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非线性系统的分析
非线性系统理论
1.1.非线性系统特点
非线性系统与线性控制系统相比,具有一系列新的特点
],线性系统满足叠加原理,而非线性控制系统不满足叠加原理。
图8-1带滤波器的非线性系统
2•非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数,而且与系统的初始条件以及
外加输入有关系。
例:
对于一由非线性微分方程X=-x(1―)
dx
描述的非线性系统,显然有两个平衡点,即x1=0和x2=1。
将上式改写为
=—dt
x(l-x)
设20吋,系统的初态为咛积分上式可得
8.1.2研究非线性系统的意义与方法1•研究非线性系统的意义
1)实际的控制系统,存在着大量的非线性因素。
这些非线性因素的存在,使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论,与实际系统的控制效果不一致。
线性系统理论无法解释
非线性因素所产生的影响。
2)非线性特性的存在,并不总是对系统产生不良影响。
2•研究非线性系统的方法
1)相平面法是用图解的方法分析一阶,二阶非线性系统的方法。
通过绘制控制系统相轨迹,
达到分析非线性系统特性的方法。
2)描述函数法是受线性系统频率法启发,而发展出的一种分析非线性系统的方法。
它是一
种谐波线性化的分析方法,是频率法在非线性系统分析中的推广。
3)计算机求解法是利用计算机运算能力和高速度对非线性微分方程的一种数值解法。
8.2
典型非线性特性的数学描述及其对系统性能的影响8.2.1饱和特性在电子放大器中常见的
一种非线性,如图8-5所示,饱和装置的输入特性的数学描述如下:
8.2.2死区特性
死区特性也称为不灵敏区,如图8-6所示。
其数学描述如下:
D
eO
C
823间隙
如图8-7所示,它的数学描述如下:
X(t)>0
X(t)<0
x(t>o
®3-E(0理隠的堆电柠性
具死区的继电特性
图8-8(b)具死区的继电特性
具磁滞回环的继电特性
e(l)>O,e>eO;X(/)=i・・2)—耐点电点 E M 0 ^6-8(c>眞滞环的讎电借性 具磁滞回环和死区的继电特性 rM x(t)二《0 -M言沁、e>eOe<0}e>meOe>0? -? ne 臭©-eO^^neO轟qezw宕 e QmeOeO 图g馬代)具竄浦回环和死区的维电特性 8.3描述函数法8.3.1描述函数的概念描述函数适用于具有以下特点的非线性系统。 1•系统线性部分和非线性环节可以分离。 如图 8—9所示,图中NL为非线性环节,G为线 ^8-9非线性系统典型结构 性部分的传递函数。 2•非线性特性具奇对称特性,且输入输出关系为静特性。 3•线性部分应具良好的低通滤波特性。 若满足以上条件,描述函数可定义为非线性环节输出基波分量与输入正弦量的复数比。 假定,给非线性环节的输入为正弦量(8-9)—般情况下,其输出为周期函数,可展开成傅立 x(t)誇二e(t)=Asincot亠'A,cosntBnsinnt n 12H Anx(t)cosntd(t) : ! .L0 Bn 2二 [x(t)sinn灼td®t) 描述函数是输入振幅A的函数,是一个可变增益的放大系数 832典型非线性的描述函数 1.饱和特性 如图8—10所示.该饱和特性输入处)=血in啦 饱和特性描述函馥求得如F; 2.死区特性 当输入炎)=Asinas时,非线性特性输入输出波形如图8-llBr示. 0 K-a 图8—11死区持性及输入输出波形 由图所示,当=Asmat时,且小&式中£7=sinj死区输出为 A 0 K(Asmat-a) 0 输出为奇函数,^=0,01 2ft. =—\x(t)sincotd(a)t) -KA7T 3.间隙 当输入g(z)=Asin少Z时,由间隙的数学描述可知,间隙输出x(t)为 式中 2f +—LK(A-a)cosaid(at) 2 +—fK(Asin01+a)cosatd(nt) (8・22) AKA 矜叫警卜仔卜(仔J (8・23) 于杲,可求得间隙的描述函数N(A)为 昭卡P沪咔[严佇+符毎丐 (8-25) 虫心_4) 4.继电特性 假定输入g(t)=Asinat,继电特性输出为 0 a、0at0咒一%兀一。 2S皿£席 ・-ima sin A 2ab(m一1) (8-27) nA 1- ma 22? B1=— 7T 具死区和磁滞回环继电特性的描述函数N(A)为 II (_r *FJ 1 1-m —+1+d _(/T)[一 II 1 上丿V (8-30) 当m=1,0时,可求如图8—15所示具死区的继电特性的描述函数为 (8-33) 图呂一15具死区继电特性 当m=-1时,可求得如图8-16所示具滞环的继电特性的描述函数为 图呂-16具滞坏继电特性 833多重非线性的描述函数1.串联非线性 如图8-17所示串联非线性。 串联非线性特性的描述函数绝不等于两个非线性描述函数的乘积。 假定图8—17中NL[为死区非线性,NL2为饱和非线性,它们串联后复合非线性如图8—18所示。 2.并联菲线性 并联非线性特性如图8—仙所示口 图8—19并联非线性 8.3.4用描述函数法分析非线性系统 一非线性系统结构如图8—21所示,假定输入为零,图中N(A)为非线性环节的描述函数 X2=A2sint 图8—21非线性系统 式中: ⑧+工了0田)+ZHO) 假定: N(A)二肌4)严 =Tg(丿田眄同sin(at+ff) 则: 兀&)=-W⑷悩(疋)禺泗o+”町 如果 即I 鳥香于恥 则意味着产生了自激振荡, I"⑷怪0)3心如0)|=1(M5) 6+^=(2n+1)疗 C8-36) 综合公式(8—35)(8-36)可得出系统产生自激振荡的条件为 G(j) 1 N(A)
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