初中八年级数学上册第二章汇总.docx
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初中八年级数学上册第二章汇总
2.1轴对称与轴对称图形
知识点一:
轴对称
1,下列的图形中,左边图形与右边图形成轴对称的是( D )
A.
B.
C.
D.
知识解读:
把一个图形沿着一条直线翻折,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这条直线对称,也称这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴,两个图形中的对应点叫做对称点。
轴对称的条件:
(1)必须是两个图形;
(2)存在一条直线,两个图形沿着这条直线对折后能够重合;
知识点二:
轴对称图形
2.如图,下列图案是我国几家银行的标志,其中不是轴对称图形的是
(C)
A.
B.
C.
D.
知识解读:
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够互相重合,那么称这个图形是轴对称图形,这条直线就是对称轴。
知识点三:
轴对称与轴对称图形的区别和联系
3.如图,在长方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,试用折叠的方法判断:
(1)图中有哪几对三角形成轴对称?
画出它们的对称轴;
(2)图中哪几个三角形是轴对称图形?
画出它们的对称轴。
解:
(1)△OAB和△ODC,△ABC和△DCB,△ABD和△DCA成轴对称,它们的对称轴是直线MN;△OAD和△OBC,△ABC和△BAD,△ADC和△BCD成轴对称,它们的对称轴是直线PQ;
解:
△OAB、△OBC、△ODC、△OAD都是轴对称图形,△OAB、△ODC的对称轴都是直线PQ;△OBC、△OAD的对称轴都是直线MN
知识解读:
轴对称和轴对称图形的区别和联系:
区别:
(1)轴对称是指两个图形间的位置关系,轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形;
(2)轴对称涉及两个图形,轴对称图形是对一个图形而言的.
联系:
(1)定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合;
(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称;反过来,如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.
题型一:
识别轴对称图形及轴对称
4.观察下列大写英文字母:
A、B、H、S、T、Y、Z,这7个大写字母中是轴对称图形的有那几个?
答:
A、B、H、T、Y是轴对称图形,共有5个;
题型二:
确定轴对称图形的对称轴
5.判断下列图形是否为轴对称图形?
如果是,说出它有几条对称轴.
解:
(1)(3)(5)(6)(9)不是轴对称图形;
(2)(4)有1条对称轴;(7)有4条对称轴;(8)有1条对称轴;(10)有2条对称轴.
题型三:
生活中的轴对称现象
6.小亮在镜中看到身后墙上的时钟如下,你认为实际时间最接
近8:
00的是(D)
A.
B.
C.
D.
点拨:
可看试题的背面,背面显示的时间就是实际的时间;
题型四:
动手操作题
7.如图所示,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,则所得的图形是(C)
点拨:
每次翻折都是一次轴对称的变换,可由最后一格图逐步复原得到。
8.如图1所示,将矩形纸片先沿虚线 AB 按箭头方向向右对折,接着将对折后的纸片沿虚线 CD 向下对折,然后剪下一个小三角形,再将纸片打开,则打开后的展开图是(D)
A. B. C. D.
题型五:
综合探究题
8.如图所示的四个图形中,从几何图形的性质考虑与其他三个不同的图形序号是______.
解:
②。
因为①③④都是轴对称图形,②不是的。
9.数的运算中有一些有趣的对称式,如12×231=132×21,请你仿照这个等式填空:
×462=×
解:
因为462与264对称,且462和264分别是231和132的2倍,故另一对数可以分别是12和21的相同倍数的数,如12、21;24、42;36、63;48、84。
所以等式可以是12×462=264×21或24×462=264×42;
2.2轴对称的性质
知识点一:
线段的垂直平分线
1、直线MN垂直平分线段AB,垂足是O.如果AB=6cm,那么AO长为多少?
∠MOA的度数为?
注意点:
1、线段的垂直平分线是一条直线,不是线段或者射线
2、直线和射线没有中点,所以没有垂直平分线
3、线段、射线和直线都是轴对称图形,线段有两条对称轴一是他们本身所在的直线,二是他的垂直平分线,射线和直线都只有一条对称轴,是它本身或者它本身所在的直线
知识点二:
轴对称性质
2、图中的两组图形都成对称,请在图中标出A、B、C关于它们各自对称轴的对称点Aˊ、Bˊ、Cˊ。
3、
轴对称性质知识点:
1)成轴对称的两个图形全等;2)成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分,3)成轴对称的两个图形,它们的对称线段(或对称线段的延长线)的交点在对称轴上,4)成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。
4、如图所示,△ABC与△DEF关于直线l对称,则点ABC关于l的对应点分别是__D、E、F_,l是线段CF的___垂直平分线___,AB=_DE____,∠BAC=_∠EDF_,△ABC≌_△DEF_,若∠ABC=40°,则∠DEF=_40度_。
若△DEF的周长为32cm,则△ABC的周长为_32_cm。
知识点三:
画与已知图形形成轴对称的图形
6、如图,已知四边形ABCD和直线L.
(1)作出四边形ABCD以直线L为对称轴的对称图形A′B′C′D′;
(2)分别延长4条线段,使它们相交,你发现什么?
(3)你能提出更多的问题吗?
解:
1)过点A作AP⊥直线l,垂足为p,延长ap到aˊ,使AˋP=AP,得到点A关于直线l的对称点Aˋ,2)同理,作出点BCD关于直线l的对称点BˋCˋDˋ,3)顺次连接线段AˋB、ˋBCˋ、CˋDˋ、DˋAˋ则四边形AˋBˋCˋDˋ即为所求做的四边形
(2)交点在对称轴上;(3)与AD相等的线段是哪一条.
Eg,如图,已知△ABC和直线MN,画△ABC关于直线MN的轴对称图形,并写画图过程
知识点4,/由已知图形和一个点的对称点画出轴对称图形
5、已知四边形ABCD,如果点D、C关于直线MN对称,
(1)画出直线MN;
(2)画出四边形ABCD关于直线MN的对称图形.
1)连接dc,作出dc的垂直平分线,即为mn,2)分别画出点AB关于直线mn的对称点AˊBˊ,D的对称点为C。
c的对称点为d,顺次连接AˊBˊ,AˊD、BˊC、CD.则AˊBˊDC即为所求对称图形
知识点四:
利用轴对称的性质解决折叠问题
6、如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变.
(1)探索并写出这种关系;
(2)请说明理由.
表示出图中所有三角形的内角和以及所有四边形的内角和,整理化简即可得到所求角之间的关系.解答:
解:
(1)2∠A=∠1+∠2;
(2)在原三角形ABC中,∠A+∠B+∠C=180°①;在△ADE中∠A+∠ADE+∠AED=180°②;在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠ADE+∠AED=360°③;①+②-③得2∠A=∠1+∠2.点评:
注意:
①几何计算题中,常用到方程的思想;②求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件;③三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.
Eg,
如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D、E分别是边AB、AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A'重合,若∠A=75°,则∠1+∠2= 140
如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D、E分别是边AB..”主要考查你对 轴对称,三角形的内角和定理 等考点的理解。
:
试题分析:
有题意分析,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A′重合,则有:
由题知,
Eg,如图,把一张长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在点Dˊ、Cˊ的位置,若∠EFB=65°,则∠AED=
答案】分析:
首先根据AD∥BC,求出∠FED的度数,然后根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等,则可知∠DEF=∠FED′,最后求得∠AED′的大小.
解答:
解:
∵AD∥BC,
∴∠EFB=∠FED=65°,
由折叠的性质知,∠DEF=∠FED′=65°,
∴∠AED′=180°-2∠FED=50°.
故∠AED′等于50°.
知识点六、轴对称的性质在生活的应用
如图是跳棋盘,其中格点上的黑色点为棋子,剩余的格点上没有棋子,我们约定跳棋游戏的规则是:
把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行,跳行一次称为一步,已知点A为乙方一枚棋子,欲将棋子A跳进对方区域(阴影部分的格点),则跳行的最少步数为( )A.2步B.3步C.4步D.5步
观察图形可知:
先向右跳行,在向左,最后沿着对称的方法即可跳到对方那个区域,所以最少是3步.故选B.
eg如图,四边形CDEF是一个长方形的台球桌面,白、黑两球分别位于点A、B处,试问
怎样撞击黑球A,使A先碰到台边EF反弹后再击中白球B?
将A沿EF边对称,得一个点P,将P与B连线,该连线与EF交于Q,连AQ,AQB便是所要的路径,题目的意思是要入射角等于出射角,角AQE=角PQE.对称,角PQE=角BQF.对顶角,因此,角AQE=角BQF,入射角为角AQE的余角,出射角为角BQF的余角,因此入射角等于出射角
知识点七:
综合探究题
如图,正六边形ABCDEF中,对角线AD、BECF交于点o,问图中哪个三角形与△AOF成轴对称,并指出相应的对称轴(至少指出三个)
分析1)△AOB,对称轴为AD所在的直线2)△BOC,对称轴为AB的中垂线,3)△DOC,对称轴为EB所在的直线4)△EOD,对称轴为EF的中垂线5)△EOF,对称轴为FC所在的直线。
Eg,如图,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称,△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称.
(1)画出直线EF;
(2)直线MN与EF相交于点O,试探究∠BOB″与直线MN、EF所夹锐角α的数量关系.
(1)如图,连接B′B″.(1分)
作线段B'B″的垂直平分线EF.(2分)
则直线EF是△A′B′C′和△A″B″C″的对称轴.(3分)
(2)连接B′O.
∵△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,
∴∠BOM=∠B'OM.(5分)
又∵△A'B'C'和△A″B″C″关于直线EF对称,
∴∠B′OE=∠B″OE.(6分)
∴∠BOB″=∠BOM+∠B′OM+∠B′OE+∠B″OE=2(∠B′OM+∠B′OE)=2α
即∠BOB″=2α.(7分
如图,四边形ABCD的对角线ACBD相交于点O。
AC⊥BDOA>OC,OB>OD试问:
BC+AD>AB+CD
解法一:
证明:
在OA上截取OC′=OC,在OB上截取OD′=OD,连接C′D′,AD′,BC′,设BC′、AD′交于E,易证△COD≌△C′OD′(SAS),所以CD=C′D′,易证△AOD≌△AOD′,△COB≌△C′OB(SAS),所以AD=AD′,CB=C′B,在△C′D′E中,C′E+D′E>C′D′①在△ABE中,AE+BE>AB②①+②得AE+D′E+BE+C′E>AB+C′D′,所以AD′+BC′>AB+CD,所以AD+BC>AB+CD.
解法二:
由勾股定理得:
(BC+AD)-(AB+CD)=(BC-AB)+(AD-CD)
=(√OB^2+OC^2-√OA^2+OB^2)+(√OA^2+OD^2-√OC^2+OD^2)=(OC^2-OA^2)/
(√OB^2+OC^2+√OA^2+OB^2)+(OA^2-OC^2)/√OA^2+OD^2+√OC^2+OD^2)
=(OA^2-OC^2)(1/(√OA^2+OD^2+√OC^2+OD^2)-1/(√OB^2+OC^2+√OA^2+OB^2)
因为OB>OD,所以√OA^2+OB^2>√OA^2+OD^2,√OB^2+OC^2>√OC^2+OD^2
所以√OB^2+OC^2+√OA^2+OB^2>√OA^2+OD^2+√OC^2+OD^2
所以1/(√OA^2+OD^2+√OC^2+OD^2)>1/(√OB^2+OC^2+√OA^2+OB^2
又因为OA>OC,所以OA^2-OC^2>0,所以BC+AD>AB+CD
2.4线段、角的轴对称性
知识点一:
线段的轴对称性
1,如图,点p在线段AB的垂直平分线l上,若PA=4cm,则PB的长为多少
根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质,得PB=PA=4
知识点:
线段是轴对称图形,有两条对称轴,,垂直平分线和线段本身.
2,如图所示,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD和∠BCD,连接BD,则AC与BD交于点E,求证:
直线AC垂直平分线段BD
证明:
∵AC平分∠BAD和∠BCD,
∴∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,
在△ABC和△ADC中,
∴△ABC≌△ADC(ASA)
∴AB=AD,BC=DC.
∴点A、C在线段BD的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上),即直线AC垂直平分线段BD
3、如图,如图,点D在△ABC的边BC上.如果DC=DA,那么点D在线段( AB )的垂直平分线上;如果BC=DC+AD,那么点D在线段( AC)的垂直平分线上.
解:
∵BC=BD+AD=BD+CD
∴AD=CD
∴点D在AC的垂直平分线上.
知识解读:
线段的垂直平分线有如下定理:
(1)性质定理:
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;
(2)判定定理:
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
知识点二:
角的轴对称性
4,如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,BD:
DC=2:
1,BC=7.8cm,则D到AB的距离为 cm.
解:
过点D作DE⊥AB于E,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC
∴CD=DE
又BD:
DC=2:
1,BC=7.8cm
∴DC=7.8÷(2+1)=7.8÷3=2.6cm.
∴DE=DC=2.6cm.
故填2.6.
5,如图,在四边形ABCD中,AD∥BC且∠ABC=∠C,AD=DC,过点D分别作DE⊥AB、DF⊥BC,垂足分别为E、F.连接BD,求证:
BD平分∠ABC
证明:
∵AD∥BC,∠ABC=∠C
∴∠EAD=∠ABC=∠C
在△DEA和△DFC中,
∴△DEA≌△DFC(AAS)
∴DE=DF,又DE⊥AB,DF⊥BC,
∴BD平分∠ABC(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
知识解读:
角平分线有如下定理:
(1)性质定理:
角平分线上的点到角两边的距离相等;
(2)判定定理:
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上;
注意:
定理中的距离是指点到直线的距离,因此在应用时必须含“垂直”这个条件,否则不能直接得到线段的长度相等;
6.如图,已知OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点.若PA=2,则PQ的最小值为__2____,理论根据为__角平分线上的点到角两边的距离相等____.
题型一:
利用线段的轴对称性求线段长和角的度数
7.如图所示,已知AB比AC长2cm,BC的垂直平分线交AB于D,交BC于E,△ACD的周长是14cm,则AB=______cm,AC=______cm.
解:
∵DE垂直平分BC,
∴DB=DC.
∵AC+AD+DC=14cm,
∴AC+AD+BD=14cm,
即AC+AB=14cm.
又∵AB-AC=2cm,
设AB=xcm,AC=ycm.
根据题意,得
,
解得
∴AB长为8cm,AC长为6cm.
题型二:
利用角的轴对称性求线段长
8.如图所示在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥BA于E,AB=6厘米,则△DEB的周长是______厘米.
解:
∵AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥BA于E,∠C=90°,
∴CD=DE,DA平分∠EDC.
∴AC=AE,
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE
又∵BC=AC
∴△DEB的周长=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=6厘米.
题型三:
线段与角的轴对称性的综合应用
9.如图,OE、OF分别是AB、AC边的垂直平分线,∠OBC、∠OCB的平分线相交于点I,试判断OI与BC的位置关系,并给出证明。
题型四:
与线段、角有关的推理说明题
10.如图所示,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线与点E,且AE=
BD,求证:
BD是∠ABC的平分线。
证明:
延长AE、BC交于点F.
∵AE⊥BE,
∴∠BEF=90°,又∠ACF=∠ACB=90°,
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°,
∴∠DBC=∠FAC,
在△ACF和△BCD中,
∴△ACF≌△BCD(ASA),
∴AF=BD.
又AE=
BD,
∴AE=
AF
∴AE=EF,
在△ABE和△FBE中,
,
∴△ABE≌△FBE
∴∠ABE=∠FBE
∴BD是∠ABC的角平分线.
题型五:
线段、角的轴对称性在生活中的应用
11.在“V”形公路(∠AOB)内部,有两个村庄C和D,现要建一个果品加工厂,使其到“V”形公路的距离相等,且使C、D两村的工人上下班的路程一样,你认为能否做到?
如果能,指出果品加工厂的位置,并说明理由;如果不能,也请说明理由.
解:
能.它在∠AOB的平分线与线段CD的垂直平分线的交点处(如图中的P点).要到角两边的距离相等,它在该角的平分线上.因为角平分线上的点到角两边的距离相等;要到C、D两村的距离相等,它应在该线段的垂直平分线上.因为线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.所以它在∠AOB的平分线与线段CD的垂直平分线的交点处.
2.5等腰三角形的轴对称性
知识点一:
等腰三角形的性质
1.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且BD=AD,DC=AC,求∠B的度数。
解:
设∠B=x
∵AB=AC,BD=AD
∴∠C=∠B=x,∠BAD=∠B=x
∴∠CDA=∠B+∠BAD=2x
∵DC=AC
∴∠CAD=∠CDA=2x
∵∠BAC+∠B+∠C=180°
∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=5x
∴5x=180,x=36°
∴∠B=36°
2.如图所示,屋架的顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋椽AB=AC,求∠B,∠C,∠BAD,∠CAD的度数.
解:
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠BAD=100度
∴∠B=∠C=40度
∵AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD
∴∠BAD=∠CAD=50度
知识解读:
(1)等腰三角形的两底角相等;
(2)等腰三角形地边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”)
知识点二:
等腰三角形的判定
3.如图,已知∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,
(1)求∠1、∠2的度数;
(2)图中哪些三角形是等腰三角形?
解:
(1)∵∠C=36°,∠B=72°
∴∠BAC=180°-∠C-∠B=180°-36°-72°=72°
∵∠BAD=36°
∴∠1=∠BAC-∠BAD=72°-36°=36°
∠2=180°-∠B-∠BAD=180°-72°-36°=72°
(2)等腰三角形:
△ABC、△ACD、△ABD
4.如图所示,已知BD是△ABC的角平分线,DE∥BC交AB于点E,求证:
△BED是等腰三角形。
证明:
∵BD是△ABC的角平分线
∴∠EBD=∠DBC
∵DE∥BC,
∴∠EDB=∠DBC
∴EB=ED,即△BED是等腰三角形
知识点三:
等边三角形的性质及判定
5.如图,在等边三角形ABC中,D为AC的中点,延长BC至点E,使CE=CD,哪么BD与DE相等吗?
解:
∵△ABC是等边三角形 (已知),
∴∠ACB=60°(等边三角形性质).
∵CE=CD(已知),
∴∠E=∠EDC(等边对等角).
∵∠ACB=∠E+∠EDC(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),
∴∠E=30°.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=CB,∠ABC=60°(等边三角形性质),
∵D是AC的中点,
∴∠ABD=∠DBC=30°(等腰三角形三线合一).
∵∠E=30°,
∴∠E=∠DBC (等量代换),
∴DB=DE(等角对等边).
6.如图所示,已知△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,则△ADE是等边三角形?
证明:
∵△ABC是等边三角形(已知),
∴∠A=∠B=∠C(等边三角形各角相等),
∵DE∥BC(已知),
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等),
∴∠A=∠ADE=∠AED,
∴△ADE是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)。
知识解读:
等边三角形的各角都等于60°,等边三角形每边的中线、高线及所对角的平分线互相重合;
判定方法:
(1)三边相等的三角形是等边三角形;
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
知识点四:
直角三角形斜边上的中线的性质
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,AB=10,BC=6,求△BDC的周长。
解:
∵∠ACB=90°,D为AB的中点
∴BD=
AB=5,CD=
AB=5
∴△BDC的周长=CD+BD+BC=5+5+6=16
知识解读:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
题型一:
运用等边三角形的性质求角度
8.如图,等边△ABC中,D是BC上一点,以AD为边作等腰△ADE,使AD=AE,∠DAE=80°,DE交AC于点F,∠BAD=15°,求∠FDC的度数.
解:
∵∠DAE=80°,AD=AE,
∴∠ADE=
(180°-80°)=50°,
∠ADC=∠BAD+∠B=15°+60°=75°,
又∵∠ADE=50°
∴∠FDC=∠ADC-∠ADE=75°-50°=25°.
题型二:
运用等腰三角形的判定与性质进行证明
9.如图,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BE,试说明:
BD=2CE
证明:
延长BA交CE的延长线于点F
∵∠BAC=90
∴∠CAF=∠BAC=90,∠1+∠ADB=90
∵CE⊥BE
∴∠BEF=∠BEC=90
∴∠ACF+∠CDE=90
∵∠ADB=∠CDE
∴∠ACF=∠1
∵AB=AC
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∵∠1=∠2,BE=BE
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EC=EF=
CF
∴EC=
BD
∴BD=2EC
题型三:
运用等腰三角形的性质解决线段的和差问题
10.已知等边三角形ABC和点P,设点P到△ABC的三边AB,AC,BC的距离为h1,h2,h3,△ABC的高AM为h,
①当点P在△ABC的一边BC上.如图
(1)所示,此时h3=0,可得结论h1+h2+h3______h.(填“>”或“=”或“<”)
②当点P在△ABC内部时,如图
(2)所示;当P
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