初中数学全等三角形的证明题含标准答案.docx

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初中数学全等三角形的证明题含标准答案

初中数学全等三角形的证明题含答案

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1.已知：

AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

解：

延长AD到E,使AD=DE

∵D是BC中点

∴BD=DC

在△ACD和△BDE中

AD=DE

∠BDE=∠ADC

BD=DC

∴△ACD≌△BDE

∴AC=BE=2

∵在△ABE中

AB-BE＜AE＜AB+BE

∵AB=4

即4-2＜2AD＜4+2

1＜AD＜3

∴AD=2

2.已知：

D是AB中点，∠ACB=90°，求证：

延长CD与P，使D为CP中点。

连接AP,BP

∵DP=DC,DA=DB

∴ACBP为平行四边形

又∠ACB=90

∴平行四边形ACBP为矩形

∴AB=CP=1/2AB

3.已知：

BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：

∠1=∠2

证明：

连接BF和EF

∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF

∴三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）

∴BF=EF,∠CBF=∠DEF

连接BE

在三角形BEF中,BF=EF

∴∠EBF=∠BEF。

∵∠ABC=∠AED。

∴∠ABE=∠AEB。

∴AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中

AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF

∴三角形ABF和三角形AEF全等。

∴∠BAF=∠EAF（∠1=∠2）。

4.已知：

∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：

EF=AC

B

A

C

D

F

2

1

E

过C作CG∥EF交AD的延长线于点G

CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD

DE＝DC

∠FDE＝∠GDC（对顶角）

∴△EFD≌△CGD

EF＝CG

∠CGD＝∠EFD

又，EF∥AB

∴，∠EFD＝∠1

∠1=∠2

∴∠CGD＝∠2

∴△AGC为等腰三角形，

AC＝CG

又EF＝CG

∴EF＝AC

5.已知：

AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：

∠B=2∠C

A

证明：

延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD＝∠CAD

∵AE＝AC，AD＝AD

∴△AED≌△ACD（SAS）

∴∠E＝∠C

∵AC＝AB+BD

∴AE＝AB+BD

∵AE＝AB+BE

∴BD＝BE

∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE

∴∠ABC＝2∠E

∴∠ABC＝2∠C

6.已知：

AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE

证明：

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

∵CE⊥AB

∴∠CEB＝∠CEF＝90°

∵EB＝EF，CE＝CE，

∴△CEB≌△CEF

∴∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

∴∠D＝∠CFA

∵AC平分∠BAD

∴∠DAC＝∠FAC

∵AC＝AC

∴△ADC≌△AFC（SAS）

∴AD＝AF

∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

7.已知：

AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

A

D

B

C

解：

延长AD到E,使AD=DE

∵D是BC中点

∴BD=DC

在△ACD和△BDE中

AD=DE

∠BDE=∠ADC

BD=DC

∴△ACD≌△BDE

∴AC=BE=2

∵在△ABE中

AB-BE＜AE＜AB+BE

∵AB=4

即4-2＜2AD＜4+2

1＜AD＜3

∴AD=2

8.已知：

D是AB中点，∠ACB=90°，求证：

解：

延长AD到E,使AD=DE

∵D是BC中点

∴BD=DC

在△ACD和△BDE中

AD=DE

∠BDE=∠ADC

BD=DC

∴△ACD≌△BDE

∴AC=BE=2

∵在△ABE中

AB-BE＜AE＜AB+BE

∵AB=4

即4-2＜2AD＜4+2

1＜AD＜3

∴AD=2

9.已知：

BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：

∠1=∠2

证明：

连接BF和EF。

∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

∴三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）。

∴BF=EF,∠CBF=∠DEF。

连接BE。

在三角形BEF中,BF=EF。

∴∠EBF=∠BEF。

又∵∠ABC=∠AED。

∴∠ABE=∠AEB。

∴AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中，

AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。

∴三角形ABF和三角形AEF全等。

∴∠BAF=∠EAF（∠1=∠2）。

10.已知：

∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：

EF=AC

B

A

C

D

F

2

1

E

过C作CG∥EF交AD的延长线于点G

CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD

DE＝DC

∠FDE＝∠GDC（对顶角）

∴△EFD≌△CGD

EF＝CG

∠CGD＝∠EFD

又EF∥AB

∴∠EFD＝∠1

∠1=∠2

∴∠CGD＝∠2

∴△AGC为等腰三角形，

AC＝CG

又EF＝CG

∴EF＝AC

11.已知：

AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：

∠B=2∠C

A

证明：

延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD＝∠CAD

∵AE＝AC，AD＝AD

∴△AED≌△ACD（SAS）

∴∠E＝∠C

∵AC＝AB+BD

∴AE＝AB+BD

∵AE＝AB+BE

∴BD＝BE

∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE

∴∠ABC＝2∠E

∴∠ABC＝2∠C

12.已知：

AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

∵CE⊥AB

∴∠CEB＝∠CEF＝90°

∵EB＝EF，CE＝CE，

∴△CEB≌△CEF

∴∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

∴∠D＝∠CFA

∵AC平分∠BAD

∴∠DAC＝∠FAC

又∵AC＝AC

∴△ADC≌△AFC（SAS）

∴AD＝AF

∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

12.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：

BC=AB+DC。

在BC上截取BF=AB，连接EF

∵BE平分∠ABC

∴∠ABE=∠FBE

又∵BE=BE

∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）

∴∠A=∠BFE

∵AB//CD

∴∠A+∠D=180º

∵∠BFE+∠CFE=180º

∴∠D=∠CFE

又∵∠DCE=∠FCE

CE平分∠BCD

CE=CE

∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）

∴CD=CF

∴BC=BF+CF=AB+CD

13.已知：

AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：

∠F=∠C

AB‖ED，得：

∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度，

∵∠EAB=∠BDE，

∴∠AED=∠ABD，

∴四边形ABDE是平行四边形。

∴得：

AE=BD，

∵AF=CD,EF=BC，

∴三角形AEF全等于三角形DBC，

∴∠F=∠C。

14.已知：

AB=CD，∠A=∠D，求证：

∠B=∠C

证明：

设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。

则：

△AED是等腰三角形。

∴AE=DE

而AB=CD

∴BE=CE（等量加等量，或等量减等量）

∴△BEC是等腰三角形

∴∠B=∠C.

15.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：

PC-PB

P

D

A

C

B

在AC上取点E，

使AE＝AB。

∵AE＝AB

AP＝AP

∠EAP＝∠BAE，

∴△EAP≌△BAP

∴PE＝PB。

PC＜EC＋PE

∴PC＜（AC－AE）＋PB

∴PC－PB＜AC－AB。

16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：

AC-AB=2BE

证明：

在AC上取一点D，使得角DBC=角C

∵∠ABC=3∠C

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；

∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;

∴AB=AD

∴AC–AB=AC-AD=CD=BD

在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，

∴AE垂直BD

∵BE⊥AE

∴点E一定在直线BD上，

在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD

∴点E也是BD的中点

∴BD=2BE

∵BD=CD=AC-AB

∴AC-AB=2BE

17.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

∵作AG∥BD交DE延长线于G

∴AGE全等BDE

∴AG=BD=5

∴AGF∽CDF

AF=AG=5

∴DC=CF=2

18．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：

AD⊥BC．

解：

延长AD至BC于点E,

∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形

∴∠DBC=∠DCB

又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2

即∠ABC=∠ACB

∴△ABC是等腰三角形

∴AB=AC

在△ABD和△ACD中

｛AB=AC

∠1=∠2

BD=DC

∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边）

∴∠BAD=∠CAD

∴AE是△ABC的中垂线

∴AE⊥BC

∴AD⊥BC

19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：

∠OAB=∠OBA

证明：

∵OM平分∠POQ

∴∠POM＝∠QOM

∵MA⊥OP，MB⊥OQ

∴∠MAO＝∠MBO＝90

∵OM＝OM

∴△AOM≌△BOM（AAS）

∴OA＝OB

∵ON＝ON

∴△AON≌△BON（SAS）

∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB

∵∠ONA+∠ONB＝180

∴∠ONA＝∠ONB＝90

∴OM⊥AB

20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：

AD+BC=AB．

做BE的延长线，与AP相交于F点，

∵PA//BC

∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线

∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形

在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线

∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF

在三角形DEF与三角形BEC中，

∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，

∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC

∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

21．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：

∠C=2∠B

延长AC到E

使AE=AC连接ED

∵AB=AC+CD

∴CD=CE

可得∠B=∠E

△CDE为等腰