高中数学必修2第二章知识点总结.docx

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高中数学必修2第二章知识点总结

高中数学必修2知识点总结

立体几何初步

特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，

h'为斜高，l为母线）

Sch

S1ch'S

1

（c

1

c）h'

2

直棱柱侧面积

正棱锥侧面积

2

正棱台侧面积

2

S圆柱侧

2

rh

S圆柱表

2

rrl

S圆锥侧面积rl

S圆锥表

rrl

S圆台侧面积

（rR）l

S圆台表

r2rl

RlR2

圆柱

台

柱体、锥体、台体的体积公式

V柱Sh

1Sh

V

锥

3

V1（S'S'SS）h3

VShr2h

V圆锥

1r2h3

V1（S'S'SS）h1（r2

rRR2）h

圆台33

（4）球体的表面积和体积公式：

V球=4

3

R3；S球面

=4R2

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

1平面含义：

平面是无限延展的

2三个公理：

第二章直线与平面的位置关系

（1）公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

符号表示为

A∈L

B∈L=>Lα

A∈αB∈α

公理1作用：

判断直线是否在平面内.

（2）公理2：

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：

A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：

确定一个平面的依据。

A

α·

L

AB

α·C·

·

（3）公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：

P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈Lβ

公理3作用：

判定两个平面是否相交的依据.

2.1.2

L

空间中直线与直线之间的位置关系αP

·

1空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：

同一平面内，有且只有一个公共点；

共面直线

平行直线：

同一平面内，没有公共点；

异面直线：

不同在任何一个平面内，没有公共点。

2公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：

设a、b、c是三条直线

a∥bc∥b

=>a∥c

强调：

公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：

判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

4注意点：

①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；

②两条异面直线所成的角θ∈（0，）；

③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

2

④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行——没有公共点

指出：

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示

aαa∩α=Aa∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：

线线平行，则线面平行。

符号表示：

aα

bβ=>a∥α

a∥b

2.2.2平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：

一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

2、判断两平面平行的方法有三种：

（1）用定义；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

符号表示：

aβ

bβ

a∩b=Pβ∥α

a∥αb∥α

1、直线与平面平行的性质定理：

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：

线面平行则线线平行。

符号表示：

a∥α

aβa∥b

α∩β=b

作用：

利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、两个平面平行的性质定理：

如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：

α∥β

α∩γ=aa∥b

β∩γ=b

作用：

可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义：

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

P

a

L

2、直线与平面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点：

a）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：

表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A

梭lβ

B

α

2、二面角的记法：

二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、直线与平面垂直的性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线平行。

2、两个平面垂直的性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

第三章直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：

x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k表示。

即k

反映直线与轴的倾斜程度。

当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;

当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.

tan

。

斜率

当0,90

时，k

0；当

90,180

时，k

0；当90时，k不存在。

②过两点的直线的斜率公式：

k

y2y1

x2x1

（x1

x2）

（P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,x1≠x2）

注意下面四点：

（1）当

x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

（3）直线方程

（2）

k与P1、P2的顺序无关；

（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

①点斜式：

yy1

k（x

x1）直线斜率k，且过点

x1,y1

注意：

当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：

ykxb，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

③两点式：

yy1xx1

（xx,yy）直线两点

x,y，x,y

y2y1x2x1

xy

1212

1122

④截矩式：

1其中直线l与x轴交于点（a,0）,与y轴交于点（0,b）,即l与x轴、y轴的截距分别为

ab

a,b。

⑤一般式：

Ax

ByC

0（A，B不全为0）

注意：

○1各式的适用范围○2特殊的方程如：

平行于x轴的直线：

y

（6）两直线平行与垂直

b（b为常数）；平行于y轴的直线：

x

a（a为常数）；

当l1:

y

k1x

b1，l2:

y

k2x

b2时，

l1//l2

k1k2,b1

b2；

l1l2k1k21

注意：

利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点

l1:

A1x

B1yC1

0l2

:

A2x

B2yC2

0相交

交点坐标即方程组

A1xA2x

B1yC1

B2yC2

0的一组解。

0

方程组无解

l1//l2

；方程组有无数解

l1与l2重合

2

（8）两点间距离公式：

设

A（x1,y1），（Bx2,y2）是平面直角坐标系中的两个点，

2121

则|AB|（xx）2

（yy）

（9）点到直线距离公式：

一点P

（10）两平行直线距离公式

x0,y0

到直线

l1:

Ax

ByC

0的距离d

Ax0

By0C

A2B2

已知两条平行线直线

l1和l2的一般式方程为

l1：

Ax

ByC10，

l2：

Ax

ByC2

0，则l1与l2的距离为d

C1C2

A2B2

第四章圆与方程

1、圆的定义：

平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

2

（1）标准方程xa

2

ybr

2

，圆心

a,b

，半径为r；

2

点M（x0,y0）与圆（xa）

（yb）2

r2的位置关系：

2

00

当（xa）

22

2

00

（yb）>r，点在圆外当（xa）

2

2

（yb）=r，点在圆上

00

当（xa）2（yb）2

（2）一般方程x2

y2Dx

EyF0

2

当D

当D2

当D2

E4F

2

E24F

E24F

0时，方程表示圆，此时圆心为

0时，表示一个点；

0时，方程不表示任何图形。

D,E，半径为r

22

122

DE4F

2

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：

先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：

如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

2

2

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（1）设直线

l:

AxByC

0，圆C:

xa2

ybr，圆心C

a,b

到l的距离为d

AaBbC，

则有dr

l与C相离；dr

l与C相切；dr

l与C相交

A2B2

（2）过圆外一点的切线：

①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】

（3）过圆上一点的切线方程：

圆（x-a）2+（y-b）2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2

4、圆与圆的位置关系：

通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

2

设圆C1:

xa1

2

yb1

2

2

r，C2:

xa2

2

2

yb2R

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

当dR

当dR

r时两圆外离，此时有公切线四条；

r时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当Rrd

Rr时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当dR

r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当dR

r时，两圆内含；当d

0时，为同心圆。

注意：

已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

第一章空间几何体题

一、选择题

1.有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个（）．

主视图左视图俯视图

（第1题）

A．棱台B．棱锥C．棱柱D．正八面体

2.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）．

1＋2

A．2＋2B．

2

2＋2

C．

2

D．1＋2

3.棱长都是1的三棱锥的表面积为（）．

A．3B．23C．33D．43

4.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）．A．25πB．50πC．125πD．都不对5．正方体的棱长和外接球的半径之比为（）．

A．3∶1B．3∶2C．2∶3D．3∶3

6.在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）．

9

A．πB．

2

7

πC．

2

53

πD．π

22

7.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（）．

A．130B．140C．150D．160

8.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝离为2，则该多面体的体积为（）．

3，且EF与平面ABCD的距

2

（第8题）

915

A.B．5C．6D．

22

9.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是（）．

A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D．水平放置的圆的直观图是椭圆

10.如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是（）．

（第10题）

二、填空题

11.一个棱柱至少有个面，面数最少的一个棱锥有个顶点，顶点最少的一个棱台有条侧棱．

12.若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是．

13.正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为

．

14.如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是

．

（第14题）

15.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是积为．

，它的体

16.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为厘米．

三、解答题

17.有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L，假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm，求它的深度．

18*．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：

过正方体的对角面作截面]

19.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD

旋转一周所成几何体的表面积及体积．

（第19题）

20.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：

一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）．

（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；

（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？

第二章点、直线、平面之间的位置关系A组一、选择题

1．设，为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l，m?

，有如下的两个命题：

①若∥，则l∥m；

②若l⊥m，则⊥．那么（）．

A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题2．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误．．的是（）．

A.BD∥平面CB1D1

B.AC1⊥BD

C.AC1⊥平面CB1D1

D.异面直线AD与CB1角为60°

3．关于直线m，n与平面，，有下列四个命题：

（第2题）

①m∥，n∥

且

∥

，则m∥n；

②m⊥

，n⊥

且

⊥

，则m⊥n；

③m⊥，n∥

且

∥

，则m⊥n；

④m∥

，n⊥

且

⊥

，则m∥n．

其中真命题的序号是（）．A．①②B．③④C．①④D．②③4．给出下列四个命题：

①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行

③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行

④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线其中假．命题的个数是（）．A．1B．2C．3D．4

5.下列命题中正确的个数是（）．

①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥

②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行

④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点

A．0个B．1个C．2个D．3个

6.两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面（）．

A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个

7.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）．

A．90°B．60°C．45°D．30°

8.下列说法中不正．确．的．．是（）．

A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

9.给出以下四个命题：

①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直

其中真命题的个数是（）．A．4B．3C．2D．110．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为（）．

A．[30°，90°]B．[60°，90°]C．[30°，60°]D．[30°，120°]

二、填空题

11.已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为．

12.P是△ABC所在平面外一点，过P作PO⊥平面，垂足是O，连PA，PB，PC．

（1）若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的心；

（2）PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则O是△ABC的心；

（3）若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则O是△ABC的心；

（4）若PA＝PB＝PC，∠C＝90o，则O是AB边的点；

（5）若PA＝PB＝PC，AB＝AC，则点O在△ABC的线上．

13.如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为

AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所

J

成角的度数为．

14.直线l与平面所成角为30°，l∩＝A，直线m∈，的取值范围是．

（第13题）

则m与l所成角

15.棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为．

16.直二面角－l－的棱上有一点A，在平面，内各有一条射线AB，AC与l成45°，AB，AC，

则∠BAC＝．

三、解答题

17.在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．

（1）求证：

BC⊥AD；

（2）若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A－BC－D的正弦值；

（3）设二面角A－BC－D的大小为，猜想为何值时，四面体A－BCD的体积最大．（不要求证明）

（第17题）

18.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．

（1）求证：

平面EDB⊥平面EBC；

（2）求二面角E－DB－C的正切值.

（第18题）

19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，

．