圆锥曲线必背口诀.docx
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圆锥曲线必背口诀
圆锥曲线必背口诀
圆锥曲线必背口诀-椭圆
椭圆定义
口诀:
椭圆三定义,简称和比积.
注解:
1、定义1:
(和)到两定点的距离之
和为定值
的点的轨迹叫做
椭员
2、定义2:
_(比)到定点和到定直线的距离之I比为定值I的点的轨迹叫做
椭圆.定点为焦点,定直线为准线,定值为离心率.(定值二ec1)
如图,设P为椭圆上一点,线(准线)的距离为PS=p,
P点到定直
(焦点)F的距离为PF,贝卩:
PF
|ps|
二e:
1(1-2)
S
k
P
rSJ
P点到定点
3、定义3:
(积)到两定点连线的斜率之
积为定值
的点的轨迹是
椭员
(1-2)式就是椭圆比为定值的定义式.
A,B为椭圆的两个短轴顶点.若直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率
为k2,则:
二e2一1(1一3)
(1-3)式就是椭圆积为定值|的定义式.
证明:
设P(x,y),则A(0,b)、B(0,_b)
于是,直线pa的斜率为:
k厂yp—yA=y—b
Xp—xAx
直线PB的斜率为:
k2=yp—yB=yF
Xp_XBX
x2
22
由椭圆方程:
务+%=1,
ab
22.2
xy-b
--o
2.2一07
ab
222
by-b
即:
2■—0,
ax
2
x
b2
2a
22
c…a2
——2——e-1
a
将②代入①得:
k=k,k2=e2-1:
:
:
0.
椭圆的性质定理
口诀:
长轴短轴与焦距,形似勾股弦定理①准线方程准焦距,a方、b方除以c②通径等于2ep,切线方程用代替③
焦三角形计面积,半角正切连乘b④
注解:
1、长轴短轴与焦距,形似勾股弦定理
长轴二2a,短轴二2b,焦距二2c,贝卩:
a^b2c2
2、准线方程准焦距,a方、b方除以c
准线方程:
a2
x二
(a方除以c)
准焦距p:
(焦准距)焦点到准线的距离:
p=~c(b方除以c)
3、通径等于2ep,切线方程用代替
椭圆的通径d:
过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距
cb2b2
离称为椭圆的通径.(通径d二2ep二2
aca
过椭圆上(xo,y。
)点的切线方程,用(xo,y。
)等效代替椭圆方程得到.
x0xy0y上
等效代替后的是切线方程是:
」厂+罟=1
ab
4、焦三角形计面积,半角正切连乘b焦三角形|:
以椭圆的两个焦点Fi,F2为顶点,另一个顶点P在椭圆上的三角形称为I焦三角形.
半角是指日二NF1PF2的一半.则焦三角形的面积为:
s=b2tan£证明:
设PF』=m,|PF^n,则m+n=2a.
22222=4c=4a-4b=(mn)-4b
mn=|PF!
HPF2F
2b2
SaFgnsin日
1対sin-b2
sin^
21cos-
1cos-
qe
siM「si'C%
所以:
椭圆的焦点三角形的面积为S.EPF2二b2tan2.
三、椭圆的相关公式
口诀:
切线平分焦周角,称为弦切角定理①
切点连线求方程,极线定理须牢记②
弦与中线斜率积,准线去除准焦距③
细看中点弦方程,恰似弦中点轨迹④
注解:
1、切线平分焦周角,称为弦切角定理
弦切角定理|:
切线平分椭圆焦周角的外角,平分双曲线的焦周角.焦周角是焦点三角形中,焦距所对应的角.
弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角,当弦为焦点弦|时(过焦点的弦),那么|切线是两个焦点弦的角平分线.
证明:
如图所示,红色直线为切线.
设P点的坐标为(x0,y0),则:
切线的方程:
Xo2XVo2^1
ab
切线的斜率:
k—b2Xo
ayo
a2y。
2b2Xo(Xoc)二(a2y。
2b2x。
2)b2cXa2y°(x。
c)-b2x°yo(a2x°yo-b2x°y°)a2cyo
a2b2b2cxob2(a2cxjb2
c2Xoyoa2cyocy,(cxoa2)cyo
2
bX。
yo
_ayoX。
—c_b2Xo(Xo—c)+a2y。
2
b2Xoyoa2yo(Xo—c)—b2x°y。
1-2
ayoX。
—c
z,22,22X,22,2,2,2.2、,2
(bX。
ayo)「bCX)ab「bcx。
b(a「cx。
)b
—222=—~22=—2~
cyo
(aXoy。
-bXoy。
)-acy,cXoy。
-acy。
cyo(cx。
-a)
由①②式可得:
tanR二tan刊,即:
r-•
即:
切线是两个焦点弦的角平分线.
2、切点连线求方程,极线定理须牢记
22
若Po(xo,yo)在椭圆x2y2=1外,则过p0作椭圆的两条切线,切点为
a2b2
P1,P2,则点P0和切点弦P1,P2分别称为椭圆的极点和极线.
切点弦P1P2的直线方程即极线方程:
丫計(称为极线定理)
当极点Po在椭圆上时,该点的切线就是
极线,切线方程就是极线方程.
证明:
如图所示,因为A,B在椭圆上,故:
Xc
3、弦与中线斜率积,准线去除准焦距
弦指椭圆内的一弦AB.中线指弦AB的中点M与原点0的连线,即
2
△OAB得中线.这两条直线的斜率的乘积,等于准线距离人一邑去
c
除准焦距(焦准距)P二b',其结果是:
kABkoM
c
b2
一2
a
22
即:
Ya2-Yb2
XA_XB
由①④得:
kABkO^=-—.证毕.
aXc
4、细看中点弦方程,恰似弦中点轨迹
中点弦AB的方程|:
在椭圆中,若弦AB的中点为M(X0,Yo),弦AB称
22x0xy0yx0y0
为中点弦,则中点弦的方程就是一厂+=一t+~rr,是直线方
abab
程.
5、|中点弦AB的方程|的证明:
22
A>设椭圆方程为:
X2Y2-1①
ab
中点弦AB的方程为:
y=kx•m②
YiY2
2
两者相交于AgyJ和B(X2,y2),则AB的中点M(x°,y。
)坐标满足:
则:
y。
=kx°m
故:
m二y()_kx0④
X。
XiX2
2
Y0
即:
1k22kmxm-b
(22)x22o
abbb
即:
(绪+k2)x2+2kmx+(m2—b2)=o⑤a
2km
b2k2
a
Xix2=
Xo
即:
(b2k2a2)Xo-ka2m
即:
b2xok2a2xo二-ka2yok2a2xo
即:
b2x°-ka2yo
故:
k「b2x。
⑦
ayo
D>将④代入⑥式得:
(b2•k2a2)x()=-ka2(y0-kx0)
E>将⑦代入④式得:
.2222丄」22
.丄bXoayo+bx°⑧
m二y°-kXo二y°2⑧
ayo
a2y°y「b2XoXa2y。
2b2x。
2
b2XoXa2y°y=b2x。
2a2y。
2
22
弩臂=X2•证毕.
abab
22
x()x*yoyx,y
中点M的方程就是一+厂二飞+市,仍为椭圆.
abab
22
A>设椭圆方程为:
X2y2=1①
ab
过点P)(xo,yo)的直线方程为:
y-y°二k(x—xo)即:
y=kx(y0-kx0),记:
=y0-kx0②则:
y=kx•m③
B>设AB中点M的坐标为(xm,yM)
则:
yMkxMm④
kma2
222
b2k2a2
即:
b2XM-k2a2XM-ka2yM-k2a2XM
即:
b%=-ka2yM,故:
k=-⑤
ayMb2b2
C>将⑤和②代入④式得:
yM=--1业%皿+(y°十¥^阳
ayMayM
即:
a2yM^-b2XM2a2yMy°,FxmX。
,即:
a、”2•Fx”2二a2yMy。
•b2x“x°
22
yM.XM
22ba
⑥式就是弦中点M的轨迹方程.证毕.
屮点弦方程和弦中点的轨迹方程,这两个方程有些相似,要擦亮眼
睛,千万不要搞混了.
圆锥曲线必背口诀
圆锥曲线必背口诀-双曲线
、双曲线定义
口诀:
双曲线有四定义,差比交线反比例
注解:
1、定义1:
(差)平面内,到两个定点Fi,F2的距离之差的绝对值为定值
2^FlF2,的点的轨迹称为双曲线.定点Fi,F2叫双曲线的焦点.
即:
|PFi—PF2〔=2a4F1F2I(2—1)
(2-1)就是差为定值的双曲线的定义式.
2、定义2:
I比)平面内,到给定一点及一直线的距离之比为定值e>1的点的轨迹称为双]曲线.定点Fi,F2叫双曲线的焦点.
定直线L叫双曲线的准线.
如图所示,更』=e>1(2-2)
|PS|
J
L
S
兀
7
O
(2-2)式就是|比为定值|的双曲线定义式.
3、定义3:
1(交线)一平面截一圆锥面,当截面与圆锥面的母线不平行,且与圆锥面的两个圆锥都相交时,交线称为双曲线.
如图所示,蓝色线为圆锥面,红色线为平面,红色面与蓝色面的交线就是双曲
线.这就是本双曲线的定义•
实际上,椭圆和抛物线也有这样的定义,所以将它们统一称为“圆锥曲线”.
4、定义4:
(反比例)在平面直角坐标系中,反比例函数
厂x的图象称为双曲线-
证明:
反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到.
证明:
因为xy二k的对称轴是y=x,y…X,而=1的对称轴
是x轴,y轴,所以应该旋转45°.
设旋转的角度为a(a式0,顺时针)
则有:
X=xcosa+ysina,Y=-xsin。
+ycos
取-二45°,则:
X2-Y2=(xcos45°ysin45°)2-(xsin45°-ycos45°)2
122
\xy-x-y=2xy
而xy二k,所以,X2-Y2=2xy=2k
X2y222
即:
2k「2k=1(k0)或(:
kMkL(k0)
由此证得,反比例函数其实就是双曲线I的一种形式,只不过是双曲
线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.
、双曲线的性质定理
口诀:
实轴虚轴与焦距,形似勾股弦定理耳
准线方程准焦距,a方、b方除以c②
通径等于2ep,切线方程用代替③
焦三角形计面积,半角余切连乘b④
注解:
实轴虚轴与焦距:
形似勾股弦定理
实轴二2a,虚轴二2b,焦距二2c,贝y:
a2b^c2
与勾股弦定理形似.
准线方程准焦距,a方、b方除以c
准线方程:
(a方除以c)
准焦距(焦准距)P:
焦点到准线的距离:
(b方除以c)
通径等于2ep,切线方程用代替
2b2)
双曲线的通径d:
过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间
的距离称为双曲线的通径.(通径d=2e^2——=
aca
过双曲线上P0(X0,y。
)点的切线方程,用Po(xo,yo)等效代替双曲线方程
得到,等效代替后的是切线方程是:
焦三角形计面积,半角余切连乘b
焦三角形:
以双曲线的两个焦点Fi,F2为顶点,另一个顶点P在椭圆
上的三角形称为焦三角形.半角是指一F1PF2的一半.
双曲线J二1的左右焦点分别为F.F2,
ab
点P为双曲线上异于顶点任意一点
F!
PF^,则双曲线的焦点三角形满足:
PFiPF2
2b2
1一cos
即:
m+n-2mncosy=4c2=4a2+4b2=(m-n)+4b2
即:
2mn-2mncos『=4b2
即:
2b2=mn(1-cos?
)
2b2
即:
mn-
1-cos'
即:
PF'IPF2=12L
那么,焦点三角形的面积为:
切点连线求方程,极线定理须牢记②
弦与中线斜率积,准线去除准焦距③
细看中点弦方程,恰似弦中点轨迹④
注解:
1、切线平分焦周角,称为弦切角定理
弦切角定理|:
切线平分椭圆焦周角的外角,平分双曲线的焦周角
焦周角是焦点三角形中,焦距所对应的角.
弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角,当
弦为焦点弦时(过焦点的弦),则:
切线是两个焦点弦的角平分线.
如图,F1PF2是焦点三角形,.F1PF2为焦周角,PT为双曲线的切线.则PT平分.F1PF2.
2222
证明:
设P(xo,yo)在双曲线笃-岭=1上,贝S:
~x°r=1
abab
即:
b2x02-a2y02二a2b2①
p(xo,y°)点的切线方程为:
■x°2X—_y°y=iab
切线PT的斜率为:
k=b2Xo②
ayo
PF!
的斜率为:
匕=yP-y1二yo③
Xp—Xpx0+c
PF2的斜率为:
k2二yP一y2二y°④
Xp_x2x0_c
设直线PT与PFi的夹角为齐,直线PT与PF2的夹角为去
tan^
k-k,
1kki
将②③代入⑤得:
2
bxoyo
2222
ayoXocbXo(Xoc)-ayo
2=~22
bXoyoayo(xoc)bXoyo
12
ayoXoc
将①式和
a2b2
代入上式得:
a2b2+b2CXjb2(a2+cxJb2
tan—222
cXoyoacyocyo(cX)a)cyo
而:
taz2=k2k
1+k2k
将②④代入⑦式得:
2
yobXo
cyo
cXoYo-acyocyo(cX)-a)
由⑥和⑧式得:
tan片=tan玉由于片―(。
,二),故:
片八2
即:
切线是两个焦点弦的角平分线•证毕.
的直线方程即极线方程是:
芳罟=1(称为极线定理)
Xca
证明:
如图所示,
因为A,B在双曲线上,
22
故:
XA-yA=1,
ab
上面两式相减得:
22B2即:
YA^B=b
“I・222
Xa-Xba
22
直线AB的斜率为:
yA一yB②
XaXb
中点M的坐标为:
(XAX
2
ByA*yB)
,2
则中线0M的斜率为:
koM
YaYb
XaXb
由②③得:
kAekoM
yA-ye
由①④得:
kABkOM
b=p.证毕.
Xc
4、细看中点弦方程,恰似弦中点轨迹
中点弦AB的方程|:
在双曲线中,若弦AB的中点为M(x0,y0),称弦AB
为中点弦,则中点弦的方程就是:
弦中点M的轨迹方程:
在双曲线中,过双曲线外一点P0(x0,y0)的弦
AB,其AB中点M的方程就是:
5、中点弦AB的方程的证明:
A>设双曲线方程为:
a2b2"①
中点弦AB的方程为:
y=kx•m
两者相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)
则AB的中点M(x0,y0)坐标满足:
xo「x2,yo
yiy2③
即:
(b2-k)x2-2kmx-(m2b2)=0a
C>由韦达定理得:
X「X2二fkm
2kma2
2222b2b-ka
2一k
a
D>
故:
Xt+x2kma2
X0222
2b-ka
即:
(b2-k2a2)x。
=ka2m⑥
将④代入⑥式得:
(b2一k2a2)x0二ka2(y0-kx0)
即:
b2x0k2a2x0二
即:
b2x。
=ka2
y。
故:
k」'
⑦
ay°
222kay0kax0
E>将⑦代入④式得:
222222
.bXoay。
-bx°⑧
m二y°-kx°二y°-22⑧
ay。
ay。
b222b22
将⑦⑧代入②式得:
y=b2X0x・ay0「bX0
ay。
ay。
即:
222222ay()y二bx°xay。
bx。
即:
bx(jx-ay()y二bx。
ay。
即:
22
弩一仁蔦t.证毕.abab
6、弦中点M的轨迹方程I的证明:
22
A>设双曲线方程为:
%2一丫2=:
1①
ab
过点P)(x。
y。
)的直线方程为:
y-y。
=k(x-x。
)
即:
y=kx(y。
-kx。
)
记:
m=y。
-kx。
②
则:
y二kxm③
B>设AB中点M的坐标为(xM,yM)
则:
yMkxMm④
借用上题的结果:
Xm
kma2
b2
-k2a
将④代入上式得:
XMt2k;2a2(yM-kXM)
即:
b2XM-略%=ka2yM-Fa%
即:
b2XM-ka2yM
故:
k=b2xM⑤
aYm
22
C>将⑤和②代入④式得:
yM=b2XMXm(yo—b2XMXo)aYmayM
即:
22.22.2.2
aYm=bXmaYmYo-bXmxo
即:
aYmbXm=aYmYo-bXmXo
22
即:
yMXMyMy0XMX0
⑥
baab
⑥式就是弦中点M的轨迹方程.证毕.
圆锥曲线必背口诀
圆锥曲线必背口诀-抛物线
一、抛物线定义
口诀:
抛物线,有定义,定点定线等距离
注解:
1、到一个定点和一条定直线距离相等得点的轨迹称为抛物线
定点为抛物线的焦点,
定直线为抛物线的准线
2、二次函数的图象是抛物线.
3、平面与圆锥相截,除了圆、椭圆、双曲线外,还有抛物线.
二、抛物线性质
口诀:
焦点准线极点线①,两臂点乘积不变②
焦弦切线成直角,切点就是两端点③
端点投影在准线,连结焦点垂直线④焦弦垂直极焦线⑤,切线是角平分线⑥直角梯形对角线,交点就是本原点⑦
焦弦三角计面积,半个P方除正弦⑧注解:
1、焦点准线极点线
抛物线的焦点和准线是一对极点和极线.
抛物线方程:
y2=2px,焦点F(§0),准线耳一子
抛物线的顶点。
(0,0)到定点F(P,。
)和定直线距离相等
所以,P称为焦准距,是焦点到准线的距离
A
焦弦:
过焦点的直线与抛物线相父于两点A和B,
则AB称为焦弦.
—
1
弦中点
M(xM,yM),xM/A;XB,yM=yA;yB
焦弦方程:
y=k(x—卫),k为斜率.
2
2、|两臂点乘积不变
焦点三角形两边|0A|和|OB|的点乘积为定值,且夹角是钝角证明:
A>焦弦AB满足的条件
抛物线方程:
y2=2px①
因为焦弦AB过焦点F(P,0),
2
故其方程:
y=k(x—P)②
2
由①②消去y得:
k2(x-p)2=2px
2
22
即:
k2x2-(k22)pxP=0③
4
D
A
E
M
F
B
则:
yAyB=-<2PXaj2pXB=-2PJXaXb=-2p号=—p2
则:
『aYb=-p2①
2
且2pXaXb=P2,即:
XaXb=p②
4
求导数:
yy'=p,即:
y
故斜率:
kAE二P,kBE
p
y
yB
于是:
kAEkBE=PP:
2p
目ayB
yAyB
由上题①式yAyB--P2代入上式得:
即:
AE_BE
故:
在焦弦端点A,B的切线互相垂直
kAE
CFDF=0
4、端点投影在准线,连结焦点垂直线
即:
|焦弦端点A,B在准线的投影点―D,C与焦点F构成直角三角形
证明:
准线方程x=-P
2
故坐标5-:
小),
22
因为焦点F(P,0)
2
故:
CF=(p,-yB),DF=g-yA)
于是:
CFDF=p2yAyB
将上题①式yAyB--p2代入上式得:
故:
CF_DF
即:
焦弦端点A,B在准线的投影点D,C,则CF—DF.
即:
.
5、焦弦垂直极焦线⑤,切线是角平分线⑥
若焦弦AB对应的极点E,则EF为极焦线,|于是:
EF丄AB.
证明:
Xo「P
2pyo
D
E
M
F
B
A>因为极线AB过焦点F,焦点与准线是一对
极点和极线,而E点是AB的极点,所以由自极三点形可知:
E点在准线上.
切线AE的斜率为:
kAE=y'=P①
yoyo
焦弦AB的斜率为:
2p
二叫二2kAE2②
4_卩24kAE
yo2
由①②可知,AE平分.DAB,即:
.DAEEAB③
故:
切线是角平分线⑥
B>由抛物线定义知:
AD=AF④
故:
ED二EF⑤
同理:
EC二EF⑥
贝卩:
|e为CD的中点故:
|ED|=EF|=EC⑦
C>设抛物线方程:
y2=2px,直线AB方程:
y=k(x-;)贝S:
x=yp
k2
故A,B点满足的方程为:
y2=2px=2p(¥+£)=年^+p2
即:
y2-2py-p2=o
k
由韦达定理得:
yA+yBu"⑧
k
由于yB)=(—p,p),F(p,o)
222k2
所以
EF=(p,—P),而AB=T(1,k)k
故:
BA
EFABW,k)"
故:
焦弦垂直极焦线⑤.证毕.
6、直角梯形对角线,交点就是本原点
即:
直角梯形ABCD对角线相交于原点
即:
A,O,C三点共线;B,O,D三点共线.
用向量法证明:
OA//CO,OB//DO
证明:
向量法,如图
2
由坐标A(2p,yA),
2
叫;,yB)
D(—
―一-2
向量:
。
A=(;P,yA),
CO=(2宀)
__一-yA
各分量之比:
(OA)X=2P
(CO)xP
2
由两臂点乘积不变得:
yA『B
代入上式得:
(叫
(CO)y
22yA_目a
2
P
-yAyB
故:
(OA)x(OA)yOA
■—
(CO)x(
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