23 高阶导数 隐函数导数.docx
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23高阶导数隐函数导数
例1
(1).求y=ax+bsincx的3阶导数.解:
y'=a+bccoscx,
y''=−bcsincx,
y'''=−bccoscx.32
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
例2.设y=e解:
y′=ae
y(n)ax,求y(n).,3ax′′′y=ae,...,ax,y′′=ae.2ax=aenax
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
内容小结
1高阶导数的概念
2高阶导数的求法:
(1)逐阶求导法
(2)利用归纳法
(3)利用莱布尼兹公式:
(uv)(n)k(n−k)(k)=Cnuv
k=0∑n(f(0)规定=f)
u,v:
一个高阶导数好算,
一个从某阶起高阶导数全为0.
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
作业
CT2-31(4,6,7,9,12);2;3;4;5;8;10;11*(2,3)CT2-41(2,3);2;3(1,3,4);4(1,4)
下次课内容
第四节
(2)由参数方程所确定的函数的导数
第五节函数的微分
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
T5.证明方程x=asinx+b,其中a>0,b>0,
至少有一个正根,并且它不超过a+b.证令f(x)=x−asinx−b,x∈[0,a+b].由初等函数的连续性可知,f(x)∈C[0,a+b],且
f(0)f(a+b)=−b⋅a[1−sin(a+b)]≤0
(1)当f(0)f(a+b)=0时,sin(a+b)=1⇒f(a+b)=0a+b就是原方程的一个不超过a+b的正根.
(2)当f(0)f(a+b)<0时,由零点定理,f(x)在(0,a+b)至少有一个零点,即方程至少有一个小于a+b的正根.综合
(1)
(2)可知,原方程至少有一个正根,并且它不超过a+b.
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
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