全等三角形全章复习讲义.docx
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全等三角形
专题一 全等三角形基本性质
【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
(两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样,与他们的位置没有关系。
)
【知识点2】两个三角形重合在一起,重合的顶点叫做对应顶点;重合的边叫做对应边;重合的角叫做对应角。
【知识点3】全等三角形的对应边相等,对应角相等。
(由定义还可知道,全等三角形的周长相等,面积相等,对应边上的中线和高相等,对应角的角平分线相等)
【例题1】如图,已知图中的两个三角形全等,填空:
(1)AB与 是对应边,BC与 是对应边,CA与 是对应边;
(2)∠A与 是对应角,∠ABC与 是对应角,∠BAC与 是对应角
【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。
A
(1)有公共边的,公共边一定是对应边; BCD
(2)有公共角的,公共角一定是对应角;
(3)有对顶角的,对顶角是对应角;
(4)在两个全等三角形中,最长的边对最长的边,最短的边对最短的边,最大的角对最大的角,最小的
A
D
E
O
角对最小的角。
【练习1】如图,图中有两对三角形全等,填空:
B C
(1)△BOD≌ ;
(2)△ACD≌ .
【例题2】已知图2中的两个三角形全等,则∠a度数是( )
A.72° B.60° C.58° D.50°
【例题3】如图,若△ABC≌△A1B1C1,且ÐA=110°,ÐB=40°,则ÐC1= .
A A1
B C B1 C1
【练习1】如图,△ACB≌△A¢C¢B¢,ÐBCB¢=30°,则ÐACA¢的度数为( )
A¢
B
A20° B.30° C.35° D.40° A
B¢ C
【练习2】如图,△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°到△EBC,且∠ABD=90°。
(1)△ABD和△EBC是否全等?
如果全等,请指出对应边与对应角。
(2)若AB=3cm,BC=5cm,你能求出DE的长吗?
(3)直线AD和直线CE有怎样的位置关系?
请说明理由
专题二 全等三角形的判定
---- (以图形常见类型为标准)
三角形全等的判定方法
1、如图:
△ABC与△DEF中 2、如图:
△ABC与△DEF中
ì__________=_________
∵í
ï__________=_________
î
ï__________=__________
ì__________=_________
∵í
ï__________=_________
î
ï__________=__________
∴△ABC≌△DEF(SSS ) ∴△ABC≌△DEF( SAS )
3、如图:
△ABC与△DEF中 4、如图:
△ABC与△DEF中
ì__________=_________
∵í
ï__________=_________
î
ï__________=__________
ì__________=_________
∵í
ï__________=_________
î
ï__________=__________
∴△ABC≌△DEF( ASA ) ∴△ABC≌△DEF( AAS )
5、如图:
Rt△ABC与Rt△DEF中,∠ =∠ =90°
ì__________=_________
î
∵í__________=_________
∴Rt△ABC≌Rt△DEF( HL )
【题型一】公共边类型的全等三角形
图形1
图形2
图形3
A
D C
A
D
B D C
A B
B C
注意隐含条件AD=AD 隐含条件AB=BA 隐含条件AC=CA
A
【例1】在DABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,求证:
DABD≌DACD
B D C
【针对训练】
1.已知:
如图BD=CD,∠1=∠2,求证:
∠B=∠C.
2.如图,已知:
AB=AD,CB=CD.求证:
AC^BD.
3.已知:
在DABC中,M在BC上,D在AM上,AB=AC,DB=DC(如图)求证:
MB=MC
4.如图所示,已知AB=AD,CB=CD,E是AC上一点.求证:
ÐAEB
6.
5.如图,在DABC中,M在BC上,D在AM上,AB=AC,DB=DC。
求证:
MB=MC
【例2】如图,∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,求证:
AC=DB.
=ÐAED.
A
D
B C
【针对训练】
1.已知:
(如图)ÐA=ÐD,Ð1=Ð2.求证:
AO=DO
2.如图:
AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F,求证:
CE=DF.
C D
A E F B
【例3】已知:
如图,AB∥CD,AB=CD.求证:
AD∥BC.
图形1
图形2
图形3
图形4
【题型二】边加减类型的全等三角形
E
C
F
B
E
F C
B
A A
A D A D
∵BE=CF
∴BE+EF=CF+EF
∴BF=CE
B E
(1) F
CB FE C
(2)
(3)D
(4)D
∵BE=CF
∴BE-EF=CF-EF
∴BF=CE
∵BE=CF
∴BE+EF=CF+EF
∴BF=CE
∵BE=CF
∴BE-EF=CF-EF
∴BF=CE
【例4】已知点B,E,C,F在同一条直线上,AB=DF,AC=DE,BE=CF.求证:
∠A=∠D.
A D
B E C F
【例5】如图,已知:
AB=DF,AC=DE,BE=CF.求证:
AB//DF.
【例6】如图,已知:
AB=CD,AE=DF,CE=BF.求证:
(1)AF=DE;
(2)AE∥DF.
【例7】已知:
如图,A、C、F、D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,BC=EF,
求证:
△ABC≌△DEF. A
C E
B F
D
【针对训练】
1.已知A,B,C,D在同一条直线上,AB=CD,DE∥AF,且DE=AF,求证:
△AFC≌△DEB.
2.已知B,E,F,D在同一条直线上,AB=CD,∠B=∠D,BF=DE.
求证:
(1)AE=CF,
(2)AE∥CF,(3)∠AFE=∠CED
3.已知:
如图,AB=DC,AC=DB,BE=CE.求证:
AE=DE.
【题型三】公共角类型的全等三角形
右图中全等的三角形有
写出他们所有的对应边与对应角
【例7】如图,AB=AC,BE和CD相交于P,PB=PC,求证:
PD=PE.
【针对训练】
1.如图,已知:
Ð1=Ð2,AD=AE.求证:
OB=OC.
2、已知:
如图,PM=PN,∠M=∠N.求证:
AM=BN.
A
3.如图,已知:
BE=CD,∠B=∠C,求证:
∠1=∠2。
12
E D
O
B C
4.已知:
如图,AB=AC,BD^AC,CE^AB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证:
BE=CD.
C
D
F
BE A
5.已知:
如图△ABC中,BD⊥AC,CE⊥AB,BD、CE交于O点,且BD=CE求证:
OB=OC.
6.如图,已知点D、E分别是线段AB、AC上的点,AB=AC,AD=AE.求证:
△CDE≌△BED.
【题型四】对顶角类型的全等三角形
图形1
图形2
【例8】如图1,已知:
AB=CD,AD=CB.求证:
∠B=∠D.
【针对训练】已知:
如图,AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD.求证:
AD=BC;
【例9】如图,两条直线AC,BD相交于O,BO=DO,AO=CO,直线EF过点O且分别交AB、CD于点
E,F,求证:
OE=OF
A E
B
O
D F C
【针对训练】
1、如图4,AB∥DE,AB=DE,∠1=∠2.求证:
BG=DF.
2.如图已知:
AB=CD,AD=BC,O是BD中点,过O点的直线分别交DA和BC的延长线于E,F.求证:
F
D C
O
A B
AE=CF. E
【题型五】旋转类型的全等三角形
图形1
图形2
图形3
图形4
A
C
E M C
E D
B A N B
D F
A
E
B C D
【例10】已知:
如图
(1),AB=AD,BC=DE,∠1=∠2.求证:
(1)AC=AE;
(2) ∠CAE=∠CDE.
【针对训练】
1.如图,点E在△ABC的外部,点D在BC边上,DE交AC于点F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE,求证:
AB=AD。
2.已知:
如图,AB=AD,AC=AE,∠1=∠2.求证:
BC=DE.
【例11】已知:
如图
(2),∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:
①∠1=∠2;②BE=CF;③△CAN
≌△ABM;④CD=DN.其中正确的结论是 .
【例12】如图,已知AB=AD, ∠B=∠D,∠1=∠2,证明:
BC=DE
【针对训练】
A
D
C
O
1.如图,在△ABE中,AB=AE,AD=AC,∠BAD=∠EAC,BC、DE交于点O.求证:
(1)△ABC≌△AED;
(2)OB=OE.
B E
2.如图,已知:
ÐD=ÐE,DN求证:
点B是线段AC的中点.
=CN=EM
=AM.
【例13】已知A、C、B共线,△ACD和△BCE为等边三角形,直线BD、AE交与F,AE、CD相较于点M,BD、AE相较于点N。
如图1,
D
F
M
N
C
①求证:
AE=BD E
②求∠AFB的度数
③求证:
CM=CN
④ ∥
求证:
MNAB
A B
⑤求线段BF、EF、CF
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