第一章基本的几何图形复习讲座.docx
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第一章基本的几何图形复习讲座
第一章基本的几何图形复习
一、知识结构图:
二、重难点解析:
(一)几何图形
1、几何图形:
从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.
几何图形包括立体图形和平面图形,像长方体、正方体、圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球等,它们都是立体图形;像线段、射线、直线、三角形、长方形、梯形、圆、扇形等等,它们都是平面图形.
2、你能把下列图形和名称对应起来吗?
三棱锥 圆柱 球 长方体 圆锥
像长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体,简称为体.
观察上面几何体的表面特点将它们分类:
圆柱、圆锥和球为一类,因为它们的面有的为曲面.棱柱和棱锥的面都是平的为一类,像这一类几何体也叫多面体.
3、包围着体的是面.面有平的面和曲的面两种.
4、平面:
没有边界,可以向四面八方无限延伸.
5、有些图形的各部分不都在同一平面内,它们是立体图形;有些图形的各部分都在同一平面内,它们是平面图形.
6、体的相关概念:
柱体、椎体、台体、球体、多面体
正多面体(仅有五种):
有趣的多面体:
陕西博物馆镇馆之宝独孤信多面体煤精组印多面体家具
多面体花盆多面体服装
(二)点、线、面、体
1、面和面相交的地方形成线.线和线相交的地方是点.
2、从图形运动的观点来看:
点动成线、线动成面、面动成体.如天空中喷气式飞机喷烟拉线的过程给我们点动成线的印象;用一块木板的边缘平整沙地的过程给我们线动成面的印象;在桌面上旋转一枚硬币会看到一个小球体,这说明面动成体.
3、几何图形都是由点、线、面、体组成的,点是构成图形的基本元素.
(三)几何体的展开
有些图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.展开与折叠是在立体图形与平面图之间建立联系的重要手段之一,一个正方体剪七刀可以得到不同的展开图:
具体如下:
五种正多面体的展开图:
(四)线段、射线、直线
1、线段
绷紧的琴弦,人行横道线都可以近似地看作线段,线段有三个特征:
①线段是直的,②线段有两个端点,是有界的,有长短,③线段没有粗细.
线段用它的两个端点来表示.在几何中,通常用一个大写英文字母表示一个点,用A、B表示两个端点的线段表示为线段AB或线段BA,字母是无序的.
线段还可以用一个小写英文字母表示,如线段a.
如图所示的是线段,它有两个端点,记作线段AB(或线段BA),或线段a.
2、射线
将线段向一个方向无限延伸就形成了射线.手电筒、探照灯所射出的光线可以近似地看作射线.射线只有一个端点,向一方无限延伸,是无界的.
射线用它的端点和射线上另一个任意点来表示,且端点在前,如以O表示射线的端点,M表示射线上的除O点外的任意一点,则这条射线就可表示为射线OM,字母是有序的.射线OM与射线MO是不同的射线.也可以用一个小写字母来表示,如射线l等.
3、直线
将线段向两个方向无限延伸就形成了直线.笔直的铁轨可以近似地看作直线,直线没有端点,向两方无限延伸,是无界的.
线段和射线也可以看作是直线的一部分.线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分;射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分.
直线用直线上任意两个点来表示,如A、B是直线上任意两点,则这条直线可表示为直线AB或直线BA,字母是无序的.
直线还可以用一个小写字母来表示,如直线l.
4、直线的性质
经过两点有且只有一条直线.
这条性质包含两层含义:
一是说经过两点有一条直线,肯定有,不是没有,即存在性;二是说经过两点只有一条直线,不会多,即唯一性.
这个性质可简单叙述为:
两点确定一条直线,通常称为直线公理.
(五)线段的比较和度量
1、两点之间的所有连线中,线段最短.简单说成两点之间线段最短.
2、两点之间线段的长度,叫做这两点间的距离.
线段的长度可用有刻度的直尺测量.
3、线段大小的比较方法
(1)叠合法.如比较线段AB、CD的大小,可将线段AB、CD移到同一条射线上,使它们的端点A、C都与射线的端点重合,再由点B与点D的位置关系,就可得出线段AB和CD的三种大小关系.
(2)度量法.先用刻度尺量每条线段的长度,再按照长度比较它们的大小.线段的大小关系和它们长度的大小关系是一致的.
表示方法:
用几何语言表述两线段比较可能出现的三种结果.
若两线段为线段AB、线段CD,如上图,则分别有如下结论:
AB
4、线段的中点
如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM,那么点M叫做线段AB的中点,类似地,线段有三等分点、四等分点等.
如图所示,若点M是线段AB的中点,则
AM=BM=
AB或AB=2AM=2BM.
5、求线段长度通常有三种方法:
①逐步计算求线段的值;②用字母代换求线段的值;③构造方程求线段的值.
6、直线、射线、线段之间的联系与区别
三、典例解析:
知识点一:
常见几何图形
(一)例题解析
例1、
(1)指出图中几何图形的名称.
(2)圆柱的侧面展开图是一个______,圆锥的侧面展开图是一个______.
(3)用一根长36cm长的铁丝,加工成一个正方体的框,则这个正方体的棱长是__________.
(4)一个长为10、宽为5的长方形,若绕它的长所在直线旋转一周,所得的圆柱的曲面面积为__________;若绕它的宽边所在直线旋转一周,所得的圆柱的曲面面积为__________.
例2、如图,第二行图形绕虚线旋转一周,便能形成第一行的某个几何体,请用线连接起来.
例3、如图是一个正方体纸盒的展开图,在其中的四个正方形内标有数字1,2,3和-3.要在其余正方形内分别填上-1,-2,使得按虚线折成正方体后,相对面上的数互为相反数,则A处应填_________.
例4、用平面截一个正方体,截面的形状有哪几种可能?
思路点拨:
平面与正方体的侧面的交线可能有三条、四条、五条、六条(如图).
例5、把立方体六个面分别涂上六种不同颜色,并画上朵数不等的花.各面上的颜色与花的朵数情况列表如下:
颜色
红
黄
蓝
白
紫
绿
花的朵数
1
2
3
4
5
6
现将上述大小相同、颇色花朵分布完全一样的四个小立方体拼成一个水平放置的长方体.如图所示,问长方体的下底面共有多少朵花?
例6、下图
(2)~(5)是图
(1)的正方体切去一块,得到的几何体,
①它们各有多少个面?
多少条棱?
多少个顶点?
②举例说明其他形状的几何体也切去一块,所得到的几何体的面数、棱数和顶点数各是多少.
③若面数记为f,棱数记为e,顶点数记为v,则f+v-e应满足什么关系?
例7、如下图,在圆锥的底面圆周A点处有一只蚂蚁,要从侧面爬一圈后,再回到A点,请你结合圆锥的侧面展开图,设计一条最短路线.
例8、一只蚂蚁从如图所示的正方体的一顶点A沿着棱爬向B,只能经过三条棱,共有多少种走法( )
A、8种 B、7种
C、6种 D、5种
(二)变式训练:
1、你能写出符合要求的几何图形吗?
(1)只有一个面围成的几何图形:
(2)只有两个面围成的几何图形:
(3)只有三个面围成的几何图形:
(4)围成的几何体的各个面都大小、形状相同:
2、写出下列现象所对应的数学知识
(1)流星坠落,在空中划出一道线:
(2)钟表指针旋转所扫过的部分:
(3)开门时门所扫过的区域:
(4)一枚硬币将其立在桌面上用力一转,所扫过的区域:
3、若一个n棱柱有12个顶点,那么它有个面?
条棱?
4、一个各面都是平面的几何体有8个面,12个顶点,那么它有条棱,可以推断可能是。
5、在立方体、正方形、圆锥、圆柱、扇形、圆形中,属于平面图形的有个。
6、如图,各图中的阴影图形绕着直线旋转360度,各能形成怎样的立体图形。
7、边长为3,4的长方形,绕其一边所在直线旋转一周所形成的几何体的体积是多少?
8、你能用四根长短相同的火柴棒摆出四个大小相同的等边三角形吗?
请你画出来。
(三)、自我检测
1、(山西临汾市中考题)把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形(如右下图),请根据各面上的图案判断这个正方体是( )
2、(山东维坊市中考题)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面,“锦”表示右面,“程”表示下面.则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的______________________.
3、已知一不透明的正方体的六个面上分别写着1至6六个数字,如图是我们能看到的三种情况,那么1和5的对面数字分别是____和_____。
(图形如下)
4、将一个立方体沿某些棱剪开,展成一个平面图形,至少需要剪开()条棱。
知识点二:
线段、射线、直线
(一)例题讲解
例1、
(1)如图所示的两条直线交于P点,用两种方法表示这两条直线是__________.
(2)如图所示,在下列语句中,能正确表示出图形特点的有( )
①直线l经过点A、B;②点A和点B都在直线l上;③直线l是A、B两点所确定的直线;④l是一条直线,A、B是直线l上任意两点.
A.1句 B.2句 C.3句 D.4句
(3)如图所表示的含义,下列说法正确的是( )
A.延长射线AB B.延长线段AB
C.反向延长线段BA D.反向延长线段AB
(4)如图,对于直线AB,线段CD,射线EF,其中能相交的是( )
例2、已知平面内的四个点A、B、C、D,过其中两个点画直线,可以画出几条?
例3、如图中,能用字母表示的直线、射线、线段各有几条,分别是哪几条?
例4、
(1)如图,线段AB上有C,D两点,则图中共有线段( )
A.3条 B.4条
C.5条 D.6条
(2)乘火车从A站出发,沿途经过3个车站方可到达B站(如图),那么A、B两站之间需要安排多少种不同的车票.
例5、阅读以下材料并填空:
平面上有n个点(n≥2)且任意三个点不在同一直线上,过这些点作直线,一共能作多少条不同的直线?
①分析:
当仅有两个点时,可连成1条直线,当有3个点时,可连成3条直线;当有4个点时,可连成6条直线;当有5个点时,可连成10条直线…….
②归纳:
考察点的个数n和可连成直线的条数Sn发现如下规律:
点的个数
可连成直线的条数
2
3
4
5
…
…
n
③推理:
平面上有n个点,两点确定一条直线,取第一个点A有n种取法,取第二个点B有(n-1)种取法,所以一共可连成n(n-1)条直线,但AB与BA是同一条直线,故应除以2,即
.
④结论:
.
试探究以下问题:
平面上有n个点(n≥3),任意三个点不在同一直线上,过任意三点作三角形,一共能作出多少个不同的三角形?
①分析:
当仅有3个点时,可作________个三角形;当有4个点时,可作________个三角形;当有5个点时,可作________个三角形……
②归纳:
考察点的个数n和可作出三角形的个数Sn发现:
点的个数
可作出的三角形个数
3
4
5
…
n
③推理:
_________________________________________________________
④结论:
_________________________________________________________
(二)、训练检测
1如下图,A、B、C是同一直线上的依次三点,下列说法正确的是()
ABC
A.射线AB与射线BC是同一条射线
B.射线AC与射线AB是同一条射线
C.射线AB与射线BA是同一条射线
D.射线BA与射线BC是同一条射线
2.甲车站到乙车站之间有4个车站,那么从甲车站到乙车站方向发出的车辆,一共有多少种不同的车票()
3.你能指出下图中有多少条线段?
请写出来。
4.如图,观察图中分别有几个三角形?
5、工人师傅在用方砖铺地面时,常常打两个木桩,然后沿着系在木桩上一根拉直的线铺砖,这样铺的砖就比较整齐,这个事实说明的原理是:
。
6、画图说明四条直线根据其交点的个数划分的不同位置关系。
知识点三:
线段的比较与度量
(一)、例题讲解
例1、
(1)如图,A、B是河流l两旁的两个村庄,若在河流l上建一个水厂,使它到两个村庄铺设的供水管道最短,请你在l上标出点C的位置,并说明理由.
(2)一个圆柱形的柱子,一只蚂蚁由柱子的一条高AB的最底端B点沿侧面转圈爬到顶端A点,问小蚂蚁怎么走路线最短?
例2、
(1)C是线段AB的中点,D是线段BC上一点,则下列说法不正确的是( )
A.CD=AC-BD B.
C.CD=AD-BC D.
(2)如果点B在线段AC上,那么下列表达式中:
①
,②AB=BC,③AC=2AB,④AB+BC=AC.能表示B是线段AC的中点的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(3)已知线段AB=10cm,PA+PB=20cm,下列说法正确的是( )
A.点P不能在直线AB上
B.点P只能在直线AB上
C.点P只能在线段AB的延长线上
D.点P不能在线段AB上
例3、如图所示,C是线段AB的中点,D是线段CB的中点,BD=2cm,求AD的长.
例4、已知线段AB=8cm,在直线AB上有一点C,且BC=4cm,M是线段AC的中点,求线段AM的长.
(二)、基础训练
题型一:
作图问题
1、如图,平面内的线段AB,BC,CD,DA首尾相接,按照下列要求画图:
(10分)
(1)连接AC,BD相交于点OA
(2)分别延长线段AD,BC相交于点PD
(3)分别延长线段AB,DC相交于点Q
CB
2、已知线段a、b,用直尺和圆规作一条线段AB,使它的长度等于2a-b
线段a线段b
题型二:
距离问题
1.如图,从A地到B地的四条路中,最近的一条是.
2.从甲到乙有两条路径,其中一条要经过丙,小明画出了示意图,并注明了距离(单位:
千米),小英认为他的标注有问题,说说你的看法。
3.如图3,公园里设计了曲折迂回的桥,这样做对游人观赏湖面风光有什么影响?
与修一座笔直的桥相比,这样做是否增加了游人在桥上行走的路程?
说出其中的道理。
4.蚂蚁爬行路线最短问题。
如图4,一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B,怎样爬行路线最短?
如果要爬行到顶点C呢?
5.位置选择问题:
如图:
A、B、C是一条公路上的三个村庄,A、B之间的路程是100km,A、C间的路程是40km,现在A、B之间建一个车站P,设PC的路程为xkm,
(1)用x的代数式表示车站到三个村庄的路程之和,
(2)若路程之和为102km,则车站应建在何处?
(3)若使车站到三个村庄的路程之和最小,问车站应建在何处?
最小值是多少?
6、若A、B、C、D是四个村庄,现在要建一个供水池P,使得供水池到四个村庄的距离之和最短,那么供水池选择在什么位置?
试画图说明。
(1)当A、B、C、D在同一条直线上时如何选择P的位置?
(2)当A、B、C、D如下图所示时,点P如何选择?
题型三:
线段计算问题
1.在直线AB上有一点C,已知CB=2cm,AB=4cm,则AC等于().
(A)6cm(B)2cm(C)6cm或2cm(D)无法确定
2.如图,一根10cm长的木棒,棒上有两个刻度,把它作为尺子,量一次要量出一个长度,能量出的长度有().
(A)7个(B)6个(C)5个(D)4个
3.已知点C是线段AB的中点,点D是线段AB的一个三等分点,AB=24cm,求CD.
4.已知B、C两点把线段AD分成2:
4:
3三部分,M是AD的中点,CD=6,求线段MC的长。
(线段上点的次序依次是A、B、C、D)
5.如图:
把一根绳子对折成线段A,从P处把绳子剪断,已知AP=0.5PB,若剪断后各段的绳子最长的一段为40cm,则绳子的原长是多少?
(三)、拓展提升
1、如图,C是线段AB上的一点,D是线段CB的中点,已知图中所有线段长度之和为23,线段AC的长度与线段BC的长度都是正整数,则线段AC的长度为______.
2、(2008年全国数学竞赛海南预赛)如图,点A、B、C顺次在直线l上,点M是线段AC的中点,点N是线段BC的中点.若想求出MN的长度,那么只需条件( )
A.AB=12 B.BC=4
C.AM=5 D.CN=2
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