湖南省邵阳市邵东市第一中学学年高一下学期第一次月考数学试题.docx
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湖南省邵阳市邵东市第一中学学年高一下学期第一次月考数学试题
湖南省邵阳市邵东市第一中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.复数
(i为虚数单位)的虚部为( )
A.
B.6C.3D.
2.已知向量
,则
( )
A.(1,-2)B.(1,2)
C.(5,6)D.(2,0)
3.已知球的两个平行截面的面积分别为
和
,它们位于球心的同一侧,且距离为1,那么这个球的半径是( )
A.4B.3C.2D.0.5
4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=6,b=7,c=5,则sinC=( )
A.
B.
C.
D.
5.已知
,
,
,则( )
A.
B.
C.
D.
6.
内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若
,则
一定是( )
A.等腰三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
7.在
中,点D在线段
上,且满足
,点Q为线段
上任意一点,若实数x,y满足
,则
的最小值为( )
A.4B.
C.8D.
8.在一个正三角形的三边上,分别取一个距顶点最近的十等分点,连接形成的三角形也为正三角形(如图1所示,图中共有2个正三角形).然后在较小的正三角形中,以同样的方式形成一个更小的正三角形,如此重复多次,可得到如图2所示的优美图形(图中共有11个正三角形),这个过程称之为迭代.在边长这个过程称之为迭代.在边长为81的正三角形三边上,分别取一个三等分点,连接成一个较小的正三角形,然后迭代得到如图3所示的图形(图中共有10个正三角形),其中最小的正三角形面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题
9.已知
为虚数单位,则以下四个说法中正确的是( )
A.
B.
C.若复数
为纯虚数,则
D.复数
的虚部为
10.下列说法中正确的是( )
A.长方体是直四棱柱
B.两个面平行,其余各面是梯形的多面体是棱台
C.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D.平行六面体不是棱柱
11.对于
ABC,有如下判断,其中正确的判断是( )
A.在非等腰
ABC中,满足
,则
ABC为钝角三角形;
B.若
,
,
,则符合条件的
ABC有两个;
C.若
,则
ABC为锐角三角形;
D.若
ABC的面积
,
,则
的最大值为1.
12.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理,它包含三个结论,其中一个是相交弦定理:
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.如图,已知圆O的半径为2,点P是圆O内的定点,且
,弦AC、BD均过点P,则下列说法正确的是( )
A.
为定值B.
的取值范围是
C.当
时,
为定值D.
的最大值为12
三、填空题
13.设
,
是两个不共线的非零向量,若向量
与
的方向相反,则k=________.
14.如图,
是水平放置的
的直观图,则
的周长为________.
15.如图所示,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(
+
)·
的最小值是________.
16.若满足条件
,
的
有两个,则边长
的取值范围是________.
四、解答题
17.已知
,
,
,
,
是复平面上的四个点,且向量
,
对应的复数分别为
,
.
(1)若
,求
,
;
(2)若
,
为实数,求
,
的值.
18.已知两个非零向量
和
不共线,
,
,
.
(1)若
,求
的值;
(2)若A、B、C三点共线,求
的值.
19.如图,已知圆锥的顶点为P,O是底面圆心,AB是底面圆的直径,
,
.
(1)求圆锥的表面积;
(2)经过圆锥的高PO的中点
作平行于圆锥底面的截面,求截得的圆台的体积.
20.
的内角
的对边分别为
,已知
.
(1)求
;
(2)若
为锐角三角形,且
,求
面积的取值范围.
21.设常数
,函数
.
(1)若
为偶函数,求
的值;
(2)若
,求方程
在区间
上的解.
22.已知向量
,
,函数
,
.
(1)若
的最小值为-1,求实数
的值;
(2)是否存在实数
,使函数
,
有四个不同的零点?
若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案:
1.A
【解析】
【分析】
根据复数虚部的概念直接求解.
【详解】
由复数的概念知,复数
的虚部为
.
故选:
A
2.A
【解析】
【分析】
由已知条件直接求解即可
【详解】
因为向量
,
所以
,
故选:
A.
3.B
【解析】
【分析】
作出图形,设球心到较大的截面圆圆心的距离为
,并计算出两个截面圆的半径,
球体半径列出有关
的方程,求出
即可得出球体的半径的值.
【详解】
如图所示,
设球
的半径为
,设截面圆
的半径为
,截面圆
的半径为
,
由题意可知,
,截面圆
的面积为
,得
.
截面圆
的面积为
,得
.
设
,则
,即
,解得
,
则
,因此,这个球的半径为
.
故选:
B.
4.C
【解析】
【分析】
根据余弦定理求得
,判断角C的范围,继而求得答案.
【详解】
因为a=6,b=7,c=5,所以
,
则C为锐角
故
,
故选:
C.
5.A
【解析】
【分析】
利用对数函数,指数函数单调性及中间值比大小.
【详解】
,
,
,故
.
故选:
A
6.C
【解析】
【分析】
利用余弦定理角化边整理可得.
【详解】
由余弦定理有
,整理得
,故
一定是直角三角形.
故选:
C
7.D
【解析】
【分析】
由向量共线定理及推论得到
,再使用基本不等式求出最小值.
【详解】
由题知点D满足
,由
,由点Q在线段
上,结合向量的三点共线定理可得
,
,
,则
,当且仅当
,即
等号成立,即D选项正确.
故选:
D
8.A
【解析】
【分析】
先用余弦定理得到边长之间的关系,再结合归纳推理找到规律,求出最小正三角形的边长即可.
【详解】
解:
设最大正三角形的边长为
,则
,
其内部迭代出的正三角形的边长分别为
,
,
,
,
由余弦定理得
,
同理得,
,
,
,
,
最小的正三角形的面积为
.
故选:
A.
9.AD
【解析】
【分析】
由虚数的运算性质,可判定A正确;根据虚数不能比较大小,可判定B不正确;由
时,可判定C不正确;根据复数的概念,可判定D正确.
【详解】
对于A中,由虚数的运算性质,可得
,所以A正确;
对于B中,根据虚数不能比较大小,所以B不正确;
对于C中,例如:
当
时,
,此时
,所以C不正确;
对于D中,根据复数的概念,可得复数
的虚部为
,所以D正确.
故选:
AD.
10.AC
【解析】
【分析】
根据棱柱、棱锥、棱台的定义判断.
【详解】
长方体是直四棱柱,A正确;
两个平面平行,其余各面是梯形的多面体,
当侧棱延长后不交于同一点时,就不是棱台,B错;
正棱锥的侧面是全等的等腰三角形,C正确;
平行六面体一定是棱柱,D错.
故选:
AC.
11.ABD
【解析】
【分析】
A.由
或
求解判断;B.根据
,
,
,利用余弦定理求解判断;C.举例判断;D.根据
ABC的面积
求得A,再根据
,得到
,然后由
,求解判断;
【详解】
A.在非等腰
ABC中,满足
,所以
或
,解得
(舍去))或
,故
ABC为钝角三角形,故正确;
B.因为
,
,
,由余弦定理得
,即
,则
,
因为
,所以
,所以
则符合条件的
ABC有两个,故正确;
C.当
时,满足
,
ABC为直角三角形,故错误;
D.因为
ABC的面积
,且
,所以
,则
,因为
,所以
,
所以
,当
时,等号成立,故正确;
故选:
ABD
12.AC
【解析】
【分析】
根据题设中的圆幂定理可判断AC的正误,取
的中点为
,连接
,利用向量的线性运算可判断B的正误,根据直径的大小可判断D的正误.
【详解】
如图,设直线
与圆
于
,
.
则
故A正确.
取
的中点为
,连接
,则
,
而
,故
的取值范围是
,故B错误.
当
时,
,故C正确.
因为
,故
,故D错误.
故选:
AC
13.
【解析】
【分析】
根据共线向量定理可得
,解方程即可得到答案;
【详解】
由题意知,
.
,又
不共线,
∴
.
故答案为:
14.
【解析】
【分析】
根据斜二测画法的规则得到直角三角形
的直角边长,用勾股定理求出斜边长可得结果.
【详解】
根据斜二测画法的规则可知,
,
,
,
所以
,
所以
的周长为
.
故答案为:
.
【点睛】
关键点点睛:
掌握斜二测画法的规则是解题关键.
15.
【解析】
【详解】
试题分析:
因为点O是线段AB的中点,所以向量
=
.所以
=
.又因为向量
是互为相反向量.所以
=-2
=-2
=
.所以填
.
考点:
1.向量的求和运算.2.向量的数量积.3.最值问题.
16.
【解析】
【详解】
分析:
根据正弦定理,将式子中边转化成角,求出∠C的度数;利用存在两个解的条件求出BC的取值范围.
详解:
因为
所以
,由正弦定理可得
,因为三角形中
所以
,即
过B作AC边上的高BD,垂足为D,则
,若存在两个三角形ABC
则
解得
点睛:
本题考查了正弦定理的综合应用.正弦定理解题时,要根据边长关系确定多个解的情况,属于中档题.
17.
(1)
,
(2)
【解析】
【分析】
(1)求出
,
,由题得
,解方程组即得解;
(2)由题得
,解方程组即得解.
【详解】
(1)∵
,
,
所以
,
,
所以
,
又
,
∴
,∴
,
∴
,
.
(2)由
(1)得
,
,
∵
,
为实数,
∴
,∴
.
【点睛】
本题主要考查复数的概念和计算,考查复数的模的计算,考查向量对应的复数的计算和复数的几何意义,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18.
(1)-1
(2)-1
【解析】
【分析】
(1)根据
即可得出,
,由
即可得出1+k=0,从而求出k的值;
(2)根据A,B,C三点共线即可得出
,从而可得出
,根据平面向量基本定理即可得出
,解出k即可.
【详解】
解:
(1)
;
∴
=
;
∵
;
∴k+1=0;
∴k=-1;
(2)∵A,B,C三点共线;
∴
;
∴
;
∴
;
∵
不共线;
∴由平面向量基本定理得,
;
解得k=-1.
【点睛】
本题考查向量减法的几何意义,以及向量的数乘运算,平面向量基本定理.
19.
(1)
;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)由题意可知,该圆锥的底面半径
,母线
,从而可求出锥的表面积,
(2)先求出大圆锥的高,从而可求出小圆锥的高,进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积
【详解】
解:
(1)由题意可知,该圆锥的底面半径
,母线
.
∴该圆锥的表面积
.
(2)在
中,
,
∵
是PO的中点,∴
.
∴小圆锥的高
,小圆锥的底面半径
,
∴截得的圆台的体积
.
20.
(1)
;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理化简题中等式,得到关于B的三角方程,最后根据A,B,C均为三角形内角解得
.
(2)根据三角形面积公式
,又根据正弦定理和
得到
关于
的函数,由于
是锐角三角形,所以利用三个内角都小于
来计算
的定义域,最后求解
的值域.
【详解】
(1)根据题意
,由正弦定理得
,因为
,故
,消去
得
.
,
因为故
或者
,而根据题意
,故
不成立,所以
,又因为
,代入得
,所以
.
(2)因为
是锐角三角形,由
(1)知
,
得到
,
故
,解得
.
又应用正弦定理
,
,
由三角形面积公式有:
.
又因
故
,
故
.
故
的取值范围是
【点睛】
这道题考查了三角函数的基础知识,和正弦定理或者余弦定理的使用(此题也可以用余弦定理求解),最后考查
是锐角三角形这个条件的利用.考查的很全面,是一道很好的考题.
21.
(1)
;
(2)
或
或
.
【解析】
【分析】
(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出,
(2)先求出a的值,再根据三角形函数的性质即可求出.
【详解】
(1)∵
,
∴
,
∵
为偶函数,
∴
,
∴
,
∴
,
∴
;
(2)∵
,
∴
,
∴
,
∴
,
∵
,
∴
,
∴
,
∴
,或
,
∴
,或
,
∵
,
∴
或
或
【点睛】
本题考查了三角函数的化简和求值,以及三角函数的性质,属于基础题.
22.
(1)
;
(2)
.
【解析】
【详解】
试题分析:
(1)利用向量数量积的公式化简函数
即可.
(2)求出函数
的表达式,利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可.
(3)由
=0得到方程的根,利用三角函数的性质进行求解即可.
试题解析:
(1)∵
,
,
∴
,
∵
∴
,
,令
,
∴
∵
,对称轴为
,
①当
即
时,当
时,
∴
舍,
②当
即
时,当
时,
∴
,
③当
即
是,当
时,
∴
舍,
综上,
.
(2)令
,即
,
∴
或
,∵
,
有四个不同的零点,
∴方程
和
在
上共有四个不同的实根,
∴
∴
∴
.
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