其发生的概率.
(2)用列表法或树状图法列举出所以可能,再利用概率公式解答即可.
本题主要考查概率的求法,如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=
.
22.
(1)根据正方形的性质和DP⊥CQ于点E可以得到证明△BCQ≌△CDP的全等条件;
(2)根据
(1)得到BQ=PC,然后连接OB,根据正方形的性质可以得到证明△BOQ≌△COP的全等条件,然后利用全等三角形的性质就可以解决题目的问题.
23.
(1)考查菱形的判定,四条边相等的四边形即为菱形;
(2)要求重叠部分的面积,根据面积公式,求出底和高即可.可以通过作辅助线求得.
本题考查了菱形的性质和判定,面积公式的综合运用,能正确作出辅助线是解此题的关键.
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