作业1数学建模姜启源版.docx

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作业1数学建模姜启源版

实验一动力系统

一、实验目的与要求

掌握运用软件求解动态系统模型，通过研究散点图得到动态系统的内在性质和长期趋势。

通过对数据进行处理，归纳出动态系统模型。

1、用Excel对数据进行处理，建立动态系统模型并且进行验证；

2、用Excel画散点图，对动态系统模型解的长期趋势进行分析；

3、用Excel求解动态系统模型并估计均衡点；

4、用Excel分析多元动态系统模型。

二、实验内容

Example1.1P9研究课题第一题

随着汽油价格的上涨，今年你希望买一辆新的（混合动力）汽车。

你把选择范围缩小到以下几种车型：

2007ToyotaCamry混合动力汽车2007Saturn混合动力汽车2007HondaCivic混合动力汽车2007NissanAltima混合动力汽车2007MercuryMariner混合动力汽车。

每年公司都向你提供如下的“优惠价”。

你有能力支付多达60个月的大约500美元的月还款。

采用动力系统的方法来确定你可以买那种新的混合动力系统汽车。

混合动力汽车

“优惠价”（美元）

预付款（美元）

利率和贷款持续时间

Saturn

22045

1000

年利率5.95%，60个月

HondaCivic

24350

1500

年利率5.5%，60个月

ToyotaCamry

26200

750

年利率6.25%%，60个月

Mariner

27515

1500

年利率6%%，60个月

Altima

24900

1000

年利率5.9%%，60个月

解答如下，对五家公司分别建立动力系统模型：

Saturn:

Δbn=bn+1-bn=0.0595bn-6000

bn+1=bn+0.0595bn-6000

b0=21045

HondaCivic:

Δbn=bn+1-bn=0.055bn-6000

bn+1=bn+0.055bn-6000

b0=22850

ToyotaCamry:

Δbn=bn+1-bn=0.0625bn-6000

bn+1=bn+0.0625bn-6000

b0=25450

Mariner:

Δbn=bn+1-bn=0.06bn-6000

bn+1=bn+0.06bn-6000

b0=26015

Altima:

Δbn=bn+1-bn=0.059bn-6000

bn+1=bn+0.059bn-6000

b0=23900

Excel操作步骤：

1．打开excel表格，输入如下表格:

：

2．用智能标识把月份从0拉到5：

3.在B5输入=B4+0.0595B4-6000，回车后下拉即可可到序列B=（16297.18,11266.86,5937.238,…）。

同理在D,F,H,J行输入，得到如下表格：

4．在插入

图表

XY散点图，选中数据格就可得出下表：

（1）选中A1到B9的数据，建立散点图，得到Saturn表：

（2）选中C1到D9的数据，建立散点图，得到HondaCivic表：

（3）选中E1到F9的数据，建立散点图，得到ToyotaCamry表

（4）选中G1到H9的数据，建立散点图，得到Mariner表

（5）选中I1到J9的数据，建立散点图，得到Altima表

由图可知：

Saturn表的线最早与X轴相交，故我们可以得出应当购买Saturn公司的汽车。

Example1.2P16习题第二题

下列数据表示从1790到2000年的美国人口数据

Year

population

Year

Population

Year

Population

1790

3,929,000

1870

38,558,000

1940

131,669,000

1800

5,308,000

1880

50,156,000

1950

150,697,000

1810

7,240,000

1890

62,948,000

1960

179,323,000

1820

9,638,000

1900

75,995,000

1970

203,212,000

1830

12,866,000

1910

91,972,000

1980

226,505,000

1840

17,069,000

1920

105,711,000

1999

248,710,000

1850

23,192,000

1930

122,755,000

2000

281,416,000

1860

31,443,000

求出能够相当好地拟合该数据的动力模型，通过画出模型的预测值和数据值来测试你的模型。

解答如下：

首先均差计算公式可得下列差分表

divideddifferencetable

均差

Year

Observedpopulation

1790

392,900

1800

530,800

13,790

1810

7,240,000

670,920

32856.5

1820

9,638,000

239,800

-21556

-1813.75

1830

12,866,000

322,800

4150

856.8667

66.76542

1840

17,069,000

420,300

4875

24.16667

-20.8175

1850

23,192,000

612,300

9600

157.5

3.

1860

31,443,000

825,100

10640

34.66667

-3.07083

1870

38,558,000

711,500

-5680

-544

-14.4667

1880

50,156,000

1,159,800

22415

936.5

37.0125

1890

62,948,000

1,279,200

5970

-548.167

-37.1167

1900

75,995,000

1,304,700

1275

-156.5

9.

1910

91,972,000

1,597,700

14650

445.8333

15.05833

1920

105,711,000

1,373,900

-11190

-861.333

-32.6792

1930

122,755,000

1,704,400

16525

923.8333

44.62917

1940

131,669,000

891,400

-40650

-1905.83

-70.7417

1950

150,697,000

1,902,800

50570

3040.667

123.6625

1960

179,323,000

2,862,600

47990

-86

-78.1667

1970

203,212,000

2,388,900

-23685

-2389.17

-57.5792

1980

226,505,000

2,329,300

-2980

690.1667

76.98333

1990

248,709,873

2,220,487

-5440.64

-82.0212

-19.3047

2000

281,416,000

3,270,613

52506.27

1931.564

50.33962

根据excel中“工具

数据分析

回归”，可得如下图像

模型：

y=x2-3E+06x+8E+06

Example1.4P50第四题

假定斑点猫头鹰的主要食物来源是单一的食饵：

老鼠。

生态学家希望预测在一个鸟兽类保护区里斑点猫头鹰和老鼠的种群量水平。

令Mn表示n年后老鼠的种群量，On表示n年后斑点猫头鹰的种群量。

生态学家提出了下列模型：

Mn+1=1.2Mn-0.01OnMn

On+1=0.7On+0.002OnMn

生态学家想知道在栖息地两个种群能否共存以及结果是否对起始种群量敏感。

（a）比较上面模型中系数的正负号和例3中猫头鹰-模型中系数的正负号。

依次解释正在建模的捕食者——食饵关系中四个系数1.2、-0.01、0.7和0.002的正负号的意义。

（b）对下列表中初始种群数量进行检验并预测其长期行为：

猫头鹰

老鼠

猫头鹰

老鼠

情况A

150

200

情况C

100

200

情况B150

150

300

情况D

10

20

（c）现在利用给定的起始值对不同的系数的值做实验，然后再试不同的起始值。

长期行为是怎样的你的实验结果是否表明模型对系数是敏感的是否对起始值敏感？

解答如下：

（a）1.2和0.7分别是老鼠和猫头鹰增长率，都是正常数。

猫头鹰的存在是为了降低老鼠的增长率，反之亦然。

OnMn为两种生物竞争的激烈程度。

-0.001的负号表示随着竞争激烈程度的增加，老鼠的数目不断减少。

0.002的正号表示随着竞争激烈程度的增加，猫头鹰的数目不断增加。

（b）平衡点：

如果把（M,O）成为平衡点，那么必须同时有M=Mn+1=Mn和O=On+1=On,把它们带入模型给出

0=M*（0.2-0.001*O）

0=0*（-0.3+0.002*M）

平衡点的意义:

第一个方程表明如果M=0或O=200，那么老鼠的种群量没有变化。

第二个方程表明如果O=0或M=150，那么斑点猫头鹰的种群量没有变化。

如下图

（1）所示在（M,O）=（0,0）和（M,O）=（150,200）处于平衡点，因为两个种群的种群量在这两个点都没有变化。

Excel操作步骤：

1.打开excel表格，输入如下表格:

2．用智能标识把天数从2拉到30：

3.在B4输入=0.7*B3+0.002*B3*C3回车后下拉即可可到序B=（200,200,200…）。

在C4输入=1.2*C3-0.001*B3*C3回车后下拉即可可到序B=（150,150,150…）。

得到如下表格：

4．在插入

图表

XY散点图，选中数据格就可得出下表：

选中A1到C32的数据，建立散点图，得到平衡表：

（图1）

图1：

如果老鼠的种群量从150开始而猫头鹰的种群量从200开始，那么这两个种群都停留在它们的起始值处。

（b）

（1）情形A长期行为：

猫头鹰先逐渐变多，达到一个顶峰后，数目又逐渐下降。

后来随着老鼠的增加又逐渐上升。

老鼠数目先上升一小段，有急剧下降，后来是随着猫头鹰的减少而数目上升（他们的数目是互相波动的）

EXCLE操作同上图操作相似。

（2）情形B长期行为：

猫头鹰先逐渐变多，达到一个顶峰后，数目又逐渐下降。

后来随着老鼠的增加又逐渐上升。

老鼠数目先上升一小段，有急剧下降，后来是随着猫头鹰的减少而数目上升。

（他们的数目是互相波动的）

（3）情形C长期行为：

猫头鹰先逐渐变多，达到一个顶峰后，数目又逐渐下降。

后来随着老鼠的增加又逐渐上升。

老鼠数目先上升一小段，有急剧下降，后来是随着猫头鹰的减少而数目上升。

（他们的数目是互相波动的）

（4）情形D长期行为：

猫头鹰数目不断增长。

老鼠数目几乎不变，直到第26天开始不断增长。

（c）在情形A的基础上，利用给定的起始值对不同的系数的值做实验

（1）起始值相同，系数不同:

（2）起始值相同，系数不同:

Mn的系数1.2改为1.0OnMn的系数-0.001改为-0.02

On的系数0.7改为0.4OnMn的系数0.002改为0.001

散点图如下：

散点图如下：

长期行为：

长期行为：

猫头鹰灭绝，老鼠长期维持在113只左右。

猫头鹰和老鼠的数量互相波动。

（3）系数相同，起始值不同:

（4）系数相同，起始值不同:

猫头鹰的起始值150改为90老鼠的起始值200改为100

散点图如下：

散点图如下：

长期行为：

猫头鹰和老鼠的数量互相波动。

长期行为：

猫头鹰和老鼠的数量互相波动。

由实验结果可知，模型对系数敏感，对起始值敏感。