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a初中数学第一册教案全集
初一数学知识点总结
一、实数
1.实数的分类:
实数 (注:
还有其它的分类方法)
2.概念:
实数:
有理数和无理数统称为实数。
实数与数轴上的点是一一对应的关系。
有理数:
整数和分数统称为有理数。
无理数:
无限不循环小数叫做无理数,如
等。
自然数:
表示物体的个数0、1、2、3、4~(0包括在内)都称为自然数。
正整数:
+1,+2,+3,……叫做正整数。
负整数:
-1,-2,-3,……叫做负整数。
整数:
正整数、0、负整数统称为整数。
分数:
正分数、负分数统称为分数。
奇数:
不能被2整除的整数叫做奇数。
如-3,-1,1,5等。
所有的奇数都可用2n-1或2n+1表示,n为整数。
偶数:
能被2整除的整数叫做偶数。
如-2,0,4,8等。
所有的偶数都可用2n表示,n为整数。
质数:
如果一个大于1的整数,除了1和它本身外,没有其他因数,这个数就称为质数,又称素数,如2,3,11,13等。
2是最小的质数。
合数:
如果一个大于1的整数,除了1和它本身外,还有其他因数,这个数就称为合数,如4,6,9,15等。
4是最小的合数。
一个合数至少有3个因数。
互质数:
如果两个正整数,除了1以外没有其他公因数,这两个整数称为互质数,如2和5,7和13等。
二、有理数
1.有理数:
凡能写成形式的数,都是有理数。
2.有理数的分类
①按定义分类:
②按符号分类:
正数和0统称非负数;正整数和0统称非负整数。
负数和0统称非正数;负整数和0统称非正整数。
③整数和分数统称有理数;正整数、0、负整数统称整数;正分数和负分数统称分数。
④0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,+a也不一定是正数;不是有理数。
⑤有理数中,1、0、-1是三个特殊的数,它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域,这四个区域的数也有自己的特性;自然数0和正整数;a>0a是正数;a<0a是负数;a≥0a是正数或0a是非负数;a≤0a是负数或0a是非正数.
3.正、负数的意义:
像5,1.2,
…这样的大于0的数叫做正数,可以在正数前加“+”号,也可省略。
在正数前面加上“-”号的数叫做负数。
“0”既不是正数,也不是负数,0是正数与负数的分界,规定零是最小的自然数。
例:
+5,+1.2,
…为正数;-10,-3,…为负数。
4.负数的意义:
在现实生活中,存在相反意义的量,以前学过的数不够用了,必须引进新的数。
负数是由实际的需要而产生的,在同一个问题中,我们常常用正数和负数表示一些意义相反的量。
如:
某地气温是8℃,由于强冷空气南下,气温下降了12℃,则该地区这时的实际气温是(8-12)℃,但在算术中这个差是不存在的,实际上这个气温是客观存在的,为了解决这个“不够减”的矛盾,引入一个新数—负数,即(8-12)℃=-4℃,表示零下4℃.
5.相反意义的量与正数:
为了表示具有相反意义的量,把其中一种意义的量规定为正,另一种与它意义相反的量规定为负,正的量记为“+”,如+6,+2.5,…叫正数;负的量记做“-”,像-4,-6这类带有负号的数叫负数。
自然界有许多具有相反意义的量,如上升与下降,向东与向西、盈余与亏损等都可以用正负数来表示.
6.用字母a表示有理数时,字母“a”的意义:
(1)a>0时,a表示正数,-a表示负数;
(2)a<0时,a表示负数,-a表示正数.
(3)a≥0时,a表示非负数.
(4)a2是重要的非负数,即a2≥0;若a2+|b|=0a=0,b=0;
7.数轴:
规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。
所有的实数都可以用数轴上的点来表示,也可以用数轴来比较两个实数的大小。
②数轴的作用:
数轴能形象地表示数,数轴上的点和实数成一一对应,即任何一个有理数(或任何一个实数)都可以用数轴上的一个点表示。
比大小:
在数轴上表示的两个数,以0为中心,右边的数总比左边的数大。
切记:
数轴上的点不都表示有理数。
这涉及实数完备性问题,有理数不是完备的,即任何两个有理数之间有间隙,而实数是完备的,任何两个实数之间的数还是实数。
③数轴的注意事项:
数轴是一种特定几何图形;原点、正方向、单位长度称数轴的三要素,这三者缺一不可(几何意义);同一根数轴,单位长度不能改变。
在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点。
单位长度则是指取适当的长度作为单位长度,比如可以取2m作为单位长度“1”,那么4m就表示2个单位长度。
长度单位则是指米,厘米,毫米等表示长度的单位。
二者不容混淆。
8.数轴的画法
一般地,设a是一个正数,则数轴上表示a的点在原点的右边,与原点(0)的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度。
从原点出发,朝正方向的射线(正半轴)上的点对应正数,相反方向的射线(负半轴)上的点对应负数,原点对应零。
画一条水平的直线,在这条直线上任取一点作为原点,用这个点表示0,规定这条直线上从原点向右的方向(以箭头表示)为正方向,相反的方向(即从原点向左的方向)为负方向,选取某一长度作为单位长度,就得到了如图所示的数轴(numberaxis)。
9.在数轴上表示的方法:
将分数转化成有限小数后在,画在数轴上,理论上,任何一个实数都可以表示在数轴上,但是实际操作上,我们不能操作无限小数在数轴上,硬要表示,也只能标一个大概位置,不过有些无限小数可以通过作图画在数轴上,例如根号2,等等。
例如:
1/2就是在0、1的中点1/3就是在0、1的三等分点的前一个点上便捷一点的方法:
将分数化成小数,然后再图上找对应位置如果是除不尽的,就找到一个大概位置,在数轴上的点,有时候并没办法画得很精确只要不影响答题,方便使用,就好了。
6、计算时间:
数轴,用数轴上的一段表示全球的经线,这条线段的两个端点表示180°经线,线段的中点表示0°经线,这样,全球所有地点的经度位置都可以表示在这条线段上。
箭头方向代表地球自转方向,因此,从0°经线向东至180°经线是东经,最右边的时区是东十二区,时间最早;从0°经线向西至180°经线是西经,最左边的时区是西十二区,时间最迟,东、西十二区刚好相差24小时。
在这条数轴上,越往右边,时间越早,其数值越大,这与数学上数轴的含义是一致的。
因此,如果已知图1中乙地的时间,要求甲地的时间,甲地在乙地的右边,用加法,即甲地时间等于乙地时间加上甲、乙两地的时差;反之,要求乙地的时间,乙地在甲地的左边,用减法,可以记成“右加左减”,同时,由于数轴的方向代表地球自西向东的自转方向,从这个意义上来说,也可记成“东加西减”。
这样,将加减法的选择和时间早晚与数轴的数学含义结合起来,就不易出错了。
此外,用这条线段的两个端点来表示18和规范化工0°经线,可以避免跨越日界线,从而使计算简化。
12.相反数
⑴只有符号不同的两个数叫互为相反数(代数意义),其中一个数叫另一个数的相反数。
(a≠0)a的相反数是-a,0的相反数是0.
⑵在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧且与原点的距离相等(几何意义)。
⑶数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。
在任意一个数前面添上
“-”号,就表示这个数的相反数。
如数a的相反数是-a.
⑷注意:
a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b。
⑸相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.
13.相反数的性质:
若a与b互为相反数,则有a+b=0反之也成立.
14.多重符号的化简:
化简带有多重符号的数的关键是结合数轴理解相反数,按由内到外的顺序去括号,如:
-[-(-3)]=-(+3)=-3.
15.有理数比较大小
①在数轴上表示有理数,按从左到右的顺序,即从小到大的顺序,即数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。
②正数大于0,0大于负数,正数大于负数。
③两个负数比较,绝对值大的反而小。
④大数-小数>0,小数-大数<0.
16.绝对值
⑴在数轴上,一个数所对应的点离开原点的距离叫做该数的绝对值(几何意义)。
也就是说,一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。
离原点越远,数的绝对值越大。
⑵一个正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.(代数意义)
公式|a|=?
若a大于0,则a的绝对值还等于a;
若a等于0,则a的绝对值等于0 ;
若a小于0,则a的绝对值等于-a。
17.绝对值的性质:
绝对值有非负性
,绝对值只能为非负数。
即|a|是重要的非负数,|a|≥0;
|a|·|b|=|a·b|;
互为相反数的两数绝对值相等:
|a|=|-a|
若
,则
;若
,则
(或
)。
18.一个数的绝对值与这个数的关系(见下表)
正数的绝对值是它本身;
<注意>
的绝对值可以等
于它本身,也可以等于它
的相反数,因为
的相反
数是
。
的绝对值是
;
负数的绝对值是它的相反数;
19.绝对值的求法:
在处理绝对值符号时,应首先确定绝对值里面
的数的正、负性,若是非负数,则直接去掉绝对值符号;若是负数,则去掉绝对值符号后,前面加负号,即
⑶绝对值可表示为:
或
20.利用数轴比较有理数的大小
数轴是我们进初中以后学到的一个重要概念,我们知道有理数均可以用数轴上的点来表示,结合数轴,还可以更深刻地理解相反数的意义:
从数轴上看,在数轴上原点的两旁,到原点距离相等的两个点所表示的两个数是互为相反数,其中包含着0的相反数是0的道理.一个数的绝对值的意义,更离不开“数轴”这个工具,我们知道在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,因为距离是正数或0,所以有理数的绝对值是非负数,即|a|≥0,利用数轴可以表示相反数和绝对值的几何意义.在数轴上表示的两个有理数,右边的数总比左边的数大。
21.有理数大小比较的法则:
①正数都大于零,负数都小于零,正数大于一切负数;
②两个正数,绝对值大的数大;
③两个负数,绝对值大的数反而小.
22.有理数加法法则:
同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
异号两数相加,绝对值相等时,和为
;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数同0相加,仍得这个数。
相反数相加结果一定得0。
23.有理数的减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数。
用字母表示:
a-b=a+(-b)
24.有理数的乘法法则:
两数相乘,同号得正;异号得负,并把绝对值相乘。
任何数与
相乘,都得0。
几个数相乘,有一个因式为零,积为零。
各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定。
25.有理数的除法法则:
除以一个数等于乘以这个数的倒数。
两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何非0的数都得0,0没有倒数,0不能作除数。
即a÷b=a·
(b≠0)
26.数字与字母相乘的书写规范:
①数字与字母相乘,乘号要省略,或用“·”。
②数字与字母相乘,当系数是±1时,要省略不写。
③带分数与字母相乘,带分数应当化成假分数。
27.有理数加法运算要点:
先确定和的符号;然后再求和的绝对值。
同号相加不变,异号相加变减.欲问符号怎么定,绝对值大号选。
28.在进行有理数加法运算时,要先利用交换律和结合律进行简化计算,一般应遵循几条法则:
①同号的数放在一起相加;
②互为相反数的两个数放在一起先加(抵消);
③和能凑成整数的数放在一起相加;
④同分母的分数或易于通分的分数放在一起;
⑤异分母分数相加,先通分,再计算。
⑥用加法交换律交换数的位置时,数字必须与它前面的符号一起移动。
29.有理数的减法运算要点:
有理数的减法,不像算术里那样直接相减,而是把它转化为加法,借助于加法进行计算。
有理数减法变加法要遵循<两变一不变原则>:
“两变”①改变运算符号,即减法变加法。
②改变减数的性质符号,即减数变成它的相反数。
“一不变”被减数不变,即被减数与减数的位置不能交换,也就是说,减法没有交换律。
30.积的符号的确定:
几个有理数相乘,因数都不为
时,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正,负因数有奇数个时,积为负。
几个数相乘,有一因数为0,积就为0。
31.有理数的运算定律:
加法的交换律:
a+b=b+a
加法结合律:
a+(b+c)=(a+b)+c
乘法交换律:
ab=ba
乘法结合律:
a(bc)=(ab)c
乘法分配律:
a(b+c)=ab+ac
<注>一个数乘0还等于0,即0a=0;存在数0时,0+a=a+0=a
加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,和不变。
即a+b=b+a
加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
即a+(b+c)=(a+b)+c
乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置,积不变。
即ab=ba
乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变。
即(ab)c=a(bc)
乘法分配律:
一个数与两个数的和相乘,等于把这个数分别与两个数相乘,再把积相加。
即a(b+c)=ab+ac
32.倒数:
乘积为1的两个有理数互为倒数,其中一个数是另一个数的倒数。
33.互为倒数的两个数符号一定相同,即:
正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。
0没有倒数,倒数等于本身的数只有±1。
若a≠0,那么a的倒数是 ;若ab=1a、b互为倒数。
若ab=-1a、b互为负倒数。
34.倒数的求法:
①求一个整数的倒数,直接可写成这个数分之一,即a的倒数为
②求一个分数的倒数,只要将分子、分母颠倒一下即可,即 的倒数为 .
③求一个带分数的倒数,应先将带分数化成假分数,再求倒数.
④求一个小数的倒数,应先将小数化成分数,再求倒数.
35.乘方:
求n个相同因数的积的运算叫做乘方(或乘方运算)。
乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂。
①在an中,a叫底数,n叫做指数。
an读做a的n次幂或a的n次方。
an表示n个a相乘,指数为1时可以省略不写。
即.)
例:
22(2的平方)=2×2=4;73(7的立方)=7×7×7=21
②一个数的二次方,也称为这个数的平方;一个数的三次方,也称为这个数的立方。
如22(2的平方),73(7的立方)。
22、73也可以看做是乘方运算的结果,这时它们表示数,分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”。
③一个数的平方为它本身,这个数是0和1;一个数的立方为它本身,这个数是0和±1。
36.乘方的性质:
⑴正数的任何次幂都是正数,即当a>0时,>0(n为正整数);
⑵负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
(指数为奇数时,负数的幂是负数;指数为偶数时,负数的幂是正数。
)即当a<0时,
当n为正奇数时:
(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n
当n为正偶数时:
(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n
⑶0的任何正整数次幂都是0,即当a=0时,0n=0(n为正整数)
⑷1的任何次幂为1,-1的偶次幂为1,-1的奇次幂为-1,即设n为正整数,则
,
。
⑸任何数a的偶次幂为非负数.即an≥0,(n为正整数,a为有理数)。
即:
=
(n为正整数);
=
(n为正整数)
如:
a2是重要的非负数,即a2≥0;若a2+|b|=0a=0 b=0
37.乘方与有理数乘法的关系
⑴比如73=7乘7乘7,表示3个7相乘;(-6)5=(-6)乘(-6)乘(-6)乘(-6)乘(-6),表示5个(-6)相乘;x4=x乘x乘x乘x表示4个x相乘。
⑵据规律
底数的小数点移动一位,平方数的小数点移动二位。
38.乘方和幂的区别:
与
:
表示-a的n次方,
表示a的n次方的相反数。
39.有理数乘方运算法则
①同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
(底数相同,指数不同。
)
am•an=am+n(m、n都是正整数)
am•an•ap=am+n+p(m、n、p都是正整数)
am÷an=am-n (a≠0,m、n都是正整数,m>n)
例:
102x103=10(2+3)=105;105÷102=10(5-2)=103
<注> 在此公式中,am表示a的m次方,底数a可代表数字,字母也可以是一个代数式。
此公式相乘的幂必须底数相同,若不相同,需进行调整,化为同底数,才可用公式。
②同指数相乘,指数不变,底数相乘。
(指数相同,底数不同。
)
am•bm=(ab)m例:
23x53=(2x5)3=103
③幂的乘方,底数不变,指数相乘。
(am)n=amn (m、n都是正整数)
〔(am)n〕p=amnp (m、n、p都是正整数)
逆运算:
amn=(am)n=(an)m(m、n为正整数)例:
912=(93)4=(94)3
④积的乘方的公式和法则:
积的乘方等于每一个因数乘方的积。
(ab)n=an•bn(n是正整数)
(abc)n=an•bn•cn(n是正整数)
逆运算:
an•bn=(ab)n(n是正整数)例:
310×510=(3×5)10=1510
<注>上述两个公式(3.幂的乘方和4.积的乘方),在很多情况下都会用到逆运算。
40.零指数与负指数
【规定】a0=1(a≠0);a-p=(a≠0,p是正整数)
【说明】当有了上述两个规定后,也就是说幂的指数可以为0或负数,因此“同底数幂的除法”公式中,am-n中“m-n”可以为正数、负数或0,所以“m>n”的条件也可消去。
41.乘方运算公式
完全平方公式:
(a+b)²=a²+2ab+b²
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a²-b²
立方和公式:
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
立方差公式:
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
完全立方公式:
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
【说明】平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2(两数和与这两数差的积,等于它们的平方差。
)
左边:
二项式乘以二项式,两数(a与b)的和与它们差的乘积。
右边:
这两数的平方差。
42.找a与b的简便方法:
由于(a+b)(a-b)可看作(a+b)〔a+(-b)〕,
所以在这两个多项式中,a是相同的,而b与-b是互为相反数,那么a2-b2就可看作是符号相同的项(a)的平方减去符号相反的项(b与-b)的平方,同的项作为a,互为相反的项作为b。
43.关于乘方运算的实例:
一根木棒,每次截它的1/2截到第七次是多少?
52=5x5=25;23=2x2x2=8;22x21=23=8……
每次是1/2,截7次就是:
1/2x1/2……1/2=(1/2)7,把多个相同数的乘法简化写法就是乘方了,数学本质一样,计算结果的方法一样,唯一不同的就是乘方比乘法简化运算过程。
44.有理数的加减混合运算运算步骤:
有理数加减混合运算统一为最简的形式,首先变减为加,统一成加法后,再写成省略加号的和的形式,然后利用加法交换律和结合律简化计算,负数前面的加号可以省略不写。
例:
14+12+(-25)+(-17)可写成省略括号的形式,14+12-25-17,可读作“正14加12减25减17”,也可读作“正14、正12、负25、负17的和。
”
45.球的体积与半径的倍数关系
如果一个球的半径扩大n倍,则它的体积扩大n3倍。
如果甲球的半径是乙球的n倍,那么甲球的体积是乙球的n3倍。
46.代数和:
几个正数或负数的和称代数和,是在代数和里把加号及加号前的括号省去不写的简写形式,简写后的代数和的符号都是性质符号,而运算符号“+”均已省略。
如-5-2+3-5实际表示-5,-2,+3,-5的和。
47.代数式:
用运算符号“+-×÷…”接数及表示数的字母的式子称为代数式(字母所取得数应保证它所在的式子有意义,其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义;单独一个数或一个字母也是代数式)
48.求代数式值要注意:
字母的取值必须确保代数式有意义;字母的取值要确保它本身所表示的数量有意义。
49.代数式的系数应包括这一项前的符号;如果代数式的某一项只含有字母因数,它的系数就是1或-1,而不是0。
50.同类项所含的字母相同;相同字母的指数也相同。
注意:
同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关;几个常数项也是同类项。
51.列代数式的几个注意事项:
⑴数与字母相乘,或字母与字母相乘通常使用“.”乘,或省略不写;
⑵数与数相乘,仍应使用“×”乘,不用“.”乘,也不能省略乘号;
⑶数与字母相乘时,一般在结果中把数写在字母前面,如a×5应写成5a;
⑷带分数与字母相乘,要把带分数改成假分数形式,如a×应写成a;
⑸在代数式中出现除法运算时,一般用分数线将被除式和除式联系,如3÷a写成的形式;
⑹a与b的差写作a-b,要注意字母顺序;若只说两数的差,当分别设两数为a、b时,则应分类,写做a-b和b-a.
52.几个重要的代数式:
(m、n表示整数)
⑴a与b的平方差是:
a2-b2;a与b差的平方是:
(a-b)2;
⑵若a、b、c是正整数,则两位整数是:
10a+b,则三位整数是:
100a+10b+c;
⑶若m、n是整数,则被5除商m余n的数是:
5m+n;偶数是:
2n,奇数是:
2n+1;三个连续整数是:
n-1、n、n+1;
⑷若b>0,则正数是:
a2+b,负数是:
-a2-b,非负数是:
a2,非正数是:
-a2.
53.单项式:
在代数式中,若只含有乘法(包括乘方)运算,或虽含有除法运算,但除式中不含字母的一类代数式叫单项式。
或者说:
都是数或字母的积的式子叫做单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式。
54.单项式的系数:
单项式中不为零的数字因数,叫这个单项式的数字系数,简称单项式的系数。
55.单项式的次数:
系数不为零时,一个单项式中所有字母指数的和叫这个单项式的次数。
56.多项式:
几个单项式的和叫多项式。
57.多项式的项和常数项:
多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数,每个单项式叫多项式的项。
不含字母的项叫做常数项。
【注意】(若a\b\c\p\q是常数)ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式。
58.多项式的次数:
在多项式里,次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。
59.用字母x表示任意一个有理数,2与x的乘积记为2x,3与x的乘积记为3x,则式子2x+3x是2x与3x的和,2x与3x叫做这个式子的项,2和3分别是着两项的系数。
一般地,合并含有相同字母因数的式子时,只需将它们的系数合并,所得结果作为系数,再乘字母因数,即ax+bx=(a+b)x
上式中x是字母因数,a与b分别是ax与bx这两项的系数。
60.整式:
凡不含有除法运算,或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式。
整式分类为:
61.同类项:
所含字母相同,且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。
62.合并同类项:
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
63.合并同类项法则:
系数相加,字母与字母的指数不变。
即:
合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变。
一般地,几个整式相加减,如有括号就先去括号,然后再合并同类项。
64.多项式的升幂和降幂排列:
把一个多项式的各项按某个字母的指
数从小到大(或从大到小)排列起来,叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列)。
注意:
多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列。
65.整式的加减:
整式的加减,
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