行政院国家科学委员会补助专题研究计画成果报告.docx
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行政院国家科学委员会补助专题研究计画成果报告
行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告
計畫名稱:
九年一貫數學能力指標的詮釋:
國中量與實測部分
計畫編號:
NSC92-2521-S-003-008-
執行期間:
92年05月01日至 93年07月31日
計畫主持人:
黃文達
共同主持人:
陳創義
計畫參與人員:
王明珠、吳俞朋、莊佳富、林建邦、
呂偉慈、陳政岳、柴筱筠
一、摘要
本計畫主要針對九年一貫數學領域國中量與實測部份能力指標作詮釋,國中量與實測部份能力指標區分為面積、體積和角度三部份。
由於九年一貫課程綱要具有連結特性和認知過程的設計,我們初步涉獵數學的情境佈置、討論建模活動中的開放性問題。
在面積方面主要討論面積公式的推導,我們利用這些活動加強幾何量的表徵、推理論證過程和凱氏原理的活動,同時透過動態幾何軟體GSP的特性,布置幾何可變項操作的視窗環境的教學活動,察覺幾何的不變性,形成臆測進而理解驗證該性質。
體積方面從長方體體積公式,推到柱體體積公式,並且針對錐體球體的體積設計一些探究活動。
在角度方面由於有關的能力指標隱藏於幾何指標,我們選擇了平行與垂直、內角和與外角和及圓周角進行有關的詮釋,除了詮釋教學活動外,我們設計一些GSP教學活動去驗證公式也設計計一些探索活動。
關鍵詞:
能力指標、情境、面積、體積、角度、探索活動。
二、緣由與目的
量與實測是國中小數學的核心課程之一。
日常生活中除了計數的應用之外,量的測量與估計也是學習的一環;學生量的學習從連續量入口,可以與有理數的學習相互加強。
教學中的量包含長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量。
其中長度、容量、角度、面積、體積屬於幾何(視覺)量,處理上可以依賴學生的幾何經驗,比較容易。
時間以外六種量的學習,大致上要經歷下列五個階段:
初步概念與直接比較;間接比較與個別單位;常用單位的約定;常用單位的換算(化聚);公式化的概念(只有面積和體積有此階段)。
量與實測的核心內容著重在
1.透過直觀認識被測量的量。
2.透過實作活動理解被測量的量之不同性質。
3.透過命名活動,認識普遍單位名稱,理解不同被測量的量普遍單位間的轉換關係。
4.理解比、比值、正反比例的意義、計算及其應用。
5.理解數學關係式(如周長、面積、體積公式)及應用測量方法以解決問題。
九年一貫暫行綱要(量與實測)能力指標中我們選取下面指標進行詮釋:
N-3-11能以切割後,重新拼湊組合的方式(幾何部份要配合),將平行四邊形、三角形和梯形,變形成長方形而計算其面積,形成面積之計算公式。
N-3-12能對非直線形的平面區域,選定適當的正方形單位,估計其概略面積,並檢驗圓面積公式(π,r為圓的半徑)。
N-3-13能理解容量和容積(體積)之間的關係,並利用此關係計算大容器(如游泳池)之容量。
N-3-14能將各種柱體,變形成長方柱而計算其體積,形成柱體之體積計算公式。
情境、連結與建模
1.Fruental的情境說
一個數學教學問題可分為正文和情境,數學問題即使沒有情境依然有意義,例如「20+16=」,這種問題可以是用於其他有情境的問題上,例如彈珠問題「小明有20顆彈珠又贏了16顆,現在他有多少顆?
」事實上,這就是數學的形式特徵。
問題的情境是教科書而不一定是相應的現實,它展現了一個假同構的世界。
例如屠夫問題「屠夫有20公斤的肉,又訂購了16公斤,請問他現在有多少肉?
」這個問題和彈珠的問題是一個假同構。
但是在真實世界中,訂購的時候16公斤的肉還沒送到,當肉送到時,原先20公斤的肉的一部份也許已經賣出去了。
而在教科書的情境中,學生被認為應該能夠發現教科書作者設想的假同構,並能解決問題。
解決數學問題需要理解性的推理和觀察能力的結合。
法國IREM船長年齡問題:
在一艘船上有26隻綿羊10隻山羊,船長多少歲?
你是怎麼考慮這個問題的?
公園問題:
報紙或是週刊上都有一種遊戲,例如一個英式公園的圖案,一個有公園設施和工具作襯底的拱型建築,問題是:
「公園裡的園工在哪裡?
」通過轉動畫面或轉動頭部,湊近看就能發現在枝、葉、影斑間,有一個看起來像園工的人形輪廓藏在中間,這就是問題的答案。
為什麼我們可以接受這樣一個解答,可同時對於船長的年齡卻抗拒類似的答案?
這觸及了數學以及數學教學的基礎。
與船長問題類似的問題實際上被賦予了一種邏輯上的含意,它是唯一可以解決問題的,然而類似於公園問題的問題除了觀察力之外似乎就不需要具備其他能力。
公園問題的情境非常明確,它日復一日地出現同類型的問題,每一期都公布上一期的答案。
教科書上的問題,首先是處於教學情境中,然後是符號的含意,即使沒有任何情境,它仍有意義。
結合現實:
創造、加強和保持與現實的結合,豐富的情境有五個方向:
(1)場所:
一個有意義情境的堆積,可以獨立處理或是彼此間有些緊密的聯繫;
(2)故事:
一系列接連不斷的練習被結構化;(3)設計:
被創造的現實;(4)主題:
一個與現實帶有多種聯繫的數學定向;(5)剪輯:
從真實環境中發現大量的數學從中擷取,而假剪輯是由學生自行創造出數學問題
2.MIC推置數學於情境中
美國Britannica教育公司出版情境式數學(Mathematicsincontext),開宗明義指出「置數學於情境中」(Puttingmathematicsincontext),它所支持的理由是:
為了在快速變遷的世界存活,學生需要學習如何清楚地和評論地思維。
他們需要去解決他們生活中面對、而我們不會面對、的一些的問題,他們需要有效的溝通去面對這些挑戰。
為了提供學生在反應實際世界的情境中思維與溝通的經驗,數學教育先進發展出一套情境式的數學,這套數學課程適用性很廣而且反映出的內容與教法也完全符合NCTM的課程綱要。
這套情境式數學課程的哲學,不是將學生假設需要學習的規則與性質全盤固定而且完整地在各獨立章節分別呈現,相反地它是一個動態的而且最好是學生親自操作的主題,這些教育先進相信數學是一個能夠被所有學生學習的主題與思維方法,所有學生應該有機會去學習數學,這些數學不單單是數、代數、幾何與統計而已。
每個單元均利用環繞現實情境設計出來的內容去發展各階段的數學,每個單元和整個四年的所有單元緊密地編織在一起,從5年級到8年級深鑿進入數學各領域,數領域(常用分數、比、小數、整數)、測量、幾何(座標和變換幾何、空間)、統計、機率和代數(數與型)。
儘管各單元強調特別領域的原則,但大多牽涉數個領域的觀念,而且強調數學觀念間彼此的連結,因此這套課程定位為連結課程。
3.九年一貫課程綱要的連結說
九年一貫課程數學領域根據學生的學習方式與思考型態兩項特徵,將九年國民教育區分為四階段。
另將數學內容分為數與量、圖形與空間、統計與機率、代數及連結等五大主題,而連結主題分為數學內部的連結與數學外部的連結,其中數學內部的連結可貫穿前面四個主題,強調的是解題能力的培養;數學外部的連結則強調生活與其他領域中數學問題的察覺、轉化、解題、溝通及評析等能力的培養。
連結能力指標中,察覺就是能察覺生活中與數學相關的情境、數學與其他領域之間有所連結及數學與人類文化活動相關。
並能瞭解其他領域中所用到的數學知識與方法。
轉化是指能把情境中與問題相關的數量形析出、能把情境中數量形之關係以數學語言表出、能把情境中與數學相關的資料資訊化,最後能把待解的問題轉化成數學的問題。
這些連結的能力指標提供數學本文與情境之間的互化原理,一方面將數學放置於情境之中,這些情境該如何選取?
可以是生活的情境、可以是與數學連結的其他學科、也可以是人類文化相關活動,另一方面也可以從生活的情境、與數學連結的其他學科和人類文化相關活動選取適當的題材。
當然情境的選取主要是幫助數學的學習,加強數學的學習效果。
置數學於情境之中,有點像推舟入水,船入水中能使行船更順利,大家都清楚水能載舟、水也能覆舟。
在現今的教科書中,置數學於情境之中,這是初步的嘗試,大家可以發現為了正文所佈置的情境,有點人為不真,往往為情境而情境,對學生學習而言,有時是助力,有時是阻力,連結所強調的是助力,一旦情境便成是阻力時,學生所需努力的是如何從情境中。
脫困而出,這時情境便不是連結而是建模。
數學建模在靜態上一定涉及真實情境和數學表徵,而動態上一定包括各種轉化。
建模教學是著重數學化的學習過程,而不只有學習的成果。
數學化是一種組織化和結構化的活動,依此應用所學的知識和技巧來發現未知的規則、關係和結構。
但是,即使以數學化的教學活動也會面臨學生創造不完備的表徵,或是意義和表徵不合的問題。
進行活動前必需先設想學生可能採用的方法有哪些。
當學生都沒有什麼反應時,這些相關的方法將成為我們介入的目標。
數學建模與數學問題相異之處:
(1)數學問題敘述是嚴謹的明確的,答案是確定的。
數學建模所描述的實際問題有時並不十分明確,所給的條件也不一定完備,而描述這個問題的模型和答案有時也不是唯一的,對於同ㄧ個現象可已有不同的模型來描述它,從而會得到不同的答案。
(2)
數學問題的假設是邏輯推理過程中的自然推論或者是研究範圍的一個嚴格界定;但對數學模型來說,假設則是建模者在建模過程中用來明確和簡化實際問題的一個主要手段,操作起來要靈活得多而且有較高的技巧。
(3)數學問題的分析求解的過程有賴於嚴格的邏輯推理和恰當的數學工具和技巧的使用,而數學模型的組建則更多地依賴於對實際問題的理解以及一定創造性想像力把有關的變量按照實際問題的要求組合在一起。
(4)數學問題的結論是確定的,通常它可以使用封閉的數學表達式來表示,而數學模型可以使用數學式、也可以用圖表來表達,數學模型的結論通常不是封閉的,它需要推廣以改進研究的方法或者使用模型適應更複雜的情況,甚至有些模型是懸而未決有待更進一步探討的。
底下我們來討論數學情境化的問題,這些例子都是由本文而連結而建模。
例一:
加減法問題
1.20+16
2.彈珠問題「小明有20顆彈珠又贏了16顆,現在他有多少顆?
」
3.屠夫問題「屠夫有20公斤的肉,又訂購了16公斤,請問他現在有多少肉?
」
4.船長年齡問題「在一艘船上有26隻綿羊10隻山羊,船長多少歲?
」
5.樹上有10隻鳥,被獵人用槍打使一隻,樹上還剩多少隻鳥?
例二、乘法交換律問題
1.9×7=7×9
2.將一塊矩形木板橫著放和直著放,那一塊面積較大?
3.都美餐廳9折優待師大員工,但仍需支付1成的服務費與稅賦,試問結帳時應先打9折再加1成,還是應先加1成再打9折,哪一種算法較經濟?
4護士調劑問題:
醫院只供應濃度90%的藥用酒精,護士要如何調劑出濃度70%的藥用酒精100cc來?
由於建模活動需要較高層次的思維,一般而言,在國中階段推行建模活動很不容易,很難達到預期的效果,因此一般退而求其次,加強開放式問題,例如在面積教學時,可考慮下面開放性問題:
例格子多邊形的面積:
在2×2方格紙中,以格點連線為邊作出面積為2的格子多邊形,請盡可能地多找出答案?
並在找尋的過程中找出規律。
解答:
凸多邊形有7個,凹多邊形有16個。
三、面積能力指標的詮釋
N-3-12能以切割後,重新拼湊組合的方式(幾何部份要配合),將平行四邊形、三角形和梯形,變形成長方形而計算其面積,進而形成其計算公式。
平面區域如正方形長方形的面積都是經由點數處理整數邊長,切割拼合處理分數邊長,透過命名活動歸納出長方形面積公式為長乘以寬。
在第三或第四階段宜加強面積的推理能力,並初步認識凱氏原理,包括
1.推導出下列面積公式:
正方形面積為邊長的平方,並導出矩形面積是長×寬:
整數邊長(點數),分數邊長(切割拼合),實數邊長(?
)
平行四邊形面積公式是底×高:
何以將平行四邊形切割拼組後會是矩形?
三角形面積是底乘高÷2:
何以兩個相同的三角形可以拼出一個平行四邊形?
梯形面積是(上底+下底)×高÷2:
何以兩個相同的梯形可以拼出一個平行四邊形?
2.將圖形經切割重組後平行四邊形三角形梯形的面積公式的表徵:
(Proofwithoutwords)
3.初探凱氏原理
(1)兩平行線間,
(等底同高)面積相等
平行於底邊BC的直線在三個三角形內截出等線段嗎?
(2)平行四邊形之應用(等底同高)
平行於底邊的直線在這些平行四邊形截出等線段嗎?
(3)等量公理的觀點:
(A)將紫色色紙裁成信封的大小,放入信封中,一刀剪下,使信封連同色紙都成梯形,將紫色色紙拉出3公分,如圖所示,如果信封的寬度是10公分。
請問:
(1)露出信封外的紫色色紙是不是平行四邊形?
它的面積是多少?
(2)信封內不合紫色色紙的部分寬度是多少?
它的面積是多少?
(3)露出信封外的紫色色紙與信封內不合紫色色紙的部分是否可以看成是「等量的遞移」呢?
下面兩塊綠色帶狀的面積相同嗎?
N-3-21能察覺梯形、三角形、長方形、平行四邊形等面積公式之間的關係。
★梯形上底的變動及其面積公式的變化
畫一梯形ABCD,其中上底
比下底
長。
取一張藍色色紙讓其一邊緊靠著梯形ABCD的
邊,用手指按住C點處,讓色紙逆時針方向旋轉,並觀察上圖橙色梯形面積之變化情形
1.當梯形上底=下底時,橙色梯形沒被色紙蓋住的部分是否為一平行四邊形?
為什麼?
此時原梯形面積:
(上底+下底)×高÷2會變成(2×下底)×高÷2嗎?
它等於下底×高嗎?
2.當梯形上底一直縮小至0時,棕色梯形沒被色紙蓋住的部分是否為一三角形?
此時原來梯形的面積會變成下底×高÷2嗎?
探索格子多邊形的面積活動:
問題1:
在2×2方格紙中,以格點連線為邊作出面積為2的格子多邊形,請盡可能地多找出答案?
並在找尋的過程中找出規律。
解答:
凸多邊形有7個,凹多邊形有16個
問題2:
在方格紙中,以格點連線為邊,作出分別為1,2,…,100的正方形,哪些是可能的?
哪些是不可能的?
找出其規律性。
規律:
●形如4n+1的質數可以寫成兩個正整數的平方和
●兩個平方數的和的乘積仍可寫成兩個平方數的和
問題3:
(Pick面積公式)
平面上以格子點為頂點的多邊形,其面積公式是什麼呢?
如何探尋它?
一維的特例:
植樹問題
在下圖的線段上每隔單位距離種一棵樹(即在格子點上種樹),兩端皆種,問線段有多長?
一個內點貢獻一個單位長度,而一個邊界點只貢獻
個單位長度。
因此,線段的長度為:
二維的情形考慮下圖之長方形。
我們發現,一個內點貢獻面積1,而邊界點分成兩種情形:
(1)在側邊上的點,每一點貢獻面積
;
(2)四個頂點,每一點貢獻面積
。
因此,如果每一個邊界點都看成是貢獻面積
,則整個合起來就多算了一個單位面積,必須扣掉。
尤拉公式證法:
基本三角形是指三個頂點是格子點且內部和邊上都沒有其他的格子點的三角形。
(1)所有的基本三角形其面積都是1/2
(2)所有的格子多邊形都可分解成基本三角形
將給定的格子多邊形可分解成基本三角形,然後在複製此格子多邊形,將兩個格子多邊形沿著邊界黏合起來得到球面上的連通圖形,由尤拉公式知
V’-E’+F’=2
因這個連通圖形的面都是三角形區域,因此2E’=3F’;又圖形式上下對稱,得知F’=2F,V’=2I+b
代入尤拉公式得
2I+b-3F+2F=2
解得F=2I+b-2
因此格子多邊形的面積是
(周長與面積參考1989NCTM)
問題4:
利用面積是1平方公分的方瓦,將下面區域添加方瓦,使得新區域的周長為18公分。
探索:
最少需加幾塊方瓦?
最多需加幾塊方瓦?
Ans:
最少3塊,最多14塊
探索:
利用方瓦組成的矩形區域且面積為18公分的矩形區域,共有多少個?
活動:
1.畫出長-寬圖,有何發現?
2.畫出長-面積圖,有何發現?
探索:
1.將方瓦邊長改為一半,結果如何?
2.將方瓦邊長改為
,結果如何?
結論:
周長固定的矩形中,面積以正方形為最大。
N-3-13能對非直線形的平面區域,選定適當的正方形單位,估計其概略面積,並檢驗圓面積公式(π,r為圓的半徑)。
圓形區域的切割與面積公式
1.粗估圓面積大約是以半徑為邊長的小正方形面積的3倍左右。
2.透過點算方格的活動,概算圓的面積。
3.由於圓面積的求法是無限的分割拼湊而成的活動,要比較高的推理過程,只要透過實際操作活動讓兒童觀察得知圓面積公式為半周長乘半徑。
4.將細繩緊繞呈圓形,圓周剪至圓心一刀剪開成很多小段;依繩子長短排列則呈三角形。
以求三角形面積的方式求圓面積公式為(周長乘半徑)的一半
5.用梯形圍成環形區域
圓面積公式=梯形中線長和×高=半周長乘以半徑
圓周率的探索活動
甲、圓周長與半徑:
圓周長:
半徑=定值
GSP活動:
1.在畫版上任意畫出一圓
2.量出圓周長及半徑
3.計算圓周長及半徑的比值
故知圓周率為圓周長及半徑的比值,π=單位圓的半周長
乙、圓面積與半徑
圓面積:
半徑平方=定值
GSP活動:
1.在畫版上任意畫出一圓
2.量出圓面積及半徑
3.計算圓面積及半徑的比值
故知圓周率為圓面積及半徑平方的比值,π=單位圓的面積
C、圓周率的史料
圓周率就是圓周長與直徑的比率,通常以希臘字母π來表示此符號,由數學家歐拉(Euler)首倡。
研究圓周率π的歷史說來源遠流長,甚至於可追溯至古埃及文明時代,通常可分為四個時期:
(一)實驗時期;
(二)幾何法時期;(三)分析法時期;(四)計算機時期。
四、體積能力指標的詮釋
N-3-15能將各種柱體,變形成長方柱而計算其體積,形成柱體之體積計算公式。
教學活動
1.平行四邊形的柱體體積
將原來底面為平行四邊形的柱體切割並重組成長方柱,體積為底面積×高
2.三角形的柱體體積
將兩個相同的三角柱甲,拼成一個底面為平行四邊形的柱體乙。
3.任意角柱的體積
角柱體積=底面積×高。
4.圓柱的體積:
將圓住切割拼成長方柱
圓柱體積=圓柱底面積×高。
結論:
柱體的體積=底面積×高
教學實例:
它們是柱體嗎?
游泳池的容積
盒裝牛奶的容量
階梯的體積
探索活動:
1.胖子原理:
兩個胖子一般高,平行地面刀刀切,刀刀切出等面積,兩個胖子一樣胖
一個十元硬幣的直徑2.6公分,用20個十元硬幣推成一個硬幣柱,它的高度是4公分,請問此硬幣圓柱的體積是多少立方公分?
將這個硬幣柱推了一下,使得硬幣柱歪了,請問硬幣柱的高度是多少呢?
體積是多少呢?
2.球體的體積
將半徑為1的單位球切成一半,再將他切成一片片圓板共n塊,底面是圓、高為
的圓柱體,
我們知道,由下而上的圓半徑依次為
因此這些圓柱體體積的和為
故之單位球體積為
。
3.錐體體積
假設學生以習得柱體體積的概念,藉由操作活動,讓學生去發現錐體體積與柱體體積間的關係。
有等高圓錐形甲、圓柱形乙兩個容器,先將甲容器注滿水,然後將水倒入乙容器。
觀察探討乙容器的水深。
活動流程:
1.每組準備一個圓柱型的量杯,一張容易彎曲的塑膠片。
2.塑膠片捲成圓錐狀插進量杯,使尖端落在杯底側邊與杯邊密合,用膠帶黏好,注意不可以漏水。
3.圓錐尖端放在杯底的不同地方,指定一組放在杯體的圓心處。
4.沿著杯邊用剪刀將多餘的塑膠片剪去,使成為底面和量杯杯面全等的圓錐形筒子。
5.試看看用圓錐狀的容器裝水,要裝多少筒才能到滿圓柱狀的量杯?
6.各組之間互相比較看看,圓錐的尖端放在底面不同位置,所得的結果是否相同?
7.接著請學生觀察兩種容器的底面積和高有什麼關係?
8.讓學生運算其間關係的數值,試問圓錐與圓柱的體積比為多少?
9.再給於學生另一組容器,探討是否擁有相同的關係。
探究問題
1.將塑膠的圓錐筒取出,並用剪刀將黏貼處剪開,說說看塑膠片是哪一種形狀?
各組的塑膠片是否均為為相同的形狀?
2.如何將一個正方體切割成三個形狀、大小均相同的四角錐?
正方體的體積等於同底等高的三個四角錐體積和
若錐體的頂點在正方體的其他位置時,正方體的體積是否仍為三倍的錐體體積?
3.如何將一個正方體切割成六個形狀、大小均相同的四角錐?
一個正方體的體積=兩個長方體的體積=六個同底等高的直四角錐體積和
4.球體體積公式的導出
1.取底半徑和高均為R的圓柱體,挖去等徑同高的圓錐,與辦球體進行截面比對。
2.若截面高為h,則中空圓柱體得到一個內外徑分別為h,R的環形截面,其面積為
而在半球體得到一個半徑為
的圓形截面,面積為
。
3.圓錐體的體積是等徑同高圓柱體體積的1/3,因而中空圓柱體體積是圓柱體體積的2/3,因此半球球體的體積是
5.體積與表面積
(甲)矮肥短:
(台語發音)
「矮阿冬瓜﹐矮罔矮﹐人都笑我矮肥短。
矮擱肥擱短。
金蜜蜂冬瓜露﹐一罐矮矮﹐真正退火。
」
討論:
廣告詞中除了強調金蜜蜂冬瓜露清涼退火的功效外,矮肥短與白冰冰相益得彰,到底在強調該產品的何種特色?
外觀造型優美?
造型使用方便順手?
使用材料最省?
容量最大
(乙)看看誰的肚量大!
?
準備一張白紙將白紙裁成相同的兩半,將其中一張垂直捲成圓桶柱、另一張水平捲成圓桶柱如圖A,將兩個圓柱體重疊如下圖B,將沙子倒入較高的圓桶柱裡,請學生想像將較高的圓桶柱抽掉的時候,沙子會在較矮圓桶柱佔掉多少體積呢?
請學生畫出其認為沙子所在的刻度線。
圖A
圖B
五、角度能力指標詮釋(略)
六、參考文獻
1.國民中小學課程綱要數學學習領域(修訂版)
2.國中小數學各版本課本及教師手冊
3.Britanica教育出版公司Mathematicsincontext叢書
4.Freudental數學教育再探—在中國的講學
5.教育部台灣省教師研習會:
國小數學教材分析
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